統(tǒng)計(jì)學(xué)常用公式

1、公式一1 / io1.眾數(shù)【MODE (1) 未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。(2) 組距分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算再根據(jù)下面對(duì)于組距分組數(shù)據(jù)，先找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值所在組，即為眾數(shù)所在組, 的公式計(jì)算計(jì)算眾數(shù)的近似值。下限公式:M 0=L+匚1L1+ L2式中：M。表示眾數(shù)；L表示眾數(shù)的下線；短表示眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差；.-：2表示 眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差；i表示眾數(shù)組的組距。上限公式：Mo=U-.J i 1 2 式中：U表示眾數(shù)組的上限。2.中位數(shù)【MEDIAN (1)未分組數(shù)據(jù)中中位數(shù)的計(jì)算根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)

2、，要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定中位數(shù)的位置。設(shè)一組數(shù)據(jù)按從小到大排序后為Xi, X2,，Xn，中位數(shù)Me，為則有：Me=X（甞）當(dāng)N為奇數(shù)當(dāng)N為偶數(shù)1M e= X N +X N2 . 2+1(2)分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算時(shí)，要先根據(jù)公式 N / 2確定中位數(shù)的位置，并確定中位數(shù)所在的 組，然后采用下面的公式計(jì)算中位數(shù)的近似值：Me = L+Nfi式中：Me表示中位數(shù)；L表示中位數(shù)所在組的下限；Sm-i表示中位數(shù)所在組以下各組的累 計(jì)次數(shù)；fm表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；d表示中位數(shù)所在組的組距。3.均值的計(jì)算【AVERAGE (1) 未經(jīng)分組均值的計(jì)算未經(jīng)分組數(shù)據(jù)均值的計(jì)算公式為:

3、送X-X1+X2+X n i X=n(2) 分組數(shù)據(jù)均值計(jì)算分組數(shù)據(jù)均值的計(jì)算公式為:Xi f 1+X 2 +2 +XkfkXfiHII+fk、Xi fii _1k7 fii 47/104.幾何平均數(shù)【GEOMEAN 幾何平均數(shù)是N個(gè)變量值乘積的N次方根，計(jì)算公式為:式中：G表示幾何平均數(shù)；|丨 表示連乘符號(hào)5.調(diào)和平均數(shù)【HARMEAN 調(diào)和平均數(shù)是對(duì)變量的倒數(shù)求平均， 然后再取倒數(shù)而得到的平均數(shù)，它有簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù) 與加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種計(jì)算形式。簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：H=111n 1+ + X1 X2Xn id XinZ mi加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：H= m1+m2+mn =m momn J mi+ +

4、X1 X2乂. y X式中：H表示調(diào)和平均數(shù)。6 .極差【Range極差也稱全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，即R = m a - mXi n式中：R表示極差；max x和min x分別表示一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值。7 .平均差【Mean Deviation平均差是各標(biāo)志值與其平均數(shù)的絕對(duì)離差的算術(shù)平均。(1)根據(jù)未分組資料的計(jì)算公式：nZ Ixi-xA D =-n(2)根據(jù)分組資料的計(jì)算公式：AD=Z x.-x 人IIn式中：AD表示平均差V f.I =48 .方差【Variance和標(biāo)準(zhǔn)差【Standard Deviation方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。要求掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差

5、的計(jì)算方法。未分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為：、X|_Y分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為：f|I A式中：二2表示方差。方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其相應(yīng)的計(jì)算公式為:未分組數(shù)據(jù):分組數(shù)據(jù)：式中：二表示標(biāo)準(zhǔn)差。9.離散系數(shù)離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算的，因此，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn) 差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)。其計(jì)算公式為：V二匸x式中：表示離散系數(shù)。10 .偏態(tài)【SKEW 偏態(tài)是對(duì)分布偏斜方向及程度的測(cè)度。 利用眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間的關(guān)系就可以判斷分 布是左偏還是右偏。顯然，判別偏態(tài)的方向并不困難，但要測(cè)度偏斜的程度就需要計(jì)算偏態(tài)系 數(shù)了。n n -x -xfEXCEL

6、中偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式為： Z(n- q n - 2im L s11.峰值【KURT EXCEL中峰值系數(shù)的計(jì)算公式為：42|n(n +1)J 人-x、|3(n 1)n-2 X 門-3)iis 丿j (n-1)(n-3)式中：s表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差。公式二1.均值估計(jì)(1) 樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，即為樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，又稱為樣本均值的抽樣平均誤差，它反 映的是所有可能樣本的均值與總體均值的平均差異程度，反映了所有可能樣本的實(shí)際抽樣 誤差水平。樣本均值的抽樣平均誤差計(jì)算公式為:-x =N n重復(fù)抽樣方式:不重復(fù)抽樣方式：通常情況下，當(dāng)N很大時(shí)，（N-1 ）幾乎等于N，樣本均值的抽樣平均誤差

