牙膏包裝模型

1、數(shù)模論文題 目：牙膏包裝模型 指導(dǎo)老師：韓志全組 員：王心愿 趙金政 牙膏包裝模型摘要：王霞弟市場(chǎng)上的商品琳瑯滿目，有越來(lái)越多的消費(fèi)者發(fā)現(xiàn)包裝越大，越實(shí)惠，現(xiàn)以牙膏包裝模型為例，通過(guò)比例模型，探究牙膏重量和牙膏 價(jià)格的關(guān)系，進(jìn)而幫助消費(fèi)者和廠家作出更合理的決策。提出問(wèn)題：在超市購(gòu)物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象了嗎？比如潔銀牙膏 50 裝的每支 1.50 元，120 裝的每支 3.00 元，二者單位重量的價(jià)格比是 1.2：1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個(gè) 現(xiàn)象。問(wèn)題分析對(duì)牙膏包裝和價(jià)格的關(guān)系、牙膏價(jià)格和牙膏重量的關(guān)系這兩個(gè)問(wèn)題，我們從兩個(gè)方面進(jìn)行研究，一是牙膏價(jià)格和牙膏重量的關(guān)系

2、，二是牙膏單位重量的價(jià)格與牙膏重量的關(guān)系，針對(duì)問(wèn)題一，我們分別探究?jī)r(jià)格與生產(chǎn)成本、包裝成本和其他成本之間的關(guān)系，在這些成本中，生產(chǎn)成本與牙膏重量成正比；包裝成本主要包括內(nèi)、外包裝成本，它們分別與內(nèi)外包裝成本的表面積成正比，而牙膏重量與牙膏包裝的體積成正比，進(jìn)而可以總結(jié)出牙膏包裝的成本與重量的關(guān)系；而生產(chǎn)牙膏還需要涉及運(yùn)輸費(fèi)、電費(fèi)、機(jī)器生產(chǎn)費(fèi)等一系列費(fèi)用，這些費(fèi)稱之為其他成本，它與重量無(wú)關(guān)，可看做常量處理。綜合三方面的分析， 建立牙膏價(jià)格與牙膏重量的數(shù)學(xué)模型。而對(duì)于問(wèn)題二，在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，作比例處理很容易得出牙膏單位重量?jī)r(jià)格 c 與重量 w 的函數(shù)模型，利用幾何畫(huà)板作出其函數(shù)圖象，進(jìn)行圖象分析

3、，得出更多的啟示，從而對(duì)商家與消費(fèi)者提出合理有效 的建議和意見(jiàn)。模型假設(shè)（一）、特殊符號(hào)說(shuō)明：c牙膏成本價(jià)格（單位：元）w牙膏的重量（單位：克）ck11牙膏的生產(chǎn)成本（單位：元）單位重量的牙膏生產(chǎn)成本（單位：元克）ckck2233牙膏的內(nèi)包裝成本（單位：元）牙膏內(nèi)包裝的單位表面積的包裝成本（單位：元克） 牙膏外包裝包裝成本（單位：元）牙膏外包裝的單位表面積的包裝成本（單位：元克）q牙膏的其他成本（單位：元）s 牙膏內(nèi)包裝的表面積（單位：平方厘米） 1s 牙膏外包裝的表面積（單位：平方厘米） 2r牙膏內(nèi)包裝的底面半徑（單位：厘米）a牙膏內(nèi)包裝的高于底面半徑 r 的比值h牙膏外包裝的高（單位：厘米

