小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義：乘除法數(shù)字謎(二)-帶詳解

1、乘除法數(shù)字謎（二）教學(xué)目標(biāo)數(shù)字謎是杯賽中非常重要的一塊，特別是迎春杯，數(shù)字謎是必考的，一般學(xué)生在做數(shù)字謎的時(shí)候都采用 嘗試的方式，但是這樣會在考試中浪費(fèi)很多時(shí)間本模塊主要講乘除豎式數(shù)字謎的解題方法，學(xué)會通過找突 破口來解決問題最后通過例題的學(xué)習(xí)，總結(jié)解數(shù)字謎問題的關(guān)鍵是找到合適的解題突破口在確定各數(shù)位 上的數(shù)字時(shí)，首先要對填寫的數(shù)字進(jìn)行估算，這樣可以縮小取值范圍，然后再逐一檢驗(yàn)，去掉不符合題意的 取值，直到取得正確的解答知識點(diǎn)撥1. 數(shù)字謎定義:一般是指那些含有未知數(shù)字或未知運(yùn)算符號的算式2. 數(shù)字謎突破口：這種不完整的算式，就像“謎”一樣，要解開這樣的謎，就得根據(jù)有關(guān)的運(yùn)算法則，數(shù)的 性質(zhì)（

2、和差積商的位數(shù)，數(shù)的整除性，奇偶性，尾數(shù)規(guī)律等）來進(jìn)行正確的推理，判斷3. 解數(shù)字謎：一般是從某個(gè)數(shù)的首位或末位數(shù)字上尋找突破口推理時(shí)應(yīng)注意：1 數(shù)字謎中的文字，字母或其它符號，只取 0 9 中的某個(gè)數(shù)字；2 要認(rèn)真分析算式中所包含的數(shù)量關(guān)系，找出盡可能多的隱蔽條件；3 必要時(shí)應(yīng)采用枚舉和篩選相結(jié)合的方法（試驗(yàn)法），逐步淘汰掉那些不符合題意的數(shù)字；4 數(shù)字謎解出之后，最好驗(yàn)算一遍例題精講模塊一、與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎（1）、特殊數(shù)字【例 1】 如圖，不同的漢字代表不同的數(shù)字，其中“變”為 1，3，5，7，9，11，13 這七個(gè)數(shù)的平均數(shù)，那么 “學(xué)習(xí)改變命運(yùn)”代表的多位數(shù)是 學(xué)習(xí)改 變 命 運(yùn)變1

3、 9 9 9 9 9 8【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之特殊數(shù)字 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4 年級，第 9 題【解析】 “變”就是 7，1999998 7 =285714【答案】 285714【例 2】 右邊是一個(gè)六位乘以一個(gè)一位數(shù)的算式，不同的漢字表示不同的數(shù)，相同的漢字表示相同的數(shù)， 其中的六位數(shù)是_ 。小 學(xué)希望杯賽賽9 9 9 9 9 9【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之特殊數(shù)字 【難度】3 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】希望杯，4 年級，初賽，20 題1【解析】 賽賽的個(gè)位是 9，賽=3 或 7，賽=3，小學(xué)希望杯賽=333333，不合題意，舍去；故賽=7，小學(xué)希望 杯賽

4、=9999997=142857【答案】 142857【例 3】 右面算式中相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，問 a 和 e 各代表什么數(shù)字？ab c d e3e e e e ee【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之特殊數(shù)字 【難度】3 星 【題型】填空【解析】 由于被乘數(shù)的最高位數(shù)字與乘數(shù)相同，且乘積為 eeeeee ,是重復(fù)數(shù)字根據(jù)重復(fù)數(shù)字的特點(diǎn)拆分， 將其分解質(zhì)因數(shù)后為： eeeeee =e 3 7 11 13 37 ，所以 a =3 或者是 a =7若 a3，因?yàn)?339，則 e1，而個(gè)位上 1331，因此，a3。若 a7，因?yàn)?7749，49655，則 e5.個(gè)位上，5735

5、，寫 5 進(jìn) 3.十位上，因?yàn)?67+3 45，所以 d6.百位上，因?yàn)?37425，所以 c3.千位上，因?yàn)?97265，所以 b9. 萬位上，因?yàn)?77655，所以得到該題的一個(gè)解。7 9 3 6 575 5 5 5 5所以，a7，e5?！敬鸢浮縜7，e5【例 4】 下頁算式中不同的漢字表示不同的數(shù)字，相同的漢字表示相同的數(shù)字，則符合題意的數(shù)“華羅庚學(xué) 校贊”是什么？贊 華羅庚 學(xué)校好華 羅庚學(xué) 校贊【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之特殊數(shù)字 【難度】3 星 【題型】填空【解析】 本題是 贊華羅庚學(xué)校 好=華羅庚學(xué)校贊 ，數(shù)幾個(gè)數(shù)字的輪換應(yīng)用和 7 的秘密數(shù)字特點(diǎn)相同，所以 本題的好的結(jié)果在：2

