最短路徑問題

1、最短路徑問題 姓名類型一、一條直線外兩個定點到直線上一動點距離之和最小的問題：1. 一條直線 異側(cè)兩個定點 到 直線上一動點 距離之和最小，確定動點的位置。 作法：連接兩個定點，交直線于一點，交點即為所求。例 1、如圖，在直線 l 上求一點 P，使 PA+PB 值最小 作法：連接 AB，交直線 l 于點 P，點 P 即為所求。 說明：連接 A、B 兩點的線中，線段最短。 連接 AB，交直線 l 于點 P，此時 PA+PB最小 =AB2. 一條直線 同側(cè)兩個定點 到 直線上一動點 距離之和最小，確定動點的位置。 方法：利用軸對稱變換將 直線同側(cè)兩個定點轉(zhuǎn)化為 直線 異側(cè)兩個定點，然后根據(jù)“兩點之

2、間線段最 短”，用例 1 的方法確定動點的位置。ABlAB例 2、 如圖，在直線 l 上求一點 P，使 PA+PB 值最小 作法：作點 A關(guān)于直線 l 的對稱點 A；連接 A B，交直線 l 于點 P，點 P即為所求。 說明：連接 AP、AA，點 A和點 A關(guān)于直線 l 對稱， 直線 l是 AA的垂直平分線， PA=PA，兩點之間，線段最短。 此時 PA+PB最小 =PA+PB=AB。 類型二、一條直線外兩個定點到直線上一動點距離之差最大的問題： 1. 一條直線 同側(cè)兩個定點 到直線上一動點 距離之差最大，確定動點的位置。 例 3 、在直線 l 上求一點 P，使 PA PB 的值最大 作法：連

3、接 AB，并延長交直線 l 于點 P，點 P 即為所求。證明：在直線 l 上另取一點 P，連接 PA 和 PB， 三角形的兩邊之差大于第三邊，PA PBAB； 而連接 AB，并延長交直線 l 于點 P，此時 PA PB AB，A此時 PA PB 最大 AB2. 一條直線 異側(cè)兩個定點 到直線上一動點 距離之差最大，確定動點的位置。 方法：利用軸對稱變換將 直線異側(cè)兩個定點轉(zhuǎn)化為 直線 同側(cè)兩個定點， 然后根據(jù)“三角形的兩邊之差大于第三邊” ，用例 3 的方法確定動點的位置。例 4 、如圖，在直線 l 上求一點 P，使 PA PB 的值最大 作法：作點 B關(guān)于直線 l的對稱點 B，連接 AB，并

4、延長交直線 l于點 P，點 P即為所求。 說明：連接 AP、AA，點 A和點 A關(guān)于直線 l對稱，直線 l 是AA的垂直平分線 PA=PA， 若在直線 l 上另取一點 P，連接 PA和 PB， 三角形的兩邊之差大于第三邊， PA PBAB此時 PA PB 最大 PA PB AB總結(jié)：“同側(cè)差最大，異側(cè)和最??；位置不滿足，對稱后再看；三點共線找交點” 。 類型三、 兩條直線之間的區(qū)域內(nèi)有一定點， 兩直線上各有一動點， 要使連接這三點所得 的三角形周長最小，確定兩動點的位置。l1Pl2例 5、如圖， 在直線 l1、l2 上分別求點 M、N，使 PMN的周長最小 方法分析：利用軸對稱，將定點 P 分

5、別轉(zhuǎn)化到兩直線所夾區(qū)域的外部去 （即直線 l1 、l 2的另一側(cè)） ，再根據(jù)“兩點之間，線段最短” ， 連接點 P的兩個對稱點，與直線 l1、l2 的交點即為所求。 作法：分別作點 P關(guān)于直線 l1 、l 2的對稱點 P1 、P2 ;連接 P1 P2，交l1于M，交l 2于N，點 M、N即為所求。說明：連接 MP、NP，點 P和點 P1 關(guān)于直線 l1對稱，直線 l1是 PP1的垂直平分線， MP=M1P， 點 P和點 P2 關(guān)于直線 l2 對稱，直線 l2 是 PP2的垂直平分線， NP=NP2 ， 兩點之間，線段最短 ，此時 PM+MN+P最N小 =MP1+MN+NP2=P1P2 類型四、

