西南交通大學(xué)數(shù)值分析題庫(kù)

1、考試目標(biāo)及考試大綱本題庫(kù)的編纂目的旨在給出多套試題， 每套試題 的考查范圍及難度配置均基于“水平 測(cè)試” 原則，按照教學(xué)大綱和教學(xué)內(nèi)容的要求，通過(guò)對(duì)每套試題的解答，可以客觀公正的評(píng) 定出學(xué)生對(duì)本課程理論體系和應(yīng)用方法等主要內(nèi)容的掌握水平。 通過(guò)它可以有效鑒別和分離 不同層次的學(xué)習(xí)水平，從而可以對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)給出客觀的綜合評(píng)定結(jié)果。本題庫(kù)力求作到能夠較為全面的覆蓋教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)突顯對(duì)重點(diǎn)概念、重點(diǎn)內(nèi)容和重 要方法的考查?？荚噧?nèi)容包括以下部分：緒論與誤差： 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差、有效數(shù)字、誤差傳播分析的全微分法、相對(duì)誤差 估計(jì)的條件數(shù)方法、數(shù)值運(yùn)算的若干原則、數(shù)值穩(wěn)定的算法、常用數(shù)值穩(wěn)定技術(shù)。非線

2、性方程求解： 方程的近似解之二分法、迭代法全局收斂性和局部收斂定理、 迭代法誤差的事前估計(jì)法和事后估計(jì)法、迭代過(guò)程的收斂速度、 r 階收斂定理、 Aitken 加速法、 Newton 法與弦截法、 牛頓局部收斂性、 Newton 收斂的充分條件、 單雙點(diǎn)割線法 （ 弦截法）、 重根加速收斂法。解線性方程組的直接法 ：高斯消元法極其充分條件、全主元消去法、列主元消去法、 高斯-若當(dāng)消元法、 求逆陣、 各種消元運(yùn)算的數(shù)量級(jí)估計(jì)與比較、 矩陣三角分解法、 Doolittle 和 Crout 三角分解的充分條件、分解法的手工操作、平方根法、 Cholesky 分解、改進(jìn)的平方 根法 （免去開(kāi)方 ）、可

3、追趕的充分條件及適用范圍、計(jì)算復(fù)雜性比較、嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣。解線性方程組迭代法： 向量和矩陣的范數(shù)、常用向量范數(shù)的計(jì)算、范數(shù)的等價(jià)性、矩 陣的相容范數(shù)、 誘導(dǎo)范數(shù)、常用范數(shù)的計(jì)算； 方程組的性態(tài)和條件數(shù)、 基于條件數(shù)誤差估計(jì) 與迭代精度改善方法；雅可比（ Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收斂與譜半徑 的關(guān)系、 譜判別法、 基于范數(shù)的迭代判斂法和誤差估計(jì)、 迭代法誤差的事前估計(jì)法和事后估 計(jì)法；嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣迭代收斂的有關(guān)結(jié)論；松弛法及其迭代判斂法。插值法： 插值問(wèn)題和插值法概念、插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性、插值余項(xiàng)定理； Lagrange 插值多項(xiàng)式；差商的概念和性質(zhì)、

4、差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系、差商表的計(jì)算、牛頓（Newton ）插值多項(xiàng)式； 差分、 差分表、 等距節(jié)點(diǎn)插值公式； Hermite 插值及其插值基函數(shù)、 誤差估計(jì)、插值龍格（Runge）現(xiàn)象；分段線性插值、分段拋物插值、分段插值的余項(xiàng)及收 斂性和穩(wěn)定性；樣條曲線與樣條函數(shù)、三次樣條插值函數(shù)的三轉(zhuǎn)角法和三彎矩法。曲線擬合和函數(shù)逼近： 最小二乘法原理和多項(xiàng)式擬合、函數(shù)線性無(wú)關(guān)概念、法方程有 唯一解的條件、 一般最小二乘法問(wèn)題、 最小二乘擬合函數(shù)定理、 可化為線性擬合問(wèn)題的常見(jiàn) 函數(shù)類(lèi)； 正交多項(xiàng)式曲線擬合、 離散正交多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞推法。 最佳一致逼近問(wèn)題、最佳一 致逼近多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式、切比雪夫最

