概率論期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)匯編

1、學(xué)習(xí) 好資料知識(shí)點(diǎn)第一章 隨機(jī)事件與概率本章重點(diǎn)：隨機(jī)事件的概率計(jì)算1 * 事件的關(guān)系及運(yùn)算(1) A B(或 B A)nn Ai(2) 和事件 ： A B； A1 A2An (簡(jiǎn)記為 i 1 i )n(3) 積事件 ： AB， A1 A2An (簡(jiǎn)記為 A1A2 An或i 1Ai )(4) 互不相容 ：若事件 A和 B不能同時(shí)發(fā)生，即 AB(5) 對(duì)立事件 ： A (6) 差事件 ：若事件 A發(fā)生且事件 B不發(fā)生，記作 A B(或AB ) (7) 德 摩根( De Morgan)法則 ：對(duì)任意事件 A 和 B有A B A B, A B A B2 * 古典概率的定義 古典概型 ：nAnA中所含

2、樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)P(A) 中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)幾何概率A的長(zhǎng)度(或面積、體積) P(A) 樣本空間的的長(zhǎng)度(或面積、體積)更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料3 * 概率的性質(zhì)(1) P( ) 0 (2) (有限可加性 ) 設(shè)n 個(gè)事件 A1,A2, , An兩兩互不相容，則有 nP(A1 A2An)P(Ai )i 1 (3) P(A) 1 P(A)(4) 若事件 A，B滿足 A B ，則有P(B A) P(B) P(A),P(A) P(B) (5) P(A) 1(6) (加法公式 ) 對(duì)于任意兩個(gè)事件 A，B，有P(A B) P(A) P(B) P(AB)對(duì)于任意 n 個(gè)事件 A1, A2, ,An ，有P(

3、n nAi1ni)P(Ai)P(AiAj )i 1 1 i j nP(AiAj Ak)( 1)nP(A1 An)4 * 條件概率與乘法公式P(A|B)P(AB)P(B)乘法公式：P(AB) P(A)P(B |A) P(B)P(A| B)5* 隨機(jī)事件的相互獨(dú)立性事件 A與 B相互獨(dú)立的充分必要條件一：更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料P( AB) P( A)P(B) 事件 A與 B相互獨(dú)立的充分必要條件二：P(A |B) P(A)對(duì)于任意 n 個(gè)事件 A1, A2, , An相互獨(dú)立性定義如下：對(duì)任意一個(gè)1 i1ik n ，若事件 A1, A2, ,An 總滿足P(Ai1 Aik) P(Ai1) P(A

4、ik )，則稱事件 A1, A2, , An相互獨(dú)立這里實(shí)際上包含了 2n n 1個(gè)等式6*貝努里概型與二項(xiàng)概率設(shè)在每次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件發(fā)生的概率 P(A) p(0 p 1) ， 驗(yàn)中，事件恰發(fā)生 k 次的概率為n k n kPn(k)pk(1 p)n k, k 0,1, ,nn k ，7 * 全概率公式與貝葉斯公式貝葉斯公式：k 2, ,n ，任意的則在 n 次重復(fù)獨(dú)立試如果事件 A1, A2, , An兩兩互不相容，且nAii 1 i， P(Ai) 0 ，i1,2, , n ，則P(Ak)P(B |Ak)P(Ak |B) n k k ,k 1,2, ,nP(Ai)P(B| Ai)i1第二章

5、 一維隨機(jī)變量及其分布本章重點(diǎn)：離散型和連續(xù)性隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算 概率論主要研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，也稱這個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律為隨機(jī)變量的分布更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料1 * 離散型隨機(jī)變量及其分布律pi P(X ai ), i 1,2, , n, .分布 律 也可用下列表格形式表示：Xa1 a2anPrp1 p2pn2* 概率函數(shù)的性質(zhì)(1) pi 0 ， i 1,2, , n, ;pi 1(2) i 1 3*常用離散型隨機(jī)變量的分布(1) 01分布 B(1, p) ，它的概率函數(shù)為P(X i) pi(1 p)1 i其中， i 0或 1， 0 p 1 (2) 二項(xiàng)分布 B(n,p) ，它的概率函