6、兩條直線的之間有兩個定點，兩直線上各有一動點，要使連接這四點所得的四邊形周長最 小，確定兩動點的位置。例1、在直線 l1、 l2上分別求點 M、N，使四邊形 PQMN周長最小 .方法分析：利用軸對稱，將兩個定點P、 Q分別轉(zhuǎn)化到兩直線所夾區(qū)域的外部去（即直線 l1 、l 2的另一側(cè)） ，一側(cè)一個點，再根據(jù)“兩點之間，線段最短”，連接點 P、Q的對稱點，與直線 l1 、l 2的交點即為所求。作法：作點 Q關(guān)于直線 l1 的對稱點 Q1 ; 作點 P 關(guān)于直線 l2 的對稱點 P1 ； ；連接 P1 Q1，交l1于N，交 l2于M，點M 、N即為所求說明：連接 MP、NQ，點 P和點 P1關(guān)于直線

7、 l 2對稱，直線 l2是 PP1的垂直平分線， MP=M1P，點 Q和點 Q1關(guān)于直線 l1 對稱，直線 l1是 QQ1 的垂直平分線， NQ=NQ1，兩點之間，線段最短 ，此時 PM+MN+P最N小 =MP1+MN+NQ1=P1Q1例 2、如圖，牧童星期天從 A處趕了幾只羊到草地 m放羊，然后趕到小河 n飲水，之后再回到 B 處的 家，假設(shè)牧童趕羊走的都是直路，請你為他設(shè)計一條最短的路線標明放羊與飲水的位置。類型五、架橋修路距離最短的問題 1、兩條平行線 m 、n之間的距離為 d，直線 m、n外有異側(cè)兩定點 A、B，在 m、n 上分別有兩個動點M、N，且 MN m ，要使 AM+MN+B的

8、N值最小，試確定動點 M、 N的位置。 作法：從點 A向下作 AA m且 AA =d（即：將點 A向下平移 d個單位長度至點 A） 連接 AB，交直線 n 于點 N，作 NM m于 M， M、 N 即為所求。 說明：連接 AM、 BN，此時， AA平行且等于 MN，四邊形 AA NM是平行四邊形，AM=AN， MN m，且 AM+MN+B最N小 =AB+MN。例 1、如圖，從 A地到 B 地經(jīng)過一條小河（兩岸平行） ，今要在河上建一座橋 （橋與河岸垂直） ，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使 A到 B的路程最短例 2、荊州護城河在 CC處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相等，從 A 處到達 B處， 需經(jīng)過兩座橋 DD、

9、EE，護城河及兩橋都是東西、南北方向，橋與 河岸垂直如何確定兩座橋的位置，可使A到 B 點路徑最短2、一條直線 a上有兩個動點 M、N（點 M在 N的左邊），M、N的距離為定值 d，直線 a 外有異側(cè)兩定 點 A、B，要使 AM+MN+B的N 值最小，試確定動點 M、N的位置。作法：從點 A向右作 AAa 且 AA =MN=d（即：將點 A向右平移 d 個單位長度至點 A） 連接 AB，交直線 a 于點 N，在直線 a 上點 N的左邊截取 NM=d，M、N即為所求。 說明：連接 AM、 BN，此時， AA平行且等于 MN， 四邊形 AA NM是平行四邊形， AM=A N， 且 AM+MN+B最N小 =AB+MN。3、一條直線 a上有兩個動點 M、N（點 M在 N的左邊），M、N的距離為定值 d，直線 a 外有同側(cè)兩定A2 )點 A、B，要使 AM+MN+B的N 值最小，試確定動點 M、N的位置。 作法：作點 A關(guān)于直線 a的對稱點 A1 ，（問題即轉(zhuǎn)化為 2 中的問題）從點 A向右作 A1A2a且 A1A2 MN d （即：將點 A1向右平移 d個單位長度至點連接 A2 B ，交直線 a 于點 N，在直線 a 上點