5、小偏差定理、切比雪夫多項(xiàng)式的應(yīng)用（插值余項(xiàng)近似極小化、多項(xiàng)式降冪 ） 。本段加黑斜體內(nèi)容理論推導(dǎo)可以淡化，但概念需要理解。數(shù)值積分與微分 ：求積公式代數(shù)精度、代數(shù)精度的簡(jiǎn)單判法、插值型求積公式、插值 型求積公式的代數(shù)精度；牛頓一柯特斯 （Newton-Cotes）公式、辛卜生（Simpson）公式、幾種 低價(jià)牛頓一柯特斯求積公式的余項(xiàng)； 牛頓一柯特斯公式的和收斂性、 復(fù)化梯形公式及其截?cái)?誤差、復(fù)化 Simpson 公式及其截?cái)嗾`差、 龍貝格（ Romberg ）求積法、外推加速法、 高斯型 求積公式、 插值型求積公式的最高代數(shù)精度、 高斯點(diǎn)的充分必要條件。 正交多項(xiàng)式的構(gòu)造方 法、高斯公式權(quán)

6、系數(shù)的建立、 Gauss-Legendre 公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)。 本段加黑斜體內(nèi)容理論 推導(dǎo)可以淡化，但概念需要理解。常微分方程數(shù)值解： 常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法之歐拉及其改進(jìn)法、 龍格庫(kù)塔法、 阿當(dāng)姆斯方法。本套題庫(kù)均采用閉卷考試，卷面總分為 100 分。試題形式分為判別正誤、多項(xiàng)選擇、填空、 解答和證明等多種題型。 其中判斷題、 多項(xiàng)選擇題和填空題覆蓋整個(gè)內(nèi)容范圍， 題量 多而廣， 重點(diǎn)集中在基本概念、 公式和方法的構(gòu)建與處理思想等方面， 此類(lèi)題型主要用于考 查學(xué)生對(duì)整體內(nèi)容的理解與掌握情況； 解答題重點(diǎn)放在主要的計(jì)算技術(shù)和方法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò) 程，主要考查學(xué)生對(duì)主要計(jì)算技術(shù)、 技巧和方法理解

7、與掌握情況； 證明題主要集中在主要的 計(jì)算技術(shù)和方法的分析過(guò)程，主要考查學(xué)生的理論分析能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。本課程的考試方法與要求： 期末閉卷考試，按時(shí)完成上機(jī)習(xí)題。學(xué)習(xí)合格條件：考試卷面成績(jī) 60 且上機(jī)習(xí)題符合要求，二者缺一不可。綜合成績(jī)： 原則上 =卷面成績(jī)，但可參考上機(jī)習(xí)題完成情況作微調(diào)。1緒論(1).要使.20的近似值的相對(duì)誤差限0.1%,應(yīng)至少取 _4位有效數(shù)字。 1.20 = 0.4 10, a1=4, r2a110-(n-1) 0.1%，故可取n 4,即4位有效數(shù)字。(2).要使,20的近似值的相對(duì)誤差限0.1%,應(yīng)至少取 4 位有效數(shù)字，此時(shí)的絕對(duì)誤差限為(3).1 z

8、1032設(shè)y=f(X1,X2)若X1,X2,的近似值分別為X1*, X2*,令y*=f(x1*,X2*)作為y的近似值，其絕對(duì)誤差限的估計(jì)式 為:| |f(X1*,X2*)|X 1-X* 1|+ |f(X1*,X2*)|X2-X*2|(4).計(jì)算 f=(、2 -1)6 ,取 2 =1.4 ,利用下列算式，那個(gè)得到的結(jié)果最好？答:1(2 1)6(B)(3-2 2 )2, (C),(D)99-70 J 2(32、2)3(5).要使的近似值的相對(duì)誤差限 0.1%,應(yīng)至少取位有效數(shù)字?J7 =0.410, a1=4, r 10-(n-1)1 ，則解此方程組的Jacobi迭代法收斂（填“收斂”或b2，|

