常微分方程(第三版)課后答案

1、常微分方程2.11巴dx2xy,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進行變量分離得1 dy y2xdx ,兩邊同時積分得：In y2 2xc,即y cex把x 0, y 1代入得2c 1,故它的特解為y ex。22. y dx (x 1)dy 0,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進行變量分離得：1c In x 11,故特解是1 11dx dy,當y 0時，兩邊同時積分得；In x 1 c,即yx 1 yy代入式子得c當y 0時顯然也是原方程的解。當x 0,y1時，1y 1 I n1 x23 dy 1 y33dx xy x y解：原式可化為：dy 1dx2X? 1

2、y兩邊積分得3顯然x x y 1|n 221一y0,故分離變量得21 y1In x尹21 xIn(1 2y)(1 x)2cxc(c故原方程的解為宀y1 y0),即(1Ldxx x2y )(12 2x) cx4:(1 x) ydx (1 y)xdy 0解：由y 0或x 0是方程的解，當xy 0時，變量分離-dx -一 dy 0x y兩邊積分 In x x In y y c,即 Inxy x y c,故原方程的解為In xy x y c; y 0;x0.5: (y x)dy (y x)dx 0 -dy y x 令 y-,令一u,y x x,變量分離, u 1解：Hdx y 則u x竺 dxdy u

3、x, dx得:dux -dx11du dx1x兩邊積分得:1arctgu ln(12u)In x c。6: x 巴 ydx令y-令 u,y ux, xdxX&1 Gx解:dy嵋則原方程化為:dudx,分離變量得:11 u2du sgn x?-dx x兩邊積分得：arcsinu代回原來變量，得sgnx ? In x c y arcs inxsgnx?ln x2另外，yx2也是方程的解。7: tgydx解：變量分離，得：ctgydy tgxdx 兩邊積分得：In siny In cosx c.ctgxdy 02.y 3x&列匚dx y解：變量分離，得Zdyey1 3x1e c9: x(ln x I

4、n y)dyydx 0解：方程可變?yōu)?dy令u 乂，則有dxxxIn xIn u-dx 0x代回原變量得：cyd l n u1 In u沁。x100 exydx d解：變量分離兩邊積分eyy .e dyxe cxe dxdy x y dx e解：變量分離，e dy兩邊積分得:xe dxc11型(Xdx2y)解：令x yt，則 dx蟲idx原方程可變?yōu)椋荷? 1 dx f1變量分離得：dt dx,兩邊積分arctgtt 1代回變量得：arctg (x y) x c兩邊積分t arctgt x c,代回變量c令x y t,則史魚 dx dx、t2變量分離-dt dx,t 1x y arctg (x

5、 y) x1原方程可變?yōu)閐x13.dy 2x y1dx x 2y1解：方程組2xy10,x2y10;的解為x1令 x X -,yY丄,則有dY2X Y 33dXX 2Y13，y2令丫 u，則方程可化為：2U-XdX 1 2U變量分離14 dy x y 5dx x y 2解:方程化為dydx2 2x 2x 116y8y8xy 1 (x4y1)2 2x 4yu,則關于x求導得14dxdU，所以1dU dx4 dx解:令x y 5dx 1 dX,原方程化為：1dt dxt,變量分離(tt 77)dt 7dx1 2兩邊積分丄十2t7t7x c代回變量l(xy25)7(x y 5)7x c.dy (x1

6、5. dx (x1)22(4y1) 8xy 16x c，是1 2 28分離變量一zdu dx,兩邊積分得arctg ( x y)4u2 93 33原方程的解。16.dy6y 2xdx5 2 22xy x y解:dyZ 3、22(y ) 2x3 223(y )3孕，令y3 u，則原方程化為dxy2 (2xy3 x2dx2xy3 x2dudx3u26x222xu x3u26x2- 1x齊次方程，令，則屯dx60,得 zx生，所以dx3或z3z22z2是當z260時，變量分離61(1)1z ddzx -，dx方程的解。dzx -dx3yz2 z 62z 13x或y32x是方程的解。(1)即(y 的解

7、為(y7/3353x) (y 2x) x c37/333x) (y 2x)2z2 z，又因為y315x c1 dzdx，x3x或 y32 x包含在通解中當c 0時。故原方程兩邊積分的(z 3)7(z 2)3x5c,17. dy2x3 3xy x3x2y 2y3 y解：原方程化為dy x(2x： 3y：叭；塹2x： 3y： 1dx y(3x2 2y21) dx2 3x2 2y21則有2;3y2y00,，從而方程(1)化為dz3上z3 2-z2t20時,dydz，即zdz，所以tdtz -dz3t2tdtz -dz錯，(2)3 2t1,是方程(2)的解。得x2是原方程的解令y2u,；2；xduV；