6、數(shù)為 n i nP(X i) pi (1 p)ni其中， i 0,1,2, ,n， 0 p 1()* 泊松分布 P( ) ，它的概率函數(shù)為更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料iP(X i) e i! ，其中， i 0,1,2, ,n, ， 0 4* 二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y) 的分布可用下列聯(lián)合概率函數(shù)來(lái)表示：P(X ai,Y bj) pij , i,j 1,2, ,pij 0, i, j 1,2, ,pij 1其中， i j 5* 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣概率設(shè)(X,Y) 為二維離散型隨機(jī)變量， pij 為其聯(lián)合概率(i,j 1,2, )，稱概率 P(X ai)(i 1,

7、2, )為隨機(jī)變量 X 的邊緣分布律，記為 pi 并有pi . P(X ai )pij ,i 1,2,j，稱概率 P(Y bj)( j 1,2, )為隨機(jī)變量 Y的邊緣分布率，記為 p.j ，并有p. P(Y bj)pij, j 1,2,p.j =i .6隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性設(shè)( X ,Y)為二維離散型隨機(jī)變量， X 與Y相互獨(dú)立的充分必要條件為pij pi p j , 對(duì)一切 i, j 1,2, .多維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性可類似定義即多維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性有與二維相 應(yīng)的結(jié)論7* 隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X 是一個(gè)隨機(jī)變量， g(x)是一個(gè)已知函數(shù)， Y g(X)是隨機(jī)變量 X 的函數(shù)，它

8、也是一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)離散型隨機(jī)變量 X ，下面來(lái)求這個(gè)新的隨機(jī)變量 Y 的分布 更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的概率函數(shù)為Xa1 a2anPrp1 p2pn則隨機(jī)變量函數(shù) Y g(X) 的概率函數(shù)可由下表求得Y g(X)g(a1 ) g(a2 )g(an)Prp1p2pn但要注意， 若 g(ai) 的值中有相等的， 則應(yīng)把那些相等的值分別合并， 同時(shí)把對(duì)應(yīng)的概率 pi 相加第三章 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布本章重點(diǎn)：一維及二維隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算,邊緣分布和獨(dú)立性計(jì)算1* 分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布可以用其分布函數(shù)來(lái)表示，F(xiàn)(x) P(X x)2分布函數(shù) F(x)的性質(zhì)(1) 0

9、F(x) 1;imi(x) 1(2) lximF(x) 0,更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料由已知隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) F (x) ，可算得 X 落在任意區(qū)間 (a,b 內(nèi)的概率P(a X b) F(b) F(a)3聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量 (X,Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y) P(X x,Y x)4聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(1) 0 F(x, y) 1；lim F ( x, y) 0, lim F(x,y) 0 (2) x ylimF(x,y) 0,xylimF(x, y) 1(3)P(x1Xx2,y1Yy2)F(x2,y2)F(x2, y1)F(x1, y2)F(x1,y1) 5 * 連續(xù)型隨機(jī)變

10、量及其概率密度設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F(x) ，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù) f(x) ，使得對(duì)于任一實(shí)數(shù) x，有xF(x) f (x)dx成立，則 稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量 ，函數(shù) f (x) 稱為連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度6* 概率密度 f (x) 及連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)() f (x) 0;() f (x)dx 1；() ；() F (x) f(x) ；更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料4)設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)c， P(X c) 0 ；(5) 設(shè) f ( x)是連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度，則有P( a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)bf

11、( x )dxa7 * 常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(1)均勻分布 R(a,b) ，它的概率密度為其中，1f ( x) b a0,a x b;其余.(2)指數(shù)分布E ( ) ，它的概率密度為f ( x)e0,0,x 0;其余.其中，其中，(3) 正態(tài)分布N( , 2) ，它的概率密度為f (x), 0 ，當(dāng)1 e (x2 2)20,1時(shí)，稱 N (0,1) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它的概率密度為f(x)x2e 2 , x2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)記作 (x) ，即更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料t2(x) 2dt當(dāng)出 x 0 時(shí)， (x)可查表得到；當(dāng) x 0時(shí)， ( x)可由下面性質(zhì)得到( x) 1 (x) 2