6、好6，經(jīng)過試驗(yàn)得到答案是14 2 8 5 72 8 5 7 1 4334 2 8 5 718 5 7 1 42則“華羅庚學(xué)校贊”=428571 或 857142。【答案】“華羅庚學(xué)校贊”=428571 或 857142【例 5】 如圖相同字母表示相同的數(shù)字，不同字母表示不同的數(shù)字。兩位數(shù) ef =_a ba bcdcdeefff【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之特殊數(shù)字 【難度】3 星 【題型】填空2【關(guān)鍵詞】走美杯，3 年級，初賽【解析】 fff =f 111 =f 3 37 ,因此 ab 、 cd 中必有一個(gè)是 37 的倍數(shù)，只能是 37 或 74。經(jīng)試驗(yàn)，只有 37 +18 =55 ， 37

7、18 =666 滿足要求。 ef =56【答案】 ef =56【例 6】 “迎杯 春杯 = 好好好 ”在上面的乘法算式中 , 不同的漢字表示不同的數(shù)字 ,相同的漢字表示相同的數(shù) 字。那么“迎+春+杯+好”之和等于多少?【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之特殊數(shù)字 【難度】3 星 【題型】填空【解析】 好好好=好111=好337，100 以內(nèi) 37 的倍數(shù)只有 37 和 74，所以“迎杯”或“春杯”中必有 1 個(gè)是 37 或 74，判斷出“杯”是 7 或 4。 若 杯=7，則好=9，999/37=27，所以，迎+春+杯+好=3+2+7+9=21 若 杯=4，則好=6，666/74=9，不是兩位數(shù)，不符合

8、題意 。迎+春+杯+好=3+2+7+9=21?！敬鸢浮坑?春+杯+好=3+2+7+9=21【例 7】 在下面的算式中，每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字，當(dāng)“開放的中國盼奧運(yùn)” 代表什么數(shù)時(shí)，算式成立？盼盼盼盼盼盼盼盼盼 =開放的中國盼奧運(yùn)【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之特殊數(shù)字 【難度】3 星 【題型】填空【解析】 這是一道除法算式題.因?yàn)榕闻闻闻闻闻闻闻闻问?”的倍數(shù)，且又為 9 的倍數(shù)，所以 ”可能為 3 或 9.1 若“ ”=3，則盼盼盼盼盼盼盼盼盼3 的商出現(xiàn)循環(huán)，且周期為 3，這樣就出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字， 因此“ ”3。2 若“ ”=9，因?yàn)?盼盼盼盼盼盼盼盼盼9=盼（11111

9、11119）=盼12345679若“盼”=1，則“開放的中國盼奧運(yùn)”=123456791=12345679，“盼”=6，前后矛盾，所以“盼”1。若“盼”=2，則“開放的中國盼奧運(yùn)”=123456792=24691358，“盼”=3，矛盾，所以“盼”2。若“盼”=3，則“開放的中國盼奧運(yùn)”=123456793=37037037，“盼”=0，矛盾，所以“盼”3。若“盼”=4，則“開放的中國盼奧運(yùn)”=123456794=49382716，“盼”=7，矛盾，所以“盼”4。若“盼”=5，則“開放的中國盼奧運(yùn)”=123456795=61728395，“盼”3，矛盾，所以“盼”5。若“盼”=6，則“開放的中

10、國盼奧運(yùn)”=123456796=74074074，則“盼”0，矛盾，所以“盼”6。若“盼”=7，則“開放的中國盼奧運(yùn)”=123456797=86419753，“盼”=7，得到一個(gè)解：7777777779=86419753若“盼”8，則“開放的中國盼奧運(yùn)”=12345679898765432，“盼”=4，矛盾，所以“盼”8。若“盼”9 ，則“開放的中國盼奧運(yùn)”123456799=111111111，“盼”=1，矛盾，所以“盼”9。解：777777777986419753則“開放的中國盼奧運(yùn)”86419753?！敬鸢浮俊伴_放的中國盼奧運(yùn)”86419753（2）整除性質(zhì)【例 8】 如圖是一個(gè)等式：等