8、則2v3u 1(1)dv3v2u 12v3u 10方程組3v2u 1的解為(1,01；令Zv 1, Y u 1,當3 2t12 2t2 0時，分離變量得2dt dz兩邊積分的y2 x2 (y2 x2 2)5c2 2t2z另外y2 x2 2,或y2x2,包含在其通解中，故 原方程的解為y2 x2 (y2 x2 2)5c18.證明方程dy f (xy)經變換xy u可化為變量分離方程，并由此求解下列方程 y dx(1).y(1 x2y2)dx xdy2 2弓宀y dx 2 x y證明：因為xyu,關于x求導導得y xdydxdu1 duduu 、得:-1f(u),(f(u)y dxdx y(f(u

9、) 1) xdy,所以 xdydu ydxdxdx11)丄(uf(u) u)x解(1):當x 0或y 0是原方程的解，當xy令xy u,則方程化為dudx1 (2ux3u),變量分離得:0s時，方程化為xdyy dx1dxx2udu二u2兩邊同時積分得：uu 22故原方程的解為原2y2x y 2Cx：即x2y2 2y 22,y0也包含在此通解中。解令xyu，2cx，x0.則原方程化為dudx-(u|x 22 u2 uu)1 4u x22 2分離變量得2 u du4u丄dx，兩邊積分得In x2C，這也就是方程的解。故此方程為此方程為變程。-兩邊求導得yy1-yyx19.已知f(x) f (x)

10、dt 1,x 0,試求函數f (x)的一般表達式.0x解：設f(x)=y,則原方程化為f(x)dty3dydxdx1y3dy;兩邊積分得x c #；所以y2x c代入f (x)dt01o :j2tcdt.2x c; (. 2x c , c) , 2x c得 c 0,所以 y12x20求具有性質x(t+s)二x(t)x(s)的函數x(t)，已知x (0存在。1 x(t)x(s)解：令t=s=0x(0)= x(0) x(0) =2x(0)若x(0) 0 得x2=-1 矛盾。1x(0)1x(0)x(0)2所以 x(0)=0. x (ltm=x(tt) x(t) lim x( t)(1 x (t)x(

11、0)(1 x2(t)tt1 x(t)x( t)x(0)(1 x2(t)x(0)dt 兩邊 積分得 arctgdt1 x (t)x(t)=x (0)t+所以 x(t)=tgx (0)t+ct=0 時 x(0)=0 故 c=0 所以x(t)=tgx (0)t習題2.2求下列方程的解1. dy = y sin x dxdxdx解： y=e ( sinxe dx c)=ex -=ce sint sint e x(sin x cosx )+c21=c ex- (sinx cosx)是原方程的解。解：原方程可化為：空=-3x+e 2tdt2.dx2t+3x=edt3dtm3 dt所以：x=e (e2t e

12、 dt c)3t z 1 5t , x=e (e +c)5=c e 3t + 1e2t是原方程的解。5c ds丄 1 c丄3.=-s cost +si n2tdt2costdt 13dt解：s=e ( sin2te dt c )2sint # . , si nt、=e ( sin t coste dt c)sintsi nt(sin tesint e是原方程的解。4.xy exxndx nn為常數.解：原方程可化為:dydxx y nndxy e x (-dxx dx c)n /x (ec）是原方程的解.dy 丄 1 2xdx+=y解：原方程可化為：dy 1 2x,=-2 y 1 dxx2x

13、11 2x“2 dx廠 dxy e x (e x dx c)(In x2 1)In x2 -e2 ( exdx c)1=x2(1 cex)是原方程的解.5.i=o2x4x36.dydxxy解：dx2xy3x-2y令上ux因此：u則y uxdu xx =-dx udu 1=u x屯 dxdxdx u22u du dx13u x c3u3 3x x c (*)將-u帶入 （* ）中 x得：y3 3x4 cx3是原方程的解.解:dy 空(x 1)dx x 1P(x) ,Q(x) (x 1)3x 1P(x)dx dxee x1方程的通解為：(x 1)2y=eP(x)dxP(x)dx(e Q(x)dx