9、X|2，|X | X |h 9,|X |229,|X |41（10）.已知方程組0.32“是”或“不”），解（3）因A迭代是收斂的,（11）.已知方程組X1X2b1b2，則解此方程組的Jacobi迭代法收斂（填0.32的Jacobi迭代矩陣B0.3220，(B)0.8故Jacobi5x 2y3x 20y268，其雅可比法的迭代矩陣是，高斯-塞德?tīng)柗?c2、，(k 1)2 y(k)80 -xy5553 0 ,(k 1)y3 (k 1)x1320201012X1(12).已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法0.321X2b2“是”或“不”)，收斂(填(13).已知方程組5x3x2y 820

10、y26其雅可比法的迭代矩陣是，高斯-塞德?tīng)柗ǖ牡?202解因A的Jacobi迭代矩陣B5(B)0.8，故Jacobi迭代是收0.3210.320斂的,代格式是2(k 1)2(k)80x-y5553J0(k 1) y2x(k 1)13202010a10(14).A01 ，要使lim Ak 0，a應(yīng)滿足 k2解a1(15). X (2,3, 4)T 則 HXIh ，|X|2 ，|X|A ； 0，則 IIAI1 ， (A)解 |X|h 9,|X |229,|X|4。| A|1 4, (A)1(| I A| (21)，1,2 1)A(16).設(shè)若1 031 ,則矩陣 A 的 1-范數(shù) A 1，cond

11、1(A) =_16。(17).如果線性方程組 Ax b用Jacobi迭代法，其迭代矩陣 B滿足 B 11。如果用Gauss-Seidel迭代法解此線性方程組 Ax b，則方法 一定(一定，不一定)收斂12 x1b1，則解此方程組的Jacobi 迭代法 _是.收斂(填“是”0.321x2b22，則 A!=6，A Y = _7_,A的譜半徑 (A)=1 (5+33)0 a2，當(dāng) a 1 時(shí)Gauss-Seideli迭代格式收斂。a 0(22) .已知方程組或“不”)1(23) .已知A3(18).設(shè)1，則 Q2(19). x(3,0, 4,12)t，則 |x|1，l|x|2l|x|答案：(1)19

12、, 13, 12;(20).方程組Ax=b用超松馳法求解時(shí)，迭代矩陣為B (DL) 1(1 )D U,要使迭代法收斂，條件0 2是必要條件(充分條件、必要條件、充要條件)；如果A是正定矩陣，用超松馳法求解，方法收斂當(dāng)且僅當(dāng)1 a 為10a(21).給定方程組，其Jacobi迭代格式的迭代矩陣為a 1x?2a 0在區(qū)間(0,2) 時(shí)。當(dāng) a 1 時(shí)，Jacobi迭代格式收斂；其 Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩陣為3(24). ( 1).設(shè) f (x) = (x- 1)，則 f(X)關(guān)于 C0,1的 ff 2 =,7(25). X (2,3, 4)T 則 |X|1 ，|X|2 ，|X|解

13、 | X |h 9,|X|229,|X |45x 2y 8(26)已知方程組，其雅可比法的迭代矩陣是，高斯-塞德?tīng)柗ǖ牡?x 20y26代格式是；n02(k 1)2(k)8X-y5553J0(k 1)3 (k 1)1320yX2010解21438設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為 A=413，列主元消元法的第一次主元素為(13);第二次主元素13517486為(用小數(shù)表示)(14);記此方程組的高斯-塞德?tīng)柕仃嚍锽G=(aj)4 4,則a23= (15) ,.(13) -8 ; (14)7 .5;(15)-17/4;(27).5插值n(28) .在等式f Xo,X1, Xn ak f (Xk )中,