7、的計(jì)算公式也可 簡(jiǎn)化為：-x =N15 / 10在公式中，二是總體標(biāo)準(zhǔn)差。但實(shí)際計(jì)算時(shí)，所研究總體的標(biāo)準(zhǔn)差通常是未知的，在大樣 本的情況下，通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S代替。（2） 大樣本均值的極限誤差* =乙壬x（3）大樣本下總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的置信度為（1 -：）的置信區(qū)間：x -z 2 X 一_X z： 2二 x即X-z：.2 二八-crX z 2 =Pn（4）總體方差未知，小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的置信度為（1 -：）的置信區(qū)間：Xt：2 二 X 空空 X t：2 二 X即2.比例估計(jì)_s_-n（i）樣本比例的抽樣平均誤差樣本比例的抽樣平均誤差為:重復(fù)抽樣下： 上式中，p應(yīng)

8、為總體比例，實(shí)際計(jì)算時(shí)通常用樣本比例 p代替不重復(fù)抽樣下：p)=、匡叮日牡七匡直m s Y n IN 1 丿 Y n IN)(2) 樣本比例的抽樣極限誤差LP = Z：.2 P(3) 總體比率的區(qū)間估計(jì)總體比例P的置信度為(1-：)的置信區(qū)間為：即p-Z.2- p -i公式三1單因素方差分析設(shè)總體共分為k種處理進(jìn)行觀察，第種處理試驗(yàn)了容量為nj的樣本(1)計(jì)算各項(xiàng)離差平方和誤差項(xiàng)在單因素方差分析中，需要計(jì)算的離差平方和有 3個(gè)，它們分別是總離差平方和, 離差平方和以及水平項(xiàng)離差平方和?？傠x差平方和，用SST( Sum of Squares for Total )代表:nj kSST = 送(X

9、j x )i d j d式中：X表示全部樣本觀測(cè)值的總均值。其計(jì)算公式為:誤差離差平方和，用SSE( Sum of Squares for Erro)代表:nj kSSE 二二 /j 一呂i( j hnj7Xij式中：Xj表示第j種水平的樣本均值,Xjnj水平項(xiàng)離差平方和。為了后面敘述方便，可以把單因素方差分析中的因素稱為A。于是水平項(xiàng)離差平方和可以用 SSA（ Sum of Squares for Factor A表示。SSA的計(jì)算公式為:nj kSSA 二二.Xji j丄（2）計(jì)算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（ Mean Square）。對(duì)SST來(lái)說(shuō)，其自由度 為（n-

10、1）;對(duì)SSA來(lái)說(shuō)，其自由度為（r-1），這里r表示水平的個(gè)數(shù)；對(duì)SSE來(lái)說(shuō)，其自由度 為（n-r）。與離差平方和一樣，SST、SSA、SSE之間的自由度也存在著如下的關(guān)系：n-1= (r-1) + (n-r)對(duì)于SSA，其平均平方MSA （組間均方差）為：SSAMSAr -1對(duì)于SSE，其平均平方MSE （組內(nèi)均方差）為：SSEMSE -n r(3)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Fl M SA F 一M SE2.兩因素方差分析設(shè)兩個(gè)因素A、B分別有k個(gè)水平和n個(gè)水平，共進(jìn)行nk次試驗(yàn)（1）計(jì)算各項(xiàng)離差平方和在兩因素方差分析中，需要計(jì)算的離差平方和有 4個(gè)，它們分別是總離差平方和，誤差項(xiàng) 離差平方和以及水平 A、

11、B項(xiàng)離差平方和。2總離差平方和，用 SST (Sum of Squares for Total 代表： SST- -x式中：x表示全部樣本觀察值的總均值，其計(jì)算公式為：=1n kx 二_Xjjnk i j d水平項(xiàng)離差平方和 可以分別用 SSA (Sum of Squares for Factor A)和 SSB (Sum of Squares for Factor B)表示。n k= 2SSA的計(jì)算公式為：SSA二二i.X疳-xi =1 j =11 n式中：Xj x i jn yn k 2SSB的計(jì)算公式為：SSB-vv Xj. Xi 4 j 41 k式中：XiXi jk j4誤差離差平方和，用SSE （Sum of Squares for Erro）代表：n k=2SSE- Xj -X”Xj xi 4 j 4（2）計(jì)算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square。對(duì)SST來(lái)說(shuō)，其自由度為（nk-1）；對(duì)SSA來(lái)說(shuō)，其自由度為（k-1），這里k表示水平A的個(gè)數(shù)；對(duì)SSB來(lái)說(shuō)，其自由 度為（n-1），這里n表示水平B的個(gè)數(shù)；對(duì)SSE來(lái)說(shuō)，其自由度為（n-1）（k-1）。這樣，把各 項(xiàng)離差平方和除以各自的自由度，即得到平均的離差平