14、c)=(x+1)(2池如血乜=(x+1)(2 (x+1)dx+c)=(x+1)2(x 1)2(2c)即：2y=c(x+1) 2+(x+1)即x詩+cy是方程的通解且尸0也是方程的解。為方程的通解8.dy = i dx x ydx x+y 12解:-x y2dy y y1則P(y)=丄,Q(y) y2yP(y)dy-dyee y y方程的通解為：x=e=y(P(y)dy(P(y)dye Q(y)dy c)丄*y3cy2y2dy c)解：Rx)dy電U,a為常數x x,Q(x)x?dxP(x)dx e方程的通解為:=xP(x)dxP(x)dxy= e (e Q(x)dx c)a 1 x+1 .、Y

15、 a dx+c)x x0時，方程的通解為當ay=x+In /x/+c當a 1時，方程的通解為y=cx+x ln/x/-1當a 0,1時，方程的通解為a x 1 + 1-a ay=cxio.xdy dx 解型 dxx3P(x)1-y x x1丄,Q(x)xx3P(x)dx e1 dxx方程的通解為:y=P(x)dx eP(x)dxQ(x)dx c)方程的通解為:1 -( x3x_4x* x3dx c)cx3x c y= -4 xe x211空 dx解:理dx兩邊除以ydyTdx憶dx令y 2dzdxP(x)xyxyxy2(xy2( xz x2x,Q(x)2xdxee 卩 dx方程的通解為:_ 3

16、2xx2ez=e=xp e x2(2xdx(x2 /e (x2ceP xdxQ(x)dx2x3)dxc)c)故方程的通解為:y2(x21x2ce1)1,且y0也是方程的解。c 2 In x 1 12.( y In x 2) ydx xdy x424解:毀Uy?空dx xx兩邊除以 y2dy In x 2 y 1y 2dx x xdy 1 In x 2y 1dx x令y 1 zdz 2 In xzIn xxdx x xP(x) 2,Q(x)x方程的通解為：P ( x ) dxP ( x) dxz e ( eQ(x)dx c)2 2 dxdxc)z e x ( e x ()dx c) x2( y(

17、 )dxxx xc 2 In x 1 x424方程的通解為：y(：x2寧) 1,且y=0也是解1322xydy (2y x)dxdy 2y2 x y 1dx 2xy x 2y這是n=-1時的伯努利方程。1兩邊同除以丄，ydyy21ydx72令y2z空2啟dxdxdz 2y2 彳 2z d1 1dx xx2P(x)=2Q(x)=-1x由一階線性方程的求解公式?dxdxz e x ( e x dx c)14 dy Mdxx3x2兩邊同乘以eyy dy e 一 dx令ey zdzy dy e 一dxdxdz z2 3xz3z2 z, 22dxxxx兩邊同除以z21 dz z2 dxdT1 dzdTd

18、xz2 dxdxx這是x2c23xz3T(ey)2 3xeyn=212x2x x時的伯努利方程。3 1P (X)二丄 Q(x)= 1 XX由一階線性方程的求解公式33 .dx1 dxT e x ( e x dx c)x312=X ( X c)2=1 1 = x 2(1 1z( 2Xey( x122 yx e I21 23x x e2cx 3cx 3)13 彳cx )1cey15 dy133xy x ydxdy3 3yx y x這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以X31 dx y2x dy x3y2dzdx令Xz2xdydydz2y32 2y =2yz 2y3P(y)=-2yQ(y)= 2ydy

19、X由一階線性方程的求解公式2 ydy32 ydyz e ( 2y3edy c)= e( 2y3e，dy c)y2 1 cey2222y2、x ( y 1 ce ) 12 y22x ey ( y 1 cey2) ey2y2222ey (1 x x y )2 cx16 y=ex +x0 y(t)dtdy x edxdy y dxy(x)P(x)=1Q(x)= e由一階線性方程的求解公式1dx x 1dxy e ( e e dx c)=ex( exe xdx c)=ex(x c)ex(x c)xex(x0c)dxc=1x /y=e (xc)17設函數OO t(0)存在且滿足關系式(t+s)=(t)

20、(s)試求此函數。令 t=s=0(0+0)=(0)(0)即(0)= (0)2 故(0)0 或(0)(1)(0)(t)(t 0)(t) (0)即OOOO )(0)1 時(t)(t t)(t) = ,.lim t Tim(t) ( t) tiim0) (0)t(t)(t)( ( t) 1)Amt(0) (t)于是（0） （t）變量分離得d(0)dt 積分ce (0)t由于（0）1，即t=0時 1仁 cec=1故（t） e(0)t20試證:（1）一階非齊線性方程（2 .28）的任兩解之差必為相應的齊線性方程（2.3）之解;（2）若y y（x）是（2.3）的非零解，而y y（x）是（2.28）的解，則