14、系數(shù)ak與函數(shù)f(x _關(guān)。(限填“有”或“無(wú)”)k 0n(29) .設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)XO, X1,，xn,的Lagrange插值基函數(shù)，則(Xk 乂)”&)_0k 0m=1,2,n(30) .用n+1個(gè)不同節(jié)點(diǎn)作不超過(guò) n次的多項(xiàng)式插值，分別采用Lagrange插值方法與Newton插值方法所得多項(xiàng)式(相等，不相等)。0,3(31) .函數(shù) f (x) X ,X (x是三次樣條函數(shù)的函數(shù)是。01)2,11 與函數(shù)g(x)2X3 2x 1,2x3 2x 1,0 x 1，另一函數(shù)不是三次樣條函數(shù)的理由是二階導(dǎo)不連續(xù)a)設(shè)Pk(xk,yk) , k=1,2,5為函數(shù)y=x2- 3x+1上

15、的5個(gè)互異的點(diǎn)，過(guò) P1,P5且次數(shù)不0,1X0超過(guò)4次的插值多項(xiàng)式是 x2- 3x+1。函數(shù) f (x)X3,0X1與X3 (X 1)2,1X2x3 2x 11函數(shù) g(x)3,12x3 2x 1,0x 0中,是三次樣條函數(shù)的函數(shù)是X 1g(x)，另一函數(shù)不是三次樣條函數(shù)的理由是不滿足具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。(32).令 f(x)=ax 7+ x4+3x+1,則 f20, 21,27= _a_; f20, 21,2勺=_0(33).設(shè) I。)(X Xo) (X Xi i)(x Xi 1) (X Xn)(Xi Xo) (Xi Xi i)(XiXi 1) (XiXn)(i=0,l,，則 xJk(x)=

16、k 0,Xnf )n!x,這里(xi xj,i j, n 2)。(34).牛頓插商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式為：f Xo,2次插值多項(xiàng)(35).設(shè)XO,X1,X2是區(qū)間a, b上的互異節(jié)點(diǎn)，f(x)在a, b上具有各階導(dǎo)數(shù)，過(guò)該組節(jié)點(diǎn)的f (3) ( ) 2 式的余項(xiàng)為：R2(x)=(x Xk)3! k 0n(36).在等式 fx0,Xi, xn ak f (xk)中，系數(shù) ak與函數(shù) f(x)_ 無(wú)_關(guān).k 0(37) .高次插值容易產(chǎn)生 龍格(Runge)現(xiàn)象。(38) .(39) .設(shè)Pxk,yk) , k=1,2,5為函數(shù)y=x2- 3x+1上的5個(gè)互異的點(diǎn)，過(guò) P1,P.若 0(x),1(x

17、),，n(x)是a,b上的正交族。 (X) ak k(x)為f(x)的最佳平方逼近。系 k 0且次數(shù)不超過(guò)4次的插值多項(xiàng)式是x2- 3x+1。(40) .令 f(x)=x 7+ x.在函數(shù)的最佳一致逼近問(wèn)題中，評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(10)范數(shù),在函數(shù)的最佳平方逼近問(wèn)題中，評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(11)范數(shù).無(wú)窮范數(shù)；|f| ; 2-范數(shù)n+3x+1,則 f20, 21,2s =0(41) .確定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)所需條件個(gè)數(shù)至少需要 4n個(gè)(42) .若 f(X)充分 光滑， 若 2 n + 1 次 多項(xiàng)式 H2n+1(X)滿 足 H2n+1(Xi)= f (Xi),

18、H2n1(Xi)f (Xi),(i1,2,n) ,則稱(chēng) H2n+1(x)是 f (X)的Hermite 插值多項(xiàng)式，且余項(xiàng) R (x) =f (x) H2n+1(x)=R(x)(2n 2)(2n 2)!(xX)2(XX1)2(x Xn)2(43) .設(shè)Pk(xk,yk) , k=1,2,5為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個(gè)互異的點(diǎn)，過(guò) P1,P5且次數(shù)不超過(guò)4次的插值多項(xiàng)式是 _。解(4) y=x2- 3x+1(44) .用n+1個(gè)作不超過(guò)n次的多項(xiàng)值插值，分別采用Lagrange插值方法與Newton插值方法所得多項(xiàng)式相等(相等，不相等)6擬合(1) .采用正交多項(xiàng)式擬合可避免最小二乘或最佳平

