第8講解三角形——實質(zhì)是解方程

1、實用文檔第 8 講 解三角形實質(zhì)是解方程對解三角形的復(fù)習(xí)要緊緊抓住正弦定理、 余弦定理， 弄清楚正、余弦定理所 反映的邊、角混合關(guān)系解三角形的實質(zhì)是解方程，通過正弦定理或余弦定理， 建立三角形未知元素的代數(shù)方程或三角方程， 借助其他知識， 如三角形內(nèi)角和定 理、三角變換公式等，解出方程，并注意是否有增解 1結(jié)合三角形全等的條件認(rèn)識正、余弦定理 三角形全等有角邊角、邊邊邊、邊角邊定理，所以已知三角形三邊，兩邊及其夾 角，利用余弦定理求其他邊、角時，解是唯一的，已知三角形任意兩角及一邊， 利用正弦定理求其他邊、角時，解是唯一的但已知兩邊及一邊所對的角時，利 用正弦定理求其他邊、 角時， 可能會出現(xiàn)

2、兩解， 因為兩三角形兩邊及一邊所對的 角分別對應(yīng)相等時，不能保證三角形全等2了解專業(yè)術(shù)語，會畫圖形 知道俯角、仰角、方位角等專業(yè)術(shù)語的含義，會畫圖形，將題目條件直觀地表現(xiàn) 出來，有助于分析問題圖形是載體，根據(jù)條件，畫出圖形，將條件直觀化，是 合理選擇公式的關(guān)鍵3會設(shè)計測量方案 對于實際測量問題，能獨立地設(shè)計測量方案能從課本的應(yīng)用舉例中提煉出 常見的測量距離、 高度、角度問題等測量方案， 并能指導(dǎo)自己設(shè)計解決實際問題 的測量方案4重視三角形內(nèi)角和定理的作用 在解三角形問題中， 三角形內(nèi)角和定理起著重要的作用， 如確定角的范圍， 確定 三角函數(shù)值的符號，防止出現(xiàn)增解等例 1 在 ABC中，a3，b

3、2 6，B2A.(1) 求 cos A 的值；(2) 求 c 的值實用文檔解后反思1解三角形的實質(zhì)是根據(jù)題意尋求等量關(guān)系，通過正弦、余弦定理，建立所求 的方程2解三角形得到多解時，一定要注意檢驗往往利用大角對大邊，三角形內(nèi)角 和定理等知識判斷解的情況，或通過題設(shè)檢驗例 2 在 ABC中， a， b， c 分別為角 A，B，C所對的邊， ccos Ab，則 ABC 的形狀是 三角形解后反思判斷三角形的形狀， 要充分利用正弦定理、 余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化， 由邊的代數(shù) 運算或角的代數(shù)運算、三角運算，暴露邊與邊或角與角的關(guān)系，從而作出判斷例 3 如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點 A 處下山至 C處有兩種路

4、徑一種是從 A 沿直線步行到 C，另一種是先從 A 沿索道乘纜車到 B，然后從 B沿直線步行到 C. 現(xiàn)有甲、乙兩位游客從 A處下山，甲沿 AC勻速步行，速度為 50 m/min. 在甲出 發(fā) 2 min 后，乙從 A乘纜車到 B，在 B處停留 1 min 后，再從 B勻速步行到 C. 假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為 130 m/min，山路 AC長為 1 260 m，經(jīng)測量 cos12 3 A13，cos C 5.(1) 求索道 AB的長；(2) 問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？實用文檔(3) 為使兩位游客在 C 處互相等待的時間不超過 3 分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在 什么范圍

5、內(nèi)？解后反思 1本例所呈現(xiàn)的三角形模型十分清晰，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題， 是解決問題的關(guān)鍵所在2求解實際問題，首先要準(zhǔn)確理解題意，理清已知與所求，能將求解的問題歸 結(jié)到三角形中去， 借助正弦定理或余弦定理解決， 最后把數(shù)學(xué)問題還原到實際問 題中去總結(jié)感悟 1解三角形的實質(zhì)是解方程，通過正弦定理或余弦定理，建立三角形未知元素 的代數(shù)方程或三角方程 注意利用題設(shè)， 大角對大邊、 三角形內(nèi)角和定理等知識 判斷解的情況，防止增解實用文檔2運用數(shù)形結(jié)合的思想，要根據(jù)條件畫出圖形，將條件直觀化，有助于分析問 題，選擇恰當(dāng)公式 .3判斷三角形的形狀，主要途徑有兩條： (1) 化邊為角； (2) 化

6、角為邊利用 正弦定理、 余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化， 由邊的代數(shù)運算或通過三角變換， 暴露邊與 邊或角與角的關(guān)系，從而作出判斷4解三角形實際問題，要理解問題的實際背景，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題A級1在銳角 ABC中，角 A，B所對的邊長分別為 a，b，若 2asin B 3b，則角 A2在 ABC中，角 A、B、C的對邊分別為 a、b、c，若 a2c2b2 3ac，則角 B的值為 3若 a，b，c是ABC的三邊，直線 axbyc0與圓 x2y21相離，則 ABC一定是 三角形4在 ABC中，A60，AB 2，且 ABC的面積為 2 ，則 BC的長為 5在 ABC中，若 b 2a，B2A，則ABC的形

