2.3.4-平面與平面垂直的性質(zhì)

1、2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)三維目標(biāo)1.探究平面與平面垂直的性質(zhì)定理，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力. 2.面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.3.通過(guò)平面與平面垂直的性質(zhì)定理的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面與平面垂直的性質(zhì)定理.教學(xué)難點(diǎn):平面與平面性質(zhì)定理的應(yīng)用.課時(shí)安排1 課時(shí)教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)（1）面面垂直的定義.如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理.兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.兩個(gè)平面垂直的判定定理符號(hào)表述為：ab bab a.兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形

2、表述為：圖 1導(dǎo)入新課思路 1.(情境導(dǎo)入)黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫(huà)一條直線與地面垂直？思路 2.(事例導(dǎo)入)如圖 2，長(zhǎng)方體 abcdabcd中，平面 aadd與平面 abcd 垂直,直線 aa 垂直于其交線 ad.平面 aadd內(nèi)的直線 aa 與平面 abcd 垂直嗎？珍貴文檔推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題如圖 3,若 ,=cd,ab圖 2,abcd,abcd=b.請(qǐng)同學(xué)們討論直線 ab 與平面 的位置關(guān)系.圖 32 用三種語(yǔ)言描述平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并給出證明.3 設(shè)平面 平面 ,點(diǎn) p,pa,a,請(qǐng)同學(xué)們討論直線 a 與平面 的關(guān)系.4 分析平面與平面垂直的性質(zhì)

3、定理的特點(diǎn)，討論應(yīng)用定理的難點(diǎn).5 總結(jié)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的口訣.活動(dòng):問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線 ab 與平面 的關(guān)系.問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換.問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線 a 與平面 的關(guān)系.問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回憶立體幾何的核心，以及平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn).問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用平面與平面垂直的性質(zhì)定理的口訣.討論結(jié)果：通過(guò)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線 ab 與平面 垂直,如圖 3.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用文字語(yǔ)言描述為：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直 于它們交線的直線垂直于另一平面.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語(yǔ)言描述為：如圖 4.圖 4珍貴文檔a

4、bab a兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用符號(hào)語(yǔ)言描述為：a b=cdab.ab cdab cd =b 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理證明過(guò)程如下：如圖 5，已知 ,=a,ab圖 5，aba 于 b.求證：ab.證明：在平面 內(nèi)作 becd 垂足為 b,則abe 就是二面角 cd 的平面角.由 ,可知 abbe.又 abcd，be 與 cd 是 內(nèi)兩條相交直線,ab.問(wèn)題也是闡述面面垂直的性質(zhì)，變?yōu)槲淖謹(jǐn)⑹鰹椋呵笞C：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在 第一個(gè)平面內(nèi).下面給出證明.如圖 6,已知 ，p，pa，a.求證：a .圖 6證明：設(shè) =c，過(guò)點(diǎn) p 在平面 內(nèi)作直線

5、 bc，,b.而 a，pa,經(jīng)過(guò)一點(diǎn)只能有一條直線與平面 垂直,直線 a 應(yīng)與直線 b 重合.那么 a.利用“同一法”證明問(wèn)題，主要是在按一般途徑不易完成問(wèn)題的情形下所采用的一種數(shù)學(xué)方法，這里要求做到兩點(diǎn).一是作出符合題意的直線 b，不易想到，二是證明直線 b 和直線a 重合，相對(duì)容易些.點(diǎn) p 的位置由投影所給的圖及證明過(guò)程可知，可以在交線上，也可以不 在交線上.我認(rèn)為立體幾何的核心是：直線與平面垂直，因?yàn)榱Ⅲw幾何的幾乎所有問(wèn)題都是圍繞它展開(kāi)的，例如它不僅是線線垂直與面面垂直相互轉(zhuǎn)化的橋梁，而且由它還可以轉(zhuǎn)化為線線珍貴文檔21平行，即使作線面角和二面角的平面角也離不開(kāi)它 .兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)

6、定理的特點(diǎn)就是幫 我們找平面的垂線，因此它是立體幾何中最重要的定理.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理口訣是：“見(jiàn)到面面垂直，立即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂 線”.應(yīng)用示例例 1 如圖 7，已知 ，a,a,試判斷直線 a 與平面 的位置關(guān)系.圖 7解:在 內(nèi)作垂直于 與 交線的垂線 b,b.a,ab.a ,a.變式訓(xùn)練如圖 8,已知平面 交平面 于直線 a.、 同垂直于平面 ，又同平行于直線 b.求證： (1)a；(2)b.圖 8圖 9證明：如圖 9,(1)設(shè) =ab，=ac.在 內(nèi)任取一點(diǎn) p 并在 內(nèi)作直線 pmab，pnac.，pm.而 a，pma.同理,pna.又 pm，pn，a.(2)在 a 上任取

7、點(diǎn) q，過(guò) b 與 q 作一平面交 于直線 a1，交 于直線 a .b，ba .同理,ba 2.珍貴文檔a1 21 221 2ba1、a 同過(guò) q 且平行于 b，a 、a 重合.又 a1，a，a 、a 都是 、 的交線，即都重合于 a.，ba.而 a，b.例 2 如圖 10，四棱錐 pabcd 的底面是 ab=2，bc= 2 的矩形，側(cè)面 pab 是等邊三角 形，且側(cè)面 pab底面 abcd.圖 10圖 11（1） 證明側(cè)面 pab側(cè)面 pbc；（2） 求側(cè)棱 pc 與底面 abcd 所成的角；（3） 求直線 ab 與平面 pcd 的距離.（1）證明：在矩形 abcd 中，bcab,又面 pa

8、b底面 abcd,側(cè)面 pab底面 abcd=ab,bc側(cè)面 pab.又bc 側(cè)面 pbc,側(cè)面 pab側(cè)面 pbc.（2）解：如圖 11,取 ab 中點(diǎn) e，連接 pe、ce,又pab 是等邊三角形,peab. 又側(cè)面 pab底面 abcd，pe面 abcd.pce 為側(cè)棱 pc 與底面 abcd 所成角.pe=32ba = 3 ,ce= be2+bc2= 3 ,在 pec 中，pce =45為所求.（3）解：在矩形 abcd 中，abcd,cd側(cè)面 pcd，ab 側(cè)面 pcd，ab側(cè)面 pcd.取 cd 中點(diǎn) f，連接 ef、pf，則 efab .又peab,ab平面 pef.又abcd,cd平面 pef.平面 pcd平面 pef.作 egpf，垂足為 g，則 eg平面 pcd .珍貴文檔在 pef 中，eg=pe ec 30