19、方逼近中常見(jiàn)的法方程組病態(tài)問(wèn)題。(2) .試確定0,1區(qū)間上2x3的不超過(guò)二次的最佳一致逼近多項(xiàng)式p(x),該多項(xiàng)式唯一否？答：p(x)=(3/2)x,;唯一。(3) .設(shè)f(x) Ca,b， f(x)的最佳一致逼近多項(xiàng)式是_一定存在的。k 0,1, n數(shù) ak= ak(f, k)(6) .在函數(shù)的最佳一致逼近問(wèn)題中 在函數(shù)的最佳平方逼近問(wèn)題中,評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的,評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的無(wú)窮范數(shù).2范數(shù).(無(wú)窮范數(shù)；2-范數(shù)，1-范數(shù))(7) .設(shè)f(x)=2x4在-1,1上的不超過(guò)3次最佳一致逼近多項(xiàng)式P(x)= 2x2- 1/4。(8) .采用正交多項(xiàng)式擬合可避免最小二

20、乘或最佳平方逼近中常見(jiàn)的(9)問(wèn)題.(9) .在函數(shù)的最佳一致逼近問(wèn)題中，評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(10)范數(shù).(10) .函數(shù)的最佳平方逼近問(wèn)題中，評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(11)范數(shù).一1(11) .函數(shù)f(x)=|x|在-1,1的，次數(shù)不超過(guò)一次的最佳平方逼近多項(xiàng)式是一27積分(45) . Gauss型求積公式不是插值型求積公式。(限填“是”或“不是”)(46) . n個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度一定會(huì)超過(guò)n-1次n(47) .設(shè)Ckn)稱(chēng)為柯特斯系數(shù)貝UCkn) =1k 0(48) .為辛卜生(Simpson)公式具有 3次代數(shù)精度。(49) . 2n階Newton

21、-Cotes公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。n(50).設(shè)公式In Ak f (xk)為插值型求積公式，則Akk 0lk(x)dx(k0,1,n)n且 Ak =b-ak 0(51) . n個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度不會(huì)超過(guò)2n 1次。(52) . Gauss點(diǎn)與積分區(qū)間無(wú)關(guān)但與被積函數(shù)有關(guān)。(53).當(dāng)常數(shù)A=109B= 109數(shù)值積分公式1602 f(x)dx? Af( a)+ f (0) + Bf (a)是 Gauss型積分公式 29(54). Simpsons 數(shù)值求積公式具有10(x4 (In 2)x2 2x 0.45)dx所產(chǎn)生的誤差值為次代數(shù)精度，1120用于計(jì)算b(55).

22、形如 f (x)dxan階,Ak f (xk)的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)到 k 0至多可達(dá)到_2n+1階；(56) .勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式是區(qū)間 -1,1上，帶權(quán)1正交的正交多項(xiàng)3 x2用梯形公式計(jì)算積分e X dx 9.219524E-003:此值比實(shí)際值小(大,小)2 1(57) .用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分0f(x)dx,要把區(qū)間0,1 一般要等分 41_ 份才能保1)；如果知道f(x)0，則證滿足誤差小于0.00005的要求(這里f (2) (x)1用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分 f (x)dx此實(shí)際值 大(大，小)。1x.(58).若用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分I 0edx區(qū)

23、間0,1應(yīng)分2129等分，即要計(jì)算個(gè)12130點(diǎn)的函數(shù)值才能使截?cái)嗾`差不超過(guò)-10 7 ;若改用復(fù)化Simpson公式，要達(dá)到同樣精2度區(qū)間0,1應(yīng)分12等分，即要計(jì)算個(gè)25 點(diǎn)的函數(shù)值。(59). Simpsons 數(shù)值求1420(x (In 2)x積公式具有2x0.45)dx所產(chǎn)生的誤差值為次代數(shù)精度，用于計(jì)算120b(60).形如 f (x)dxanAkk 0f (Xk )的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)到n階,至多可達(dá)到2n+1階;(61).若用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分I1 x0edx區(qū)間0,1應(yīng)分2129 等分，即要計(jì)算個(gè)2130 點(diǎn)的函數(shù)值才能使截?cái)嗾`差不超過(guò)1 10 7 ;若