4、）r牙膏的密度（單位：克立方厘米）v牙膏內(nèi)包裝的體積（單位：立方厘米）c牙膏單位重量的成本價(jià)格（單位：元）（二）、情況假設(shè)：1. 將牙膏內(nèi)包裝可以抽象成一個(gè)圓柱體；2. 一般給牙膏內(nèi)包裝的高 h 與內(nèi)包裝底面半徑 r 的比例關(guān)系設(shè)為 一個(gè)定值；3. 將牙膏外包裝可抽象為底面為正方形的長(zhǎng)方體；4. 由于牙膏一般可在盒里 360 o轉(zhuǎn)動(dòng)，可以假設(shè)底面邊長(zhǎng)即牙膏較 扁的一段的長(zhǎng)度；5. 假設(shè)內(nèi)外包裝的高是一樣的.模型建立與求解按照問(wèn)題分析中的思路，我們分別對(duì)問(wèn)題一、二進(jìn)行詳細(xì)分析。 （一）、牙膏價(jià)格 c 與單位重量 w 的關(guān)系：1.牙膏生產(chǎn)成本 c 與重量 w 的關(guān)系： c = k w1 1 1據(jù)市

5、場(chǎng)調(diào)查，單位重量的牙膏成本價(jià)格k1=0.02（元/克）2.牙膏內(nèi)包裝成本 c 與重量 w 的關(guān)系：2牙膏內(nèi)包裝成本 c 與內(nèi)表面積 s 的關(guān)系： c = k s 2 1 2 2 1牙膏內(nèi)包裝表面積為 s ：1s =pr12+2prh h22據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，牙膏內(nèi)包裝可以抽象成一個(gè)圓柱體，則由圓柱體的體積公式得：v=pr2h按照密度公式：w=v r 從而得出底面半徑與牙膏重量的關(guān)系：r=3wrpk據(jù)專(zhuān)家意見(jiàn)牙膏設(shè)計(jì)師考慮到牙膏包裝設(shè)計(jì)的美觀效果，一般給牙膏內(nèi)包裝的高與內(nèi)包裝底面半徑的比值設(shè)為定值，即：a= r綜合 得牙膏內(nèi)包裝成本與牙膏重量 w 的關(guān)系為：c =22ap+p (rpa)3w 3 k

6、23牙膏外包裝成本 c 與重量 w 的關(guān)系：3牙膏外包裝成本 c 與外包裝表面積 s 的關(guān)系：3 2c =k s3 3 2同樣，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，牙膏外包裝可抽象為底面為正方形的長(zhǎng)方體， 由于牙膏一般可在盒里 360 o轉(zhuǎn)動(dòng)，可以假設(shè)底面邊長(zhǎng)即牙膏較扁的一段的長(zhǎng)度，假設(shè)內(nèi)外包裝的高是一樣的，那么外包裝的表面積：s =2(pr 22) +4prh綜合得，牙膏外包裝成本 c 與重量 w 的關(guān)系為：3c =32p2 +4ap2( rpe)32w 3k34. 根據(jù)問(wèn)題分析，其他成本與牙膏重量 w 沒(méi)有直接的比例關(guān)系，設(shè) 為一個(gè)常量 q。5. 牙膏總成本價(jià)格 c 與牙膏生產(chǎn)成本 c 、包裝生產(chǎn)成本 c 、外包

7、裝1 2成本c3與其他成本 q 關(guān)系為:c=c1+c2+ c +q32221-1-綜合 1、2、3、4、5 得牙膏價(jià)格 c 與牙膏重量 w 的關(guān)系：c=k1w+2ap+p (rpa)3w23k +22p2 +4ap2( rpa)32w 3k3+q據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單位重量的牙膏成本價(jià)格 k =0.02（元/克），牙膏1密度 r=1.15（克/立方厘米），牙膏內(nèi)包裝的單位表面積的包裝成本kk23=0.006(元/克),牙膏外包裝的單位表面積的包裝成本=0.0002(元克),牙膏的其他成本 q=0.53（元）,牙膏內(nèi)包裝的高于底面半徑 r 的比值 a =10.5858,代入數(shù)據(jù)得：c=0.02w+0.0