12、設(shè) X N( , 2)，則有xF(x) (x ) ；baP(a X b) ( ) ( )* 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度對(duì)于二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù) F(x,y) ，如果存在一個(gè)二元非負(fù)函數(shù)f(x,y) ，使得對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù) (x, y) 有xyF(x,y) f(s,t)dtds成立，則 (X,Y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， f (x, y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度* 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度的性質(zhì)(1) f (x,y) 0, x,y(2)f (x,y)dxdy 1(3) 在 f (x, y) 的連續(xù)點(diǎn)處有2F (x, y)xyf (x,y)(4) 設(shè)(X,Y)

13、 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)平面上任一區(qū)域 D有更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料P( X , Y) D)f (x, y)dxdyD1，* 二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ( X ,Y)的邊緣概率密度設(shè) f (x,y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度，則 X 的邊緣概率密度為fX(x) f (x, y)dy ；Y 的邊緣概率密度為fY(y)f (x,y)dx11常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量(1) 均勻分布如果 (X,Y) 在二維平面上某個(gè)區(qū)域 G上服從均勻分布，則它的聯(lián)合概率密度為1f (x,y) G的面積(2) 二維正態(tài)分布N( 1, 2, 12, 22, )x,y) G; 其余.如果 (X,Y) 的聯(lián)合概率密度

14、1f (x,y) exp 22 1 2 1 2 2(1 2) 則稱 (X,Y) 服從二維正態(tài)分布，并記為1 (x 1)2 2 (x 1)( y 2) (x 1)22 2 1 2121222(X,Y) N( 1, 2, 12, 22, )如果 (X,Y) N( 1, 2, 12, 22, )，則 X N( 1, 12)Y N( 2, 22)，即二維正0,態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料12 * 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性F (x,y) FX (x)FY(y), 對(duì)一切x, y ，那么，稱隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立設(shè) (X,Y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則 X 與 Y 相互獨(dú)立的充

15、分必要條件為f (x, y) fX(x) fY(y), 在一切連續(xù)點(diǎn)上 .22如果 (X ,Y) N( 1, 2, 1, 2, ) 那么， X 與Y 相互獨(dú)立的充分必要條件是第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征本章重點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望。方差的計(jì)算 1 * 數(shù)學(xué)期望設(shè) X 是離散型的隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為P( X ai ) pi , i 1,2, ,則定義 X 的 數(shù)學(xué)期望 為E(X )ai pii；設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f (x) ，則定義 X 的數(shù)學(xué)期望 為E(X ) xf (x)dx 2*隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè) X 為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)P(X ai) pi , i 1,2

16、, ,則 X 的函數(shù) g(X ) 的數(shù)學(xué)期望為更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料Eg(X)g(ai)pii設(shè) (X,Y) 為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率函數(shù)P(X ai,Y bj) pij , i, j 1,2, ,則 (X,Y) 的函數(shù) g(X,Y) 的數(shù)學(xué)期望為Eg(X,Y)g(ai,bj )pijj i ；3 * 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) E(c) c (其中 c 為常數(shù) )；(2) E(kX b) kE(X) b ( k,b為常數(shù) )；(3) E(X Y) E(X) E(Y) ；(4) 如果 X 與相互獨(dú)立，則 E(XY) E(X)E(Y) .4 * 方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量 X 的方差定義為2D(X

17、) EX E(X)2 計(jì)算方差常用下列公式：D(X) E(X 2) E(X)2當(dāng) X 為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為 更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料P(X ai) pi , i 1,2, ,則 X 的方差為2D(X)(ai E(X)2 pii當(dāng) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f (x)，則 X 的方差為D(X) (x E(x)2 f(x)dx隨機(jī)變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差 D ( X )的算術(shù)平方根 D(X) .5 * 方差的性質(zhì)(1) D(c) 0 (c 是常數(shù) )；2(2) D(kX) k D(X) (k為常數(shù) )；(3) 如果 X 與Y獨(dú)立，則 D(X Y) D(X) D(Y).6原點(diǎn)矩與中心矩隨機(jī)變量 X 的 k 階原點(diǎn)矩定義為E(Xk)；隨機(jī)變量 X 的 k 階中心矩定義為E(X E(X)k ；7 * 常用分布的數(shù)字特征更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料(1) 當(dāng)