24、改用復(fù)化Simpson2公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間0,1應(yīng)分12等分，即要計(jì)算個(gè) 25 點(diǎn)的函數(shù)值1(62).在以(g(x), f(x)0xf(x)g(x)dx, f (x), g(x)C0,1為內(nèi)積的空間C0,1中，與非零常數(shù)正交的最高項(xiàng)系數(shù)為1的一次多項(xiàng)式是 x(63). Simpsons 數(shù)值求積公式具有 ；(X4 (In 2)X2 2x 0.45)dx所產(chǎn)生的誤差值為2。3次代數(shù)精度，用于計(jì)算b(64).形如 f (x)dxaAk f (Xk)的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)到k 0階,至多可達(dá)到階;8微分方程(25).歐拉預(yù)報(bào)-校正公式求解初值問(wèn)題y f(X,y)的迭代格式(步長(zhǎng)為

25、h)yk+1 =y(a)此方法是階方法。hyk+1= yk 2 f(Xk,yk)(28).歐拉預(yù)報(bào)-校正公式求解初值問(wèn)題y yy(0)x 0，如取步長(zhǎng)h=0.1,計(jì)算y(0.1)的近似值為(29).0.005000，此方法是t 1(1)當(dāng) a 一2階方法時(shí),下述形式的RK公式為二階公式y(tǒng)nK1K2y hK2 f (Xn, yn) f (Xn ah, ynhbKJ(30).歐拉預(yù)報(bào)-校正公式求解初值問(wèn)題yf(x,y)的迭代格式(步長(zhǎng)為y(a)h) yk+1 =f(xk h, yk hf(xk,yk)，此方法是 2 階方法。(26) .稱(chēng)微分方程的某種數(shù)值解法為p階方法指的是其局部截?cái)嗾`差為0(h

26、p+1)。(27) .求解微分方程數(shù)值解的Euler法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間是 (- 2,0)。1hYk+ ?f (Xk, Yk)+ f (Xk + h, yk + hf (Xk,yk)，此方法是階方法。(31).用Euler方法解初值問(wèn)題y yy(0)0的近似解的最終表達(dá)式y(tǒng)n= (1+ h)n( 取步長(zhǎng)h= X)；當(dāng) nn時(shí)，lim yn =n題庫(kù)分類(lèi)填空題1. 緒論部分(32) .設(shè)x=3.214, y=3.213，欲計(jì)算u= x . y ,請(qǐng)給出一個(gè)精度較高的算式u=. u=x y(33) .設(shè)y=f (xi,X2)若xi ,X2,的近似值分別為xi*, X2*,令y*=f(xi*,X2*)作

27、為y的近似值，其絕對(duì)誤 差限的估計(jì)式為：| |f(xi *,X2*)|x 1-x* 1|+ |f(xi*, X2*)|x 2-x* 2|位有效數(shù)字?(34) .要使20的近似值的相對(duì)誤差限O.i%,應(yīng)至少取、i7 = 0.4iO, ai=4,2aiiO-(n-i) O.i%20 = 0.4110, ai=4, r10-(n-1) 0.1%2a1故可取n 4,即4位有效數(shù)字。(35).要使Ji7的近似值的相對(duì)誤差限O.i%,應(yīng)至少取位有效數(shù)字?故可取n 3.097,即4位有效數(shù)字。i(36).對(duì)于積分In=e-ixneXdx試給出一種 數(shù)值穩(wěn)定的遞推公式0 In- 1=(1 - In)/n ,

28、In 0易知 10=1 - e-1I n=1 - nI n- 1故 In- 1 = (1 - In)/n0k時(shí)，差商f x,證明：因f x, x1,f()n!(c10分)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn) xo, xi，,xn,的Lagrange插值基函數(shù)，證明注意到 nk 時(shí)，f(n)(x)=0 ,n=k 時(shí)，f(n)(x)=k!a k, ak 為 f(x)的 k 次項(xiàng)系數(shù)。(7f)n k-1由差分定義遞推，查n=k-1,k-2,(3f) ok!(6) . (c10分)設(shè)g(x)和h(x)分別是f(x)關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)X1,Xn-1以及互異節(jié)點(diǎn)X2,xn的插值 多項(xiàng)式，試用g(x)和h(x)表示f(x)

