4.基本不等式及應用

1、（三）基本不等式及應用一、知識歸納：1基本不等式：a I k a .0,b .0 ,:、ab （當且僅當a = b時，取等號）2變形：a b _ 2 . ab ， （-_ ）2 _ ab， _22b a 重要不等式：如果 a,b R，則a2 b2 _2ab （當且僅當a = b時，取“二”號）2 .最值問題： 已知x, y是正數， 如果積xy是定值P,則當x = y時，和x y有最小值2 P ;1 2 如果和x亠y是定值S,則當x = y時，積xy有最大值S .4利用基本不等式求最值時，要注意變量是否為正，和或積是否為定值，等號是否成立，以及添項、拆項的技巧，以滿足均基本不等式的條件。3. 稱

2、-為x, y的算術平均數，稱-xy為x, y的幾何平均數。2a + b + c o 4. （文科不作要求）三元基本不等式：若a,b,cR.,則3 abc3二、學習要點：1.掌握基本不等式的結構特點，利用基本不等式可以求涉及和、積結構的代數式的最值，難點在于定值的確定。2基本不等式的應用在于“定和求積、定積求和”。必要時可以通過變形（拆補）、運算（指、對數等）構造定值。3只有在滿足“一正、二定、三等”條件下，才能取到最值。4. 基本不等式的主要應用有：求最值、證明不等式、解決實際問題。三、例題分析：4 例1 .已知x芝0，貝U 2 +3x +的最大值是.x例 2.已知 x 0, y 0，且 2x

3、，8y-xy=0 ,求（1） xy的最小值；（2） x y的最小值。例3 .求下列函數的最小值(1)7x -10x 1（2）已知x .0,y .0，且3x 4y =12,求Ig x Ig y的最大值及相應的x , y的值。例4.圍建一個面積為360的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修） 其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為 45元/m,新墻的造價為180元/m,設利用的舊墻的長度為 x （單位：元）。（1）將總造價y表示為x的函數；（2）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。4四、練習題:1

4、.設 a,bR，且 a b=3 ,則2a的最小值是2.3.4.5.6.7.9.B. 4、. 2C.2、. 2D. 2一6F列不等式中恒成立的是2x +2 廠A .八 23+2F列結論正確的是C.當 x _2時,x1 a(x y)()x y已知a函數fB.C.2x 4D .,x251lg x2lg xB.當x 0時，仮+士色2Vx1的最小值為2x-9對任意正實數B .10, b 0，貝UaB.2、21D .當0 ：: x _ 2時,x 無最大值xy恒成立，則正實數a41亠亠2； ab的最小值是bC. 4(x) =J1 -x + Jx +3的最大值為1B.-2C.C. 6D. 5M ，最小值為的最

5、小值為的值是下列函數中最小值是4A . y = xB .x4的是y = sin4xsin xC.1 !；x 1 -xy =2+221y = x ；3, x - 0x2 +1設 a 0, b 0. 若-, 3是3 a與3A.8B. 4的等比中項，若直線 2ax -by，2 =0(a0, b - 0)過圓值是1B.-2D.x21 1 ，亠的最小值為a b2y 2x 4y 1 = 0的圓心，貝U ab的最大C. 1210. 已知 a . 2 , p = a 2a_- , q = 2 4a，貝Ua -2A. p qB. p：qC. p 亠q D. p_q11. 點（m,n）在直線x=1位于第一象限內的

6、圖象上運動，則log 2 m log 2 n的最大值是112. 函數 y =log 3（x +5）（x 1）的最小值是 .x _1213. 已知x, y, z三R : x 2 y 丁3 z = 0 ,則的最小值 .XZ111714 .已知a 0, b - 0 ,且a b =1 ,則下列不等式ab;ab，4ab4 AA Ja+Jb蘭:+2/2。其中正確的序號是 .a 2b； 2 215 .已知 a，0, b、0,且 2a b =1，求 S = 2/ab -4a - - b 的最大值。16 .經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量y (千輛/小時)與汽920 v車的平均速度V

