2.3.4-平面與平面垂直的性質(zhì)

1、2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)三維目標1.探究平面與平面垂直的性質(zhì)定理，進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力. 2.面面垂直的性質(zhì)定理的應用，培養(yǎng)學生的推理能力.3.通過平面與平面垂直的性質(zhì)定理的學習,培養(yǎng)學生轉化的思想.重點難點教學重點:平面與平面垂直的性質(zhì)定理.教學難點:平面與平面性質(zhì)定理的應用.課時安排1 課時教學過程復習（1）面面垂直的定義.如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理.兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.兩個平面垂直的判定定理符號表述為：ab bab a.兩個平面垂直的判定定理圖形

2、表述為：圖 1導入新課思路 1.(情境導入)黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？思路 2.(事例導入)如圖 2，長方體 abcdabcd中，平面 aadd與平面 abcd 垂直,直線 aa 垂直于其交線 ad.平面 aadd內(nèi)的直線 aa 與平面 abcd 垂直嗎？珍貴文檔推進新課新知探究提出問題如圖 3,若 ,=cd,ab圖 2,abcd,abcd=b.請同學們討論直線 ab 與平面 的位置關系.圖 32 用三種語言描述平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并給出證明.3 設平面 平面 ,點 p,pa,a,請同學們討論直線 a 與平面 的關系.4 分析平面與平面垂直的性質(zhì)

3、定理的特點，討論應用定理的難點.5 總結應用面面垂直的性質(zhì)定理的口訣.活動:問題引導學生作圖或借助模型探究得出直線 ab 與平面 的關系.問題引導學生進行語言轉換.問題引導學生作圖或借助模型探究得出直線 a 與平面 的關系.問題引導學生回憶立體幾何的核心，以及平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點.問題引導學生找出應用平面與平面垂直的性質(zhì)定理的口訣.討論結果：通過學生作圖或借助模型探究得出直線 ab 與平面 垂直,如圖 3.兩個平面垂直的性質(zhì)定理用文字語言描述為：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直 于它們交線的直線垂直于另一平面.兩個平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語言描述為：如圖 4.圖 4珍貴文檔a

4、bab a兩個平面垂直的性質(zhì)定理用符號語言描述為：a b=cdab.ab cdab cd =b 兩個平面垂直的性質(zhì)定理證明過程如下：如圖 5，已知 ,=a,ab圖 5，aba 于 b.求證：ab.證明：在平面 內(nèi)作 becd 垂足為 b,則abe 就是二面角 cd 的平面角.由 ,可知 abbe.又 abcd，be 與 cd 是 內(nèi)兩條相交直線,ab.問題也是闡述面面垂直的性質(zhì)，變?yōu)槲淖謹⑹鰹椋呵笞C：如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線，在 第一個平面內(nèi).下面給出證明.如圖 6,已知 ，p，pa，a.求證：a .圖 6證明：設 =c，過點 p 在平面 內(nèi)作直線

5、 bc，,b.而 a，pa,經(jīng)過一點只能有一條直線與平面 垂直,直線 a 應與直線 b 重合.那么 a.利用“同一法”證明問題，主要是在按一般途徑不易完成問題的情形下所采用的一種數(shù)學方法，這里要求做到兩點.一是作出符合題意的直線 b，不易想到，二是證明直線 b 和直線a 重合，相對容易些.點 p 的位置由投影所給的圖及證明過程可知，可以在交線上，也可以不 在交線上.我認為立體幾何的核心是：直線與平面垂直，因為立體幾何的幾乎所有問題都是圍繞它展開的，例如它不僅是線線垂直與面面垂直相互轉化的橋梁，而且由它還可以轉化為線線珍貴文檔21平行，即使作線面角和二面角的平面角也離不開它 .兩個平面垂直的性質(zhì)

6、定理的特點就是幫 我們找平面的垂線，因此它是立體幾何中最重要的定理.應用面面垂直的性質(zhì)定理口訣是：“見到面面垂直，立即在一個平面內(nèi)作交線的垂 線”.應用示例例 1 如圖 7，已知 ，a,a,試判斷直線 a 與平面 的位置關系.圖 7解:在 內(nèi)作垂直于 與 交線的垂線 b,b.a,ab.a ,a.變式訓練如圖 8,已知平面 交平面 于直線 a.、 同垂直于平面 ，又同平行于直線 b.求證： (1)a；(2)b.圖 8圖 9證明：如圖 9,(1)設 =ab，=ac.在 內(nèi)任取一點 p 并在 內(nèi)作直線 pmab，pnac.，pm.而 a，pma.同理,pna.又 pm，pn，a.(2)在 a 上任取

7、點 q，過 b 與 q 作一平面交 于直線 a1，交 于直線 a .b，ba .同理,ba 2.珍貴文檔a1 21 221 2ba1、a 同過 q 且平行于 b，a 、a 重合.又 a1，a，a 、a 都是 、 的交線，即都重合于 a.，ba.而 a，b.例 2 如圖 10，四棱錐 pabcd 的底面是 ab=2，bc= 2 的矩形，側面 pab 是等邊三角 形，且側面 pab底面 abcd.圖 10圖 11（1） 證明側面 pab側面 pbc；（2） 求側棱 pc 與底面 abcd 所成的角；（3） 求直線 ab 與平面 pcd 的距離.（1）證明：在矩形 abcd 中，bcab,又面 pa

8、b底面 abcd,側面 pab底面 abcd=ab,bc側面 pab.又bc 側面 pbc,側面 pab側面 pbc.（2）解：如圖 11,取 ab 中點 e，連接 pe、ce,又pab 是等邊三角形,peab. 又側面 pab底面 abcd，pe面 abcd.pce 為側棱 pc 與底面 abcd 所成角.pe=32ba = 3 ,ce= be2+bc2= 3 ,在 pec 中，pce =45為所求.（3）解：在矩形 abcd 中，abcd,cd側面 pcd，ab 側面 pcd，ab側面 pcd.取 cd 中點 f，連接 ef、pf，則 efab .又peab,ab平面 pef.又abcd,cd平面 pef.平面 pcd平面 pef.作 egpf，垂足為 g，則 eg平面 pcd .珍貴文檔在 pef 中，eg=pe ec 30