11、式中的漢字代表數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，每個(gè)漢字是 1、2、3、4、 5、6、7、8、9 中的一個(gè)，問：“學(xué)而思五年級”所代表的六位整數(shù)是什么？學(xué)而思杯5=五年級試 題4【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之整除性質(zhì) 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5 年級，第 8 題【解析】 因?yàn)?5 和 4 互質(zhì)，所以“五年級試題”一定可以被 5 整除，所以“題”應(yīng)該是 5 或者 0，但是數(shù)字只能是 19，所以“題”表示的數(shù)字是 5，因?yàn)椤皩W(xué)而思杯”最大是 9876，所以“五年級試題”最大是 12345，但 是可以發(fā)現(xiàn)“五年級試題”用 19 組成的最小數(shù)就是 12345，所以“五年級試題”只能

12、是 12345，“學(xué)而 思五年級”所代表的五位整數(shù)是 987123。【答案】 987123【例 9】 右邊算式中，a 表示同一個(gè)數(shù)字，在各個(gè) 數(shù)減小數(shù))是中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式完整那么兩個(gè)乘數(shù)的差(大3a1 a a 1【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之整除性質(zhì) 【難度】3 星 【題型】填空【解析】 由 1aa1 能被 11 整除及只有1 1， 3 7 ， 9 9 的個(gè)位是 1 ，所以 a 可能為 1，3，7 或 9，而且1 aa1 可 分解成 11 與 1 個(gè)一位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)的乘積分別檢驗(yàn) 1111、1331、1771、1991，只有 1771 滿足：1771 =11 7 23 ，可知原式是 7

13、7 23 =1771 所以兩個(gè)乘數(shù)的差是 77 -23 =54 。【答案】 77 -23 =54【例 10】 下面的算式中，同一個(gè)漢字代表同一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，團(tuán)團(tuán)圓圓=大熊貓則“大 熊貓”代表的三位數(shù)是_.【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之整除性質(zhì) 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，10 分【解析】 由于團(tuán)團(tuán)=團(tuán)11，圓圓=圓11，所以大熊貓=團(tuán)團(tuán)圓圓=團(tuán)圓121，也就是說“大熊貓”這個(gè)三位數(shù) 是 121 的倍數(shù)，那么“團(tuán)圓”應(yīng)當(dāng)小于 9（ 否則 9121=1089 為四位數(shù)），所以“團(tuán)圓”最大為 8.由 于“團(tuán)圓”為一位數(shù)，“團(tuán)圓”再與 121 相乘即得到“大熊

14、貓”，所以“大熊貓”的個(gè)位數(shù)字“貓”就等于“團(tuán) 圓”，而百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相同，所以十位必須要向百位進(jìn)位，即“團(tuán)圓”與 2 相乘至少為 10， 所以“團(tuán)圓”至少為 5.另外“團(tuán)圓”不能為質(zhì)數(shù)，否則“團(tuán)”、“圓”中有一個(gè)為 1，而“貓”等于“團(tuán)圓”， 則“貓”與“團(tuán)”、“圓”中的另一個(gè)相等，不合題意?！皥F(tuán)圓”至少為 5，最大為 8，又不能是質(zhì)數(shù)，且“團(tuán)”、 “圓”都不為 1，那么“團(tuán)圓”可能為 6 或 8.如果為 6，則“團(tuán)”、“圓”分別為 2 和 3，“大熊貓”為 6121=726， “熊”與“團(tuán)”、“圓”中的一個(gè)數(shù)相同，不合題意；如果為 8，則“團(tuán)”、“圓”分別為 2 和 4，“大熊貓”為

15、 8121=968，滿足題意。所以“大熊貓”代表的三位數(shù)為 968.【答案】 968【例 11】在如圖所示的乘法算式中，漢字代表 1 至 9 這 9 個(gè)數(shù)字，不同漢字代表不同的數(shù)字若“?！弊趾汀百R” 字分別代表數(shù)字“4”和“8”，求出“華杯賽”所代表的整數(shù)祝賀 華杯賽 =第十四屆【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之整除性質(zhì) 【難度】3 星 【題型】填空【解析】 根據(jù)題意可知“?！?、“賀”、“華”、“杯”、“賽”、“第”、“十”、“四”、“屆”這 9 個(gè)漢字恰好代表 19 這 9 個(gè)數(shù)字，那么它們的和為 45由于“?！薄ⅰ百R”分別代表 4 和 8，那么“祝賀” =48 是 3 的倍數(shù)， 則“第十四屆”也

16、是 3 的倍數(shù)，這樣它的各位數(shù)字之和之和也是 3 的倍數(shù)，可知“祝”、“賀”與“第”、“十”、 “四”、“屆”這 6 個(gè)數(shù)的和也是 3 的倍數(shù)，那么“華”、“杯”、“賽”這 3 個(gè)數(shù)和也是 3 的倍數(shù)，從而“華 杯賽”這個(gè)三位數(shù)是 3 的倍數(shù)由于“第十四屆”等于 48 與“華杯賽”這兩個(gè) 3 的倍數(shù)的乘積，所以它 是 9 的倍數(shù)從而“第”、“十”、“四”、“屆”這 4 個(gè)數(shù)的和是 9 的倍數(shù)由于“華”、“杯”、“賽”、“第”、 “十”、“四”、“屆”的總和為 45 -4 -8 =33 ，所以“第”、“十”、“四”、“屆”這 4 個(gè)數(shù)的和可能為 27 或 18(它們的和顯然大于 9)，對應(yīng)的“華