29、關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)X1,xn的插值多項(xiàng)式.解:令 q(x)=Ag(x)(x-x n)+Bh(x)(x-x 1)為待定n次多項(xiàng)式，A,B為待定系數(shù)，注意到 g(xk)=f(x k), k=1,n-1h(xk)=f(x k), k=2,n(7f)帶入得 A=1/X 1-Xn,B=1/Xn-X1,帶入ok!(7) . (a10f)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn) X0, X1，,xn,的Lagrange插值基函數(shù)，證明n(1) Xk lk(x) x m=0,1,nk 0(2) (Xk x)mh(x) 0m=1,2,nk 0證明：由插值唯一性定理知(1)。展開(kāi)知(2)(8) . (a10f)證明對(duì)于不超過(guò) k次的

30、多項(xiàng)式p(x)有np(Xk)lk(x)p(x), k nk 0lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn) xo,xi,xn,的Lagrange插值基函數(shù)證明：由插值唯一性定理知。(9) . (a10f)設(shè)p(x)是任意首次項(xiàng)系數(shù)為 1的n+1次多項(xiàng)式，lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn) xo, xi,xn,的Lagrange插值基函數(shù)n證明 p(x) p(Xk)lk(X) Wn 1(X)k 0n其中 Wn 1(X) (X Xj )j 0ok!證明：插值余項(xiàng)直接計(jì)算(10).(a10f)已知函數(shù)明him0fX0,X1,Xn證明：因f Xo, X1,f 5)(X0)n!f(n)()(X0,X0+ nh)注意到n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，

31、兩邊取極限ok! n!y=f(x)在點(diǎn)X0的某鄰域內(nèi)有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù),記xk=x0+ kh (k=1,2,n),證(11) .(c10f)用等節(jié)距分段二次插值函數(shù)在區(qū)間0,1上近似函數(shù)ex,如何估算節(jié)點(diǎn)數(shù)目使插值誤差2 10-6解：考慮子區(qū)間Xi-1 ,Xi二次插值余項(xiàng)f(x) P2(x)f (3)()(x3!Xi)(X Xi 1/2)(X Xi 1)e-max (x6 xi x xi 1Xi)(X Xi 1/2)(X Xi 1)令 x=Xi+”2+s(h/2)上式化簡(jiǎn)為-max (s 1)s(seh3 2.348 9令489610 得 h 0.028413故子區(qū)間個(gè)數(shù)為 N=2/h 70.4,

32、取N=71故插值節(jié)點(diǎn)數(shù)為2N+1=143(12) .(b10分)設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，Pi(x)為其以a,b為節(jié)點(diǎn)的一次插值多項(xiàng) 式，證明f (x) P1(x)_ max f (x) x a, b證明：利用插值余項(xiàng)結(jié)果可得線性插值多8 a x b項(xiàng)式P1(x)在子區(qū)間a,b上的余項(xiàng)估計(jì)式，再估計(jì)最值ok!f (x) PMx)a)(x/max fa x bb)(13) .(b10分)已知s(x)是0,2上的已知自然邊界條件的三次樣條函數(shù)，試確定0 x 11)3, 1 x 21 2x x3,S(x) 2 b(x 1) c(x 1)2 d(x中的參數(shù)b,c,d解：利用邊界條件s/(

33、2-0)=0及樣條函數(shù)定義可得b=-1,c=-3,d=1(14) .(b10分)判斷下面2個(gè)函數(shù)是否是-1,1上以0為內(nèi)節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)。設(shè)(1)S(x)=x3 3x2 x 2, x3 3x2 x 2,-1x00 x 1S(x)=5x3 3x2 x 2,x3 3x2 x 2,-1x00 x 1解：(1)是，(2)否。(15) . (a10f)令 f(x)=x 7+ x4+3x+1求 f2, 21,27及 f20, 21,28f (n)()解：fX,X1, ,Xnn!f20, 21,27=1f20, 21,28=0(16) . (a10f)證明n階均差有下列性質(zhì)：(1) 若 F(x)=cf(x

