空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算二

1、9.6 空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算 ( 二 )教學(xué)目的：1. 掌握空間向量的模長公式、 夾角公式、 兩點(diǎn)間的距離公式， 會用這些公式解決有關(guān)問 題；2. 會根據(jù)向量的坐標(biāo)判斷兩個向量共線或垂直 .教學(xué)重點(diǎn)： 夾角公式、距離公式教學(xué)難點(diǎn)： 模長公式、夾角公式、兩點(diǎn)間的距離公式及其運(yùn)用 .授課類型 ：新授課 .課時安排 ：1 課時.教具：多媒體、實(shí)物投影儀 .教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1.空間直角坐標(biāo)系：(1)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直， 且長為 1，這個基底叫單位正交基底， 用i, j,k 表示；(2)在空間選定一點(diǎn) O和一個單位正交基底 i, j, k ，以點(diǎn) O為原點(diǎn)，分別以 i,

2、 j,k的方 向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸： x軸、 y 軸、 z軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個空間直 角坐標(biāo)系 O xyz，點(diǎn) O叫原點(diǎn)，向量 i, j , k都叫坐標(biāo)向量通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為 xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面； 2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中，對空間任一點(diǎn) A ，存在唯一的有序?qū)崝?shù) 組(x,y,z)，使 OA xi yj zk ，有序?qū)崝?shù)組 (x,y,z)叫作向量 A在 空間直角坐標(biāo)系 O xyz中的坐標(biāo)，記作 A(x,y,z) ， x叫橫坐標(biāo)， y叫 縱坐標(biāo)， z 叫豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：(1)若 a

3、(a1, a2 ,a3 ) ， b (b1,b2,b3) ，則 a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)， a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3) ，a ( a1, a2, a3)( R) ， a b a1b1 a2b2 a3b3 ，a/b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R) ，a b a1b1 a2b2 a3b3 0 (2)若 A(x1,y1,z1) ， B(x2,y2,z2)，則 AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn) 的坐標(biāo) .二、講解新課：1.模長公式：則 |a| a aa12 a 2

4、2a23，若 a (a1,a2,a3) ， b (b1,b2,b3) ， |b| b bb12 b22 b32 2夾角公式：ab|a| |b|a1b1 a2b2 a3b3222 2 2 2 2 a2 a3 b1 b2 b33兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(x1, y1,z1)， B(x2,y2,z2)，(x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2或 dA,B(x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 三、講解范例： 例 1.已知 A(3,3,1) ， B(1,0,5) ，求：( 1)線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；(2)到 A, B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn) P(x,y,z) 的坐標(biāo) x,y

5、,z滿足的條件 .解：(1)設(shè) M 是線段 AB的中點(diǎn)，則 OM 1(OA OB) (2, 3 ,3) 22 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)是 (2, 3,3) ，dA,B(1 3)2 (0 3)2 (5 1)229 (2)點(diǎn) P(x,y,z)到 A, B兩點(diǎn)的距離相等，則 (x3)2(y3)2(z 1)2 (x1)2(y0)2(z5)2, 化 簡 得4x 6y 8z 7 0,所 以 ， 到 A,B 兩 點(diǎn) 的 距 離 相 等 的 點(diǎn) P(x,y,z) 的 坐 標(biāo) x,y,z 滿 足 的 條 件 是 4x 6y 8z 7 0 點(diǎn)評：到 A, B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn) P(x,y,z) 構(gòu)成的集合就是線段 AB的

6、中垂面，若將點(diǎn) P 的坐標(biāo) x,y,z滿足的條件 4x 6y 8z 7 0的系數(shù)構(gòu)成一個向量 a (4,6 8) ，發(fā)現(xiàn)與AB ( 2, 3,4)共線 .1例 2如圖正方體 ABCD A1B1C1D1 中， B1E1 D1F1A1B1 ，求 BE1 與 DF1 所成角的余4弦.解：不妨設(shè)正方體棱長為 1，建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz ，31則 B(1,1,0)， E1 (1, ,1) ， D(0,0,0) ， F1(0, ,1)，44 BE1 (0, 1,1)， DF1 (0, 1 ,1) ，44411BE1 DF1 0 0 ( ) 1 1441516151617 17151744例 3已知

7、三角形的頂點(diǎn)是 A(1, 1,1) ， B(2,1, 1)，C( 1, 1, 2)，試求這個三角形的面積分析：可用公式 S 1 | AB| | AC | sin A 來求面積 .解： AB (1,2, 2) ， AC ( 2,0, 3)，|AB|1222(2)23，| AC |(2)20 (3)213，AB AC (1,2, 2) ( 2,0, 3) 2 6 4 ，AB AC 4 4 13 cosA cos AB,AC ，13 10139|AB| |AC| 3 13 39 sinA sin AB,AC 1 cos2 AB,AC1101所以， S ABC | AB| | AC | sin A A

8、BC 22點(diǎn)評：三角形的內(nèi)角可看成由該角的頂點(diǎn)出發(fā)的兩邊所在向量的夾角四、課堂練習(xí) ：1.若 A(3cos ,3sin ,1)， B(2cos ,2sin ,1)，求 | AB |的取值范圍；2已知 a (x,2,0) ，b (3,2 x,x2)，且 a與b的夾角為鈍角，求 x的取值范圍；3若 P(cos ,sin ,2sin ) ， Q(2cos ,2sin ,1)，求 | PQ |的最大值和最小值 .4求證：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行 已知：直線 OA平面 ，直線 BD平面 ， O、B 為垂足 求證： OA/ BD證明：以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，以射線 OA 為非負(fù) z 軸，建

9、立空間直角坐標(biāo)系i , j , k 為沿 x 軸， y軸，z 軸的坐標(biāo)向量，且設(shè) BD (x,y,z) BD ， BD i ， BD j ， BD i (x,y,z) (1,0,0) x 0，BD j (x,y,z) (0,1,0) y0, BD (0,0, z) BD zk 即 BD / k 由已知 O、B 為兩個不同的點(diǎn)， OA/ BD 說明：請注意此例建立空間直角坐標(biāo)系的方法，這是今后解題時常用的方法； 如果表示一個向量的有向線段所在直線垂直于平面，則表示該向量所有的有向線段所在直線都垂直于 如果表示向量 a 的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面 ，記作 a 如果 a ，那么向量 a 叫做平面 的法向量五、小結(jié)： 1空間向量的模長公式、兩點(diǎn)間的距離公式的形式與平面向量中相關(guān)內(nèi)容一致，因此 可類比記憶；2在計算異面直線所成角時，仍然用向量數(shù)量積的知識，建立空間直角坐標(biāo)系后能方 便的求出向量的坐標(biāo)，則通?？紤]