21、方程（2.28）的通解可表為y cy（x） y（x），其中c為任意常數.（3）方程（2.3）任一解的常數倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的證明:黑 P(x)y Q(x)(2.28)乎 P(x)y dx(2.3)(1)設 y，y2 是（2.28）的任意兩個解則dy- P(x)y1dxdy2dxQ(x)(1)P(x)y2 Q(x)(1) -( 2)得d y1 ydxP(x)(yi y2)即yy1y是滿足方程（2.3）所以，命題成立。(2)由題意得:dyX P(x)y(3)dx畔)P(x)y(x) Q(x)(4)dx 1先證y cy y是（2.28）的一個解于是 c 34 得詈霜 cP（x）

22、y P（x）y Q（x）d (cy y)dxP(x)(cy y) Q(x)故y cy y是（2.28）的一個解2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成cy y的形式設yi是（2.28）的一個解則說 P(x)y1Q(x)(4)于是(4) -(4) 得d( % y)1P(x)(Y!y)dx-:P(x)dx從而yi y cecy即y1 y cy所以，命題成立。(3)設y3，y4是（2.3）的任意兩個解則 如P(x)y3dx晉 P(x)y4dx于是(5)c得唾dxd(cy3)dxP(x)(cy3)（5）（6）cP（x）y3其中c為任意常數也就是y cy3滿足方程(2.3)(5) (6)得字字 P(x)y3

23、P(x)y4dx dx即吟加 P(x)(y3 y4)dx也就是y y3 y滿足方程(2.3)所以命題成立。21試建立分別具有下列性質的曲線所滿足的微分方程并求解。(5) 曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標的平方；(6) 曲線上任一點的切線的縱截距是切點橫坐標和縱坐標的等差中項;解：設p(x, y)為曲線上的任一點，則過p點曲線的切線方程為Y y y(X x)從而此切線與兩坐標軸的交點坐標為(x ,0),(0, y xy)y即橫截距為x ，y縱截距為y xy。由題意得：(5) y xy x2方程變形為dy 2x y xdxdy 1y xdx x1 1dx( )dx于是 y ex ( ( x

24、)e x dx c)Ini,ln x| ,、e ( ( x)e dx c)1x ( ( x) x dx c)1x( ( x)dx c)xx( x c)2x cx所以，方程的通解為y2x cx O(6) y xy方程變形為dyx -dx dy dxy212；yx212Ldx于是 y e2x (丄)dx2x dx c)2ln|xe2 (11 丄叫耳()e 2 dx c)21c)x2 (1 1 1x2( ( -gx 2)dx c)21 1x2 ( x2 c)12x cx21 所以，方程的通解為y x cx?22求解下列方程。(1) (x21)y xy 0解：y等刊十x 1 x 1dx1 dxy e

25、x2 1 (2- e x2 1 c)x 11= /x21/212 x11 / 2 /dx c1/21= /x21/2dx3c/x21/2=c ./1 x2/x(2)y sin xcosxy3 sin x0dyy2 sinxP(x)=1sin x cosxQ(x)=.2sin xcosxdx sin xcosx cosx由一階線性方程的求解公式dxsin xcosx /e (.2 sin x e cosxdxsin xcos x dxc) sincosxsin xdxc)空cosx cosxc)=tgxc sin x習題2.31、驗證下列方程是恰當方程，并求出方程的解。1.(X2 y)dx (x

26、 2y)dy 0解:M i，上=1. y x所以此方程是恰當方程。湊微分，x2dx 2ydy (ydx xdy) 0 得：1 x3 xy y2 C32. (y 3x2)dx (4y x)dy 0解：M 彳N d1, 1 .yx則MyNx所以此方程為恰當方程。湊微分，ydx xdy 3x2dx 4ydy 0得 x3 xy 2y2 C3丄皿1 yldy 0(x y) x y (x y)解：JM2y(x y)2 2y2(x y)( 1) 2xy:y(x y)4(x y)3N 2x(x y)2 2x2(x y) 2xyx(x y)4(x y)3(1)因此此方程是恰當方程。(Xy21y)2x4、x2(x