17、”、“杯”、“賽”這 3 個(gè)數(shù)和是 6 或 15如果“華”、“杯”、“賽” 這 3 個(gè)數(shù)和是 6，則“華”、“杯”、“賽”分別為 1、2、3，如果“華”為 2，則“華杯賽”至少為 213，則 48 213 =10224 ，不是四位數(shù)，所以 “ 華” 只能為 1 ，這樣 “ 華杯賽 ” 可能為 123 和 132 ，分別有 48 123 = 5904， 48 132 =6336 ，都不符合；如果“華”、“杯”、“賽”這 3 個(gè)數(shù)和是 15，根據(jù)上面 的分析可知“華”只能為 1，這樣“杯”、“賽”之和為 14，可能為 9 +5 或 8 +6 ，由于“賀”為 8，所以“杯”、 “賽”分別為 5 和

18、9，顯然“賽”不能為 5，則“華杯賽”為 159。【答案】159【例 12】一個(gè)六位數(shù) abcdef ，如果滿足 4 abcdef = fabcde ，則稱 abcdef 為“迎春數(shù)”(如 4 102564 =410256 ， 則102564 就是“迎春數(shù)”).請你求出所有“迎春數(shù)”的總和.4【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之整除性質(zhì) 【難度】4 星 【題型】填空【解析】 方法一：顯然， f 不小于 4，原等式變形為 4 ( abcde 10 + f ) =100000 f +abcde化簡得 abcde =2564 f ，當(dāng) f =4 時(shí)， abcde =10256 ，于是 abcdef 為102

19、564 同理 f =5 ，6，7， 8，9，可以得到 abcdef 為128205 ，153846 ，179487 ， 205128 ， 230769 .所有的和是 999999 方法二：顯然， f 不小于 4，若 f =4 ， e 為 4 f 末尾數(shù)字，所以 e =6 ；de 為 4 ef 的末 2 位，所以 d =5 ；cde 為 4 def 的末 3 位，所以 c =2 ；bcde 為 4 cdef 的末 4 位，所以 b =0 ；abcdef 為 4 bcdef 的末 5 位，所以 a =1 ；于是 abcdef 為 102564 同理 f =5 ，6，7，8，9，可以得到 abcde

20、f 為128205 ， 153846 ，179487 ， 205128 ， 230769 . 所有的和是 999999 【答案】 999999（3）、質(zhì)數(shù)與合數(shù)【例 13】 每個(gè)方框內(nèi)填入一個(gè)數(shù)字，要求所填數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，并使豎式成立？7x【考點(diǎn)】與數(shù)論結(jié)合的數(shù)字謎之質(zhì)數(shù)與合數(shù) 【難度】4 星 【題型】填空【解析】 一位質(zhì)數(shù)只有 2、3、5、7，且兩位數(shù)乘以三位數(shù)都需要進(jìn)位，相乘個(gè)位為質(zhì)數(shù)的只有3-5 和 5-7，逐 步遞推，答案 775 33【答案】775 33模塊二、電子數(shù)字問題【例 14】電子數(shù)字 0 9 如圖所示，右圖是由電子數(shù)字組成的乘法算式，但有一些模糊不清，請將右圖的電 子數(shù)字恢復(fù)

21、，并將它寫成橫式形式：【考點(diǎn)】電子數(shù)字問題 【難度】5 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級，初賽，第 3 題【解析】 可以看出乘積的百位可能是 2 或 8，由于被乘數(shù)的十位和乘數(shù)都不能是 9，最大可能為 8，所以它 們的乘積不超過 89 8 =712 ，故乘積的首位不能為 8，只能為 2 ；被乘數(shù)的十位和乘數(shù)要與圖中相 符，只能是 0 、 2 、 6 或 8 ， 0 首先可以排除，所以可能為 2、6 或 8；如果被乘數(shù)的十位是 6 或 8 ， 那么乘數(shù)無論是 2 、 6 或 8 ，都不可能乘出百位是 2 的三位數(shù)所以被乘數(shù)的十位是 2 ，相應(yīng)得出乘 數(shù)是 8 ；被乘數(shù)應(yīng)大于 200 8 =25 ，可能為 27、28 或 29，檢驗(yàn)得到符合條件的答案：28 8 =224【答案】 28 8 =2245【例 15】電子數(shù)