34、),則FX0, X1,Xn=C fX0, X1,xn(2) 若 F(x)=f(x)+g(x),貝VFX0, X1,Xn= fX0, X1,Xn+ gX0, X1,Xnn證明：f X0,X1, ,Xnak f (Xk)k 0其中，1ak=ok!(17) .(a10f)回答下列問(wèn)題：(1) 什么叫樣條函數(shù)？(2) 確定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)所需條件個(gè)數(shù)至少需要多少？(3) 三轉(zhuǎn)角法中參數(shù) mi的數(shù)學(xué)意義是什么？答：(1 )略(2) 4n 個(gè)(3) mi=S/(xi)即樣條函數(shù)在節(jié)點(diǎn) xi處的一階導(dǎo)數(shù)。(18) .(a10f)回答下列問(wèn)題：(1) 何謂Hermite插值問(wèn)題？(2) Hermit

35、e插值與一般多項(xiàng)式插值有什么區(qū)別？第2章擬合(1) .采用正交多項(xiàng)式擬合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常見(jiàn)的問(wèn)題.(2) .在函數(shù)的最佳一致逼近問(wèn)題中，評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(10)范數(shù)在函數(shù)的最佳平方逼近問(wèn)題中，評(píng)價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的(11)范數(shù)無(wú)窮范數(shù)|f| ； 2-范數(shù)(3) . 3.計(jì)算題(1). (b10f)設(shè)f(x) -a,a的最佳一致逼近多項(xiàng)式為P(x),試證明(1) f(x)是偶函數(shù)時(shí)P(x)也是偶函數(shù)；(2) f(x)是奇函數(shù)時(shí)P(x)也是奇函數(shù)。證明：(1)令t=-x,考查max |f(x)-P(x)|= max |f(-t)-P(-t)|= max |f(

36、t)-P(-t)|,故 P(-x)也是 f(x) -a,a的最佳一致逼近a x aa t aa t a多項(xiàng)式，由最佳一致逼近多項(xiàng)式的唯一性知P(-x)=P(x).(2)略。(2) . (a10f)試確定0,1區(qū)間上2x3的不超過(guò)二次的最佳一致逼近多項(xiàng)式p(x)，該多項(xiàng)式唯一否？解：p(x)=(3/2)x,唯一。(3) .求f(x)=2x3+x2+2x- 1在-1,1上的最佳二次逼近多項(xiàng)式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1 (x)=cos =xT2(x)=cos2 =2x2-1T3(x)=cos3 =4x3-3x T4(x)=cos4 =8x4-8x2+1解：f(x)=2x3+x2+2x

37、- 1- P(x)1 1=2.盯T3(x)= 2T3(x)1 1故 P(x)= f(x)- T3(x)= 2x3+x2+2x- 1- 2 x3+ 3x2 22 7=x + x- 12(4) .求f(x)=2x4在-1,1上的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式P(x)。已知To(x)=cosO=1T1 (x)=cos =xT2(x)=cos2 =2x2-1T3(x)=cos3 =4x3-3xT4(x)=cos4 =8x4-8x2+1解：P(x)= 2x2- 1/4(5) .求f(x)=2x4在0,2上的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式P(x)。已知To(x)=cosO=1T1 (x)=cos =x2T2(x)=cos

38、2 =2x -1T3(x)=cos3 =4x3-3xT4(x)=cos4 =8x4-8x2+1解：令 x=t+1, t -1,1, f(x)=g(t)=(t+1) 4故g(t)的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式為P3(t)=4t 3+7t2+4t+7/8故f(x)的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式為P(x)=P3(x-1)= 4x 3-5x2+2x-1/8(6) .設(shè)f(x) Ca,b,證明f(x)的最佳零次一致逼近函數(shù)為s(x)=(M+m)/2 ,其中M和m分別為f(x)在a,b上的最大與最小值。(7) .證明a,b上的正交函數(shù)系 H=h 1(x), h2(x),hm(x)是線性無(wú)關(guān)的函數(shù)系。證：寫(xiě)出線性組合式子 2分作內(nèi)積求系數(shù) 2分(8) .(10分)求f(x)=lnx ,x 1,2上的二