27、 y)2(2)(1)(3)則dy(y)做x的積分，做y的積分，1x2y (x y)2(丄 1)dy In y2In x Inx y故此方程的通解為In 乂x2y(x2(3xy2 2x3)dx 3(2x2y解:M 12xy ，上yx則此方程為恰當方程。2(xVx2y .In xx y(1)y2(x2xy y2(x y)2(xx22xy2y)如(y)(y)(3)(X y)2yd (y)dyx2 2xy y2y)2xyx yxyx yy2)dy12xy .ddy(y)xyx y湊微分，6xy2dx 4x3dx 6x2ydy 3y2dy 03d(x2y2) d(x4) d(x3)0得：x4 3x2y2

28、 y3 C5.(1si n- ycosy+1)dx+(1xxsin+ 4 )dy=0y y解:M= is in 竺-爲 cos* +1y x xN= 1xcosx ysin斗y y所以，衛(wèi)yXx1 3yyxx3yyN故，故xV-y csinsincos- yx 1cos2y xcos+鳥 si nx x xy y . y cos丄 + 二 sinx x x因為 1si n 、 2y y x1 cosy dy-芻x x ysin dy+ dy=0y yd(-cos-)+d (si n)+dx+d(-丄)=0yxy所以，d(sin y -cos- +x -1 )=0x y y故所求的解為sin工-

29、cos- +x - - =C x y y求下列方程的解：2 26. 2x(yex -1)dx+ex dy=0解：=2xex2, =2xex2yx所以，衛(wèi)二衛(wèi)，故原方程為恰當方程y x又2xy2 2ex dx-2xdx+ exdy=02所以，d(yex -x2)=02故所求的解為yex-x2=C7. (ex +3y2 )dx+2xydy=0 解：ex dx+3y2 dx+2xydy=0 exx2dx+3x2y2 dx+2x3ydy=0 所以，d ex( x2-2x+2)+d( x3y2)=0 即 d ex( x2-2x+2)+ x3y2=0 故方程的解為ex( x2-2x+2)+ x3y2 =C

30、8. 2xydx+( x2 +1)dy=0 解：2xydx+ x2 dy+dy=0d( x2y)+dy=0即 d(x2y+y)=0故方程的解為x2y+y=C9、 ydx xdy x2y2 dx解：兩邊同除以x2 y2 得ydx2 xxdy dx y即，d arctg-dx y故方程的通解為argtgxyx c310、ydx x y dy0解：方程可化為：ydx xdy2yydy即，d仝ydyy故方程的通解為：-1y2 c即：2x yy2 cy 2同時，y=0也是方程的解。11 y 1 xy dx xdy 0解：方程可化為：ydx xdy 1 xy dxd xy1 xy dx 即：d xy dx

31、1 xy故方程的通解為：ln 1 xy x c12、y x2 dx xdy 0解：方程可化為：ydx 2xdy dxxd dxx故方程的通解為：-c x即：y x c xx13、x 2y dx xdy 0解：這里M x 2y, N x ,方程有積分因子丄dxe x兩邊乘以 得：方程x x 2y dx x2dy 0是恰當方程故方程的通解為:x2 2xy dx2x 2xy dx dy c解：這里M xcosx y sin x y,N xcosx y因為衛(wèi)衛(wèi)cosxy xxsin x y故方程的通解為:xcos x y sin x ydxxcos x y xcos x yy sin x y dx d

32、y c即：xsin x y15、y cosxxsin x dxysin xxcosx dy o解:這里My cosx xsin x, Nysin x xcosx方程有積分因子:edy ey兩邊乘以得:方程 ey y cosxxsin x dx ey ysin xxcosx dy0為恰當方程故通解為ey y cosx xsin x dxN ey ycosx xsinxdx dy c y即:eysin x y1 ey cosx c16、解:兩邊同乘以x2y 得:3x4x3y2dx 2x4ydyy5dx 5xydyd xx 4ydx 2xdy y 3ydx 5xdyy2 d x3y5故方程的通解為:

33、x4y2x3y5 c17、試導出方程M(X,Y)dx N(X,Y)dy 0具有形為(xy)和(x y)的積分因子的充要條件。解：若方程具有(x y)為積分因子,(M)(N)X(X y)是連續(xù)可導)yMNMNyyXXMNMN -()yXyX(1)令zXydzddXdzXdz，y dzddNMMN(-)，dzdzXy方程有積分因子(Xy)的充要條件是:JM是xNy的函數，此時，積分因子為(Xy)(z)dz dx dzdzd dzdx -dz(MN) dz(NXM)，yNMdXydz(x y)dzMN，Mx- Nyd dz dz(Mx-、d/ NM、Ny) -()dzXyNMdXyMx NyX Id