8、029w 3 +0.53（一） 牙膏單位重量的價(jià)格 c 與牙膏重量 w 的關(guān)系： 1.c-w 的模型建立：很顯然，由于c =cw，則有：c= k +12ap+p (rpa)3w 3 k +22p2 +4ap2( rpa)31w 3k3+qw代入數(shù)據(jù)得：c=0.02+0.0029w 3 +0.53w-1利用幾何畫(huà)板作出的函數(shù)圖象如下：2.c-w 的圖象分析:觀察圖象，有如下特點(diǎn):1 圖象整體呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，隨著 w 的增加 c 越來(lái)越小，呈現(xiàn)負(fù) 相關(guān)。2 觀察圖像下降的變化趨勢(shì)，很顯然，由很陡到緩慢，逐漸趨于平緩，即隨著 w 的增加，c 減小的程度變小，我們可以進(jìn)一步對(duì) c 求 導(dǎo)，得到的導(dǎo)函數(shù)

9、為：-2c =-2ap+p23 ( rpa)34k w 32-12p2 +4ap43( rpa)34k w 33-q23w 2很顯然，其導(dǎo)函數(shù)在實(shí)際意思范圍內(nèi)為負(fù)值，即更加說(shuō)明隨著 w 的增加，c 在減小。另一方面，其導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，從數(shù)學(xué)意義上講，原函數(shù)的斜率逐漸變小，說(shuō)明隨著 w 的增加,c 減小的程度逐漸變小。 3.圖象中顯示出的實(shí)際意義:由圖象分析：隨著 w 的增加 c 減小的程度變小，即意味著若將重量等分為若干連續(xù)的重量區(qū)間，重量數(shù)值大的重量區(qū)間所對(duì)應(yīng)的牙膏單位重量的成本 c 的變化量要小，這樣就導(dǎo)致在實(shí)際購(gòu)買(mǎi)的過(guò)程中，消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)大包裝的牙膏得到的優(yōu)惠多，并且對(duì)于產(chǎn)家而言，也達(dá)到

10、了“薄利多銷(xiāo)”的目的。實(shí)際上，這樣的圖象趨勢(shì)就是反應(yīng)了市場(chǎng)上 消費(fèi)者的優(yōu)惠心里和產(chǎn)家“薄利多銷(xiāo)”的心里。五模型檢驗(yàn)為了提高所建模型的可行性，我們用市場(chǎng)價(jià)格每支為 1.5 元，50g裝的潔銀牙膏進(jìn)行模型檢驗(yàn)，而根據(jù)我們建立的 c-w 函數(shù)模型：c=k1w+2ap+p(rpa)3w23k +22p2 +4ap2( rpe)32w 3k3+q得：c=1.56 元六模型評(píng)價(jià)缺點(diǎn)：1.建立的 c-w 模型僅是牙膏的成本價(jià)格 c 與重量 w 的關(guān)系，必須要考慮到出售前牙膏對(duì)于自身成本價(jià)格的利潤(rùn)，所以不能直接對(duì)牙膏 的市場(chǎng)售價(jià)進(jìn)行估計(jì)。2.c-w 模型中將牙膏外包裝抽象為底面為正方形的長(zhǎng)方體包裝盒，是為了計(jì)算方便，實(shí)際上，市場(chǎng)上牙膏包裝形形色色，為了美觀好看，底面也有長(zhǎng)方形的，所以在包裝成本計(jì)算上就會(huì)出現(xiàn)誤差。3.c-w 模型中將牙膏的內(nèi)包裝抽象成圓柱體，主要是迎合市場(chǎng)上大多數(shù)牙膏的內(nèi)包裝造型，實(shí)際上，有的內(nèi)包裝可以抽象成圓臺(tái)，甚 至是圓錐。優(yōu)點(diǎn)：1.該模型的建立通過(guò)模型檢測(cè)，可以大體上對(duì)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)牙膏，以及具有類(lèi)似現(xiàn)象的其他商品起到指導(dǎo)作用。