7、狀為 三角形46(2016 全國 ) ABC的內(nèi)角 A、B、C的對邊分別為 a、b、c，若 cos A5， cos C13，a 1，則 bB級7若ABC的內(nèi)角 A，B，C所對的邊 a，b，c 滿足( ab) 2c24，且 C60， 則 ab 的值為 8在 ABC中，sin 2Asin 2Bsin 2Csin Bsin C則 A 的取值范圍是 9在 ABC中， B60， AC 3，則 AB2BC的最大值為 10在 ABC中，已知 B45，D 是 BC邊上的一點， AD10，AC14，DC6， 則 AB的長是 11在 ABC中，內(nèi)角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c. 若 asin Bcos C

8、csin Bcos實用文檔A12b，且 ab，則 B12. 如圖，某人在垂直于水平地面 ABC的墻面前的點 A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練已知點 A到墻面的距離為 AB，某目標(biāo)點 P 沿墻面上的射線 CM移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn) 目標(biāo)點 P，需計算由點 A觀察點 P的仰角的大小若 AB15 m，AC25 m， BCM30，則 tan 的最大值是 ( 仰角為直線 AP與平面 ABC所成13(2016 全國 ) ABC的內(nèi)角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，已知 2cos C( acos Bbcos A) c.(1) 求 C；(2) 若 c 7，ABC的面積為 323，求 ABC的周長實用文檔第 8 講 解三

9、角形實質(zhì)是解方程復(fù)習(xí)指導(dǎo) 題型分析例 1 解 (1) 在 ABC中，由正弦定理absin Asin B26sin Asin 2 A2sin Acos A cos A 36.(2) 由余弦定理a2b2 c22bccos A?2 2 2 632（2 6） 2c222 6c 3則 c28c15 0. c 5 或 c3.當(dāng) c3 時， ac， AC. 2 2 2由 ABC，知 B 2 ，與 a2c2b2矛盾 c3舍去故 c 的值為 5.例 2 直角解析 方法由 cos Ab2c2a2bc得 a b c ，故 ABC是直角三角形方法二 由正弦定理得： sin Ccos Asin B，即 sin Ccos

10、 Asin( AC) ，得 sin Acos C0，即 cos C0，故 ABC是直角三角形例 3 解 (1) 在 ABC中，因為 cos A1132，cos C53，所以 A，C(0，2 ， 且 sin A 153，sin C 54.從而 sin Bsin （ AC） sin（ AC）實用文檔sin Acos C cos Asin C5 3 12 4 63 13513565.AB AC AC1 260 4由正弦定理 ，得 AB sin C 1 040（m） sin C sin B sin B 63 565 所以索道 AB的長為 1 040 m.（2） 假設(shè)乙出發(fā) t 分鐘后，甲、乙兩游客距離

11、為 d，此時，甲行走了 （10050t ）m， 乙距離 A處 130t m，所以由余弦定理得2 2 2 12 2d2（10050t）2（130t ）22130t （10050t）13200（37t270t 50），1 040 35由于 0t 130 ，即 0t 8，故當(dāng) t 37 min 時，甲、乙兩游客距離最短BC AC AC 1 260 5(3) 由正弦定理 ，得 BCsin A 500(m)sin A sin B sin B 63 13 65乙從 B出發(fā)時，甲已走了 50（281）550（m），還需走 710 m才能到達(dá) C.設(shè)乙步行的速度為 v所以為使兩位游客在m/min，由題意得 3

12、5v00751003，解得 1 42350v61245，v 50 43 14C 處互相等待的時間不超過 3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在1 42350，61245(單位：m/min） 范圍內(nèi)線下作業(yè)1.3解析 在 ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B 3sinB， sinA3.2.又 A 為銳角， A3 .2. 2. 6解析 由 a2c2b2 3ac聯(lián)想到余弦定理得 cos B 23，角 B6.實用文檔3鈍角解析由題設(shè)知 a|2c| b21即 a2b2c2，即 a2b2 c20，于是 cos Ca2b2c22ab0，所以 C 為鈍角，故 ABC為鈍角三角形4. 31解析 因為 S2A

13、B ACsin A 21 2 23AC 23，所以 AC1，所以 BC2AB2AC22ABACcos 60 3，所以 BC 3. 5等腰直角解析 由正弦定理知 sin B 2sin A，又 B2A， sin 2 A 2sin A， 2sin Acos A 2sin A，cos A 2 ， A45，B90.故 ABC為等腰直角三角形216. 2113解析4 5 3在 ABC中由 cos A5，cos C13，可得 sin A5，sinC12，13，sin（ AC） sin Acos Ccos Asin C6635，由正弦定理得 bassiinn ABsin B2113.實用文檔ab2. 1 co

14、s C.又 C60， ab43.38(0，3解析 由題意及正弦定理得 a2b2 c2bc? b2 c2a2bc?222 b c a bc1? cos A21? 0A3 .92 7AB 3 BC 解析 由正弦定理知 ， sin C sin 60 sin A AB2sin C， BC2sin A.又 A C 120，AB2BC2sin C4sin(120 C)2(sin C2sin 120 cos C2cos 120 sin C) 2(sin C 3cos C sin C) 2(2sin C 3cos C) 2 7sin( C) ，其中 tan 23， 是第一象限角， 由于 0 Cb，且 B （0 ，） ， B 6.12.539解析 如圖，過點 P作POBC于點 O，AB15 m，連結(jié) AO，則PAO.設(shè)COx m，則 OP 33x m在 RtABC中，AC25 m，所以 BC20 m所以 cosBCA45.5所以 AO625xx54 2 9x 5 25225x45 x2 40x625（m）實用文檔所以 tan3x3x x240x62533347.43解析 由（ab） 2c24 得（a2b2c2）2ab4. a2b2c22abcos C， 故方程化為 2ab（1 cos C） 4.325 4 125 2 3 5 3 當(dāng)2x54 55，即 x1425時，t