34、z此時的積分因子為(xy) e Mx Ny18.設f (x, y)及丄連續(xù)，試證方程dy f (x, y)dx 0為線性方程的充要 y條件是它有僅依賴于x的積分因子.證:必要性若該方程為線性方程，則有3 P(x)y Q(x),dx此方程有積分因子(x) e P(x)dx,(x)只與x有關.充分性若該方程有只與X有關的積分因子(x).則(x)dy (x)f(x,y)dx 0為恰當方程,從而(x)f(x, y) d (x) f_(x)ydxy(x)fQ(x)()y Q(x)(x)P(x)y Q(x).其中P(x)(x)于是方程可化為dy (P(x)y Q(x)dx 0(x)即方程為一階線性方程.2

35、0. 設函數f(u)， g(u)連續(xù)、可微且f(u)，試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=O有積分因子 u=(xyf(xy)-g(xy)1證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=O兩邊同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=Off gyx(f g) xy xy貝 uy- =uf+uy +yf 丄=-+- -yf 2 2 2yy y xy(f g) xy(f g)x y (f g)r gf r g xyf xyyf gy -g二 yy 二 xy yxy yxy(f g)2x(f g)2xy xy(f g)2gTguxggugxy(f g) xyxy 而二ug+ux-+x

36、g 二 g + x - xg 小 x 2 x xx x xy(f g) xy(f g)x y (f g)xyxg xy x xy(f g?xy x衛(wèi)g丄 xy xy (f g)2故 uyf:y=uxg，所以u是方程得一個積分因子x21. 假設方程(2.43)中得函數M (x,y) N(x,y)滿足關系=y xNf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數，試證方程(2.43) 有積分因子 u=exp( f (x)dx + g(y)dy )證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=O即證-(uM )(uN)u-M R” +Mu =u-n+nuyxyyxx/ M u(-)=N

37、-Muu(-MN)=Nef (x) dx g(y)dyf(x)yxxyyx-M ef(x)dx g(y)dyg(y)u(MN)=ef(x)dx g(y)dy(Nf(x)-Mg(y)yx由已知條件上式恒成立，故原命題得證22、求出伯努利方程的積分因子.解：已知伯努利方程為：dy P x y Q x yn, y o; dx兩邊同乘以y n，令z y n，dZ 1 n P x z 1 n Q x ,線性方程有積分因子: dx1 n Px dxn 1P x dxee1 n Px dxn 1P x dxee故原方程的積分因子為:證畢！23、設x, y是方程Mx,ydx N x, y dy 0的積分因子，

38、從而求得可微函數U x,y ， 使得dU Mdx Ndy .試證 x, y也是方程M x, y dx N x,y dy 0的 積分因子的充要條件是x,y U ,其中t是t的可微函數。證明：若u ,則Mu MMuM uyyMyuMy u NyNu NNuNu M又xxxMMuNu Myy即為M x,ydx N x, y dy 0的一個積分因子。24、設i x, y , 2 x, y是方程Mx,ydx N x, y dy 0的兩個積分因子，且 2常數，求證i 2 c （任意常數）是方程M x, y dx N x,y dy 0 的通解。證明：因為i, 2是方程Mx,ydx N x, y dy 0的積

39、分因子所以iMdx iNdy o i 1,2為恰當方程即 N M i ， i 1,2xyy xF面只需證的全微分沿方程恒為零事實上:2dxN7dxN721xdxdy y21xdxdy y221 dxM2dx2 dxM2 dx1xxNyNy22N1M -1N 2M -2IN21xyxy2Md2即當二2c時,c是方程的解。證畢!求解下列方程1、xy31解:令dx從而ypdxSt3t習題2.4t2t3t23tdt c3t222t于是求得方程參數形式得通解為t3 t23t2 2t22、y3 x31解:令dxP tx，則tx3x3tx0,即t2從而ypdx c112t2t31 2t2t4 t2 dt c t22t5 It252t2于是求得方程參數形式得通解為2t5!t22解：令dx y p，則y從而xd p2ep cp2pep p2eppdp c2ep pep dp1 p epc，于是求得方程參數形式的通解為P epp另外,y=0也是方程的解.2a, a為常數解：令y tg dx，則y2a1 tg2從而x -dyp1ctg2d 2 a cos4acos