7、(千米/小時)之間的函數關系為：y二 (v 0)。v +3v+1600(1) 在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？(精 確到0.1千輛/小時)(2) 若要求在該時段內車流量超過10千輛/小時，則汽車站的平均速度應在什么范圍內？17.某單位決定投資3200元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價 20元。（1） 設鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，求函數y = f（x）的解析式；（2）為使倉庫總面積 S達到最大，正面鐵柵長 x應為多少米？18周長為12的矩形圍成圓柱（無底

8、），當圓柱的體積最大時，圓柱的底面周長與圓柱的高的比為多少？1 : 282則 x y =(-xy)(x y) =10空 3_ 102 2x 8y =18。（三）基本不等式及應用參考答案三、例題分析：例1.已知X a 2 a -1 9 ,二 a 2 或a w 4(舍去),x y所以正實數a的最小值為4,選B.5解析因為 2掐b M2 丄 +2掐b =2( 丄 +/0b) M4當且僅當 丄=丄，且，a bV aby aba b即a二b時，取“=”號。11 _2_I2. 3.13 _ 3.14 一.15.已知 a 0, b 0,且 2a b =1，求 S = 2 ab 4a b 的最大值。解：；a

9、.0,b0,2a b =1,2 2 24a b =(2a - b) -4ab =1 _4ab且 1 =2a b _2. 2ab，即.ab _,ab 乞14 8S = 2ab - 4a - b ? = 2 . ab (1 4 ab) = 2ab 4ab - 1 _ 當且僅當ay （千輛/小時）與汽2車的平均速度v （千米/小時）之間的函數關系為：920 vy - 2(v 0) ov +3v+16001 1,b時，等號成立。4216.經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量（1）在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到0.1千輛/小時）（2）

10、若要求在該時段內車流量超過10千輛/小時，則汽車站的平均速度應在什么范圍內?3+2 /1600 83當且僅當v,即爪40時，上式零號成立*所以H千輛/小時）+（H）宙條件得9珈V3 +L+ 1600整理得 V1 89 + 1600 0t即 （ 25）3-64）0解得 2564+答：當40千米/小時時，車MS尢,彊大車流量約為1】門千稱丿小時.如果要求在該 時段內車流盤超過10千輛/小時.則汽車的平均速度應大于藥千米/小時且于64千 米/小時17.某單位決定投資3200元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方

11、米造價 20元。(1)設鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，求函數y = f (x)的解析式;(2)為使倉庫總面積 S達到最大，正面鐵柵應設計為多長?17解:(1)因鐵柵長為x米，一堵磚墻長為 y米，則頂部面積為S = xy依題設,40 x 245 y 20 xy = 3200，貝V y320 _4x2x 9(0 : x : 80),故 f (x)2x 9(2) S = xy2320 x 4x2x 9(0 : x : 80)1令 t =2x 9，則 x (t _9), t . 922160( t -9) -(t -9)1699則 S178 -(t) 178 _2 ,1699 =100t當且僅當t

12、=39，即x =15時，等號成立所以當鐵柵的長是15米時，倉庫總面積S達到最大，最大值是100 m2解法二:依題設，40 x 245 y 20 x 3200 , S二xy由基本不等式得3200 - 2 . 40 x 90 y 20 xy =120 , xy 20 xy =12020 S ,.S S -160 0，即(、S -10)( S 6)空 0，故. S 豈10，從而 S 豈100所以S的最大允許值是100平方米，取得此最大值的條件是 40 x =90 y且xy =100，求得x =15，即鐵柵的長是15米。18周長為12的矩形圍成圓柱(無底)，當圓柱的體積最大時，圓柱的底面周長與圓柱的高的比為多少？解：設矩形長為x，寬為y ,成圓柱的底面半徑r，休積為V則有x亠y=6 ,