因數(shù)倍數(shù)32549

1、廣州卓越教育機構(gòu)一對一五年級數(shù)學(xué)專題學(xué)案因數(shù)和倍數(shù)學(xué)生姓名： 年級： 授課時間： 教師姓名： 課時： 一、知識點講解：知識點一：因數(shù)和倍數(shù)如果ax b=c （a、b和c是不為0的整數(shù)）,那么a、b就是c的因數(shù)（或約數(shù)）,c就是a、b 的倍數(shù)。注意：一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1,最大的是本身，一個數(shù)的倍數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是本身。知識點二：質(zhì)數(shù)、合數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)1、質(zhì)數(shù)與合數(shù)：（1）一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。（2）個數(shù)，如果只有1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。2、質(zhì)因數(shù)：一個數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。3、分解質(zhì)因數(shù)

2、：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。4、自然數(shù)分類：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1.知識點三：最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的應(yīng)用1、公約數(shù)和最大公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。2、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。3、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的求法：枚舉法、分解質(zhì)因數(shù)法、短除法。4、互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 1,那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。5、互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積。倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是其中較大

3、的數(shù)。、例題講解例1: 6是倍數(shù)、3和2是因數(shù)。(X)分析：因數(shù)和倍數(shù)是兩個不同的概念，但又是一對相互依存的概念，不能單獨存在，即：不 能說誰是倍數(shù)，也不能說誰是因數(shù)；應(yīng)該說誰是誰的因數(shù)，或誰是誰的倍數(shù)。改正：6是3和2的倍數(shù)，3和2是6的因數(shù)。例2：兩個質(zhì)數(shù)的和是39,這兩個質(zhì)數(shù)的積是多少？思路導(dǎo)航：兩個數(shù)的和是39,說明這兩個數(shù)必定是一奇一偶，這兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，因此，另一個數(shù)一定是 37.解：因2+37=39,而2X 37=74,所以這兩個數(shù)的積是74.答：這兩個質(zhì)數(shù)的積是74.練習(xí)：1、兩個質(zhì)數(shù)和是99,這兩個質(zhì)數(shù)為幾?2、100可以用兩個質(zhì)數(shù)的和來表示，這兩個質(zhì)數(shù)的

4、差最小的值是多少?3、兩個質(zhì)數(shù)的和是50，這兩個質(zhì)數(shù)的乘積最大值是多少?例3：(1) 用一個數(shù)去除30、60、75,都能整除，這個數(shù)最大是多少？(2) 一個數(shù)用9、15、20除都能整除，這個數(shù)最小是多少？ 思路導(dǎo)航：(1) 一個數(shù)去除30、60、75都能整除，這個數(shù)就是30、60、75的公約數(shù)，要求符合條件的 最大的數(shù)就是求30、60、75的最大公約數(shù)。解：5 |30 60 7530、60、75 的最大公約數(shù)為 3X 5=153 |61215 所以，這個數(shù)最大是15.o(2) 個數(shù)用9、15、20除都能整除，這個數(shù)就是9、15、20的公倍數(shù)，要求符合條件的最 小數(shù)，就是求9、15、20的最小公

5、倍數(shù)。解：39 15 209、15、20 的最小公倍數(shù)為 3X 5X 3X 1X 4=1805 3 520所以這個數(shù)是180.314練習(xí)：1、(1)求48和64的最大公約數(shù)，(2)求8和12的最小公倍數(shù)2、求42、168、252的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)3、希望小學(xué)買來360個蘋果，480個桔子，400個梨，帶這些水果去慰問敬老院的老人們, 最多可以分成多少份同樣的禮物？每份中蘋果、桔子、梨各有多少個？例4:有3根鐵絲，長度分別是12厘米、18厘米和24厘米。現(xiàn)在要把它們截成相等的小段, 每根都不許有剩余。每小段最長是多少厘米？ 一共可以截成多少段？思路導(dǎo)航:要截成相等的小段，且無剩余，所以每段

6、長度必須是 12、18、24的公約數(shù)。又因為每段盡可 能長，所以要求每段長度是12、18、24的最大公約數(shù)。解:3 |12 18 24習(xí)46 823 4（12、18、24） =3X 2=612W+18W+24W=2+3+4=9 （段）答：每段最長為6厘米，一共可以截成9段練習(xí):1、有三根鐵絲，分別長12厘米、18厘米、54厘米。要把它們都截成同樣長的小段不許剩每段最長是多少厘米？ 一共能截多少段?2、有3根鋼管，分別長200厘米、240厘米、360厘米，現(xiàn)在要把這三根鋼管截成盡可能長且相等的小段，一共能截成多少段？3、五年級三個班分別有24人、36人、42人參加體育鍛煉，要把他們分成人數(shù)相等的

7、小組, 但各班同學(xué)不能打亂。最多每組多少人？每班各分多少組？例5:有一批圖書，總數(shù)在1000本以內(nèi)，若按24本書包一捆，最后一本差2本；若按28本 書包一捆，最后一捆還是差2本；若按32本書包一捆，最后一捆也是差2本。這批圖書有多少本？思路導(dǎo)航：從題意可知，如果再加上2本圖書，總圖書數(shù)就能被24、28、32這三個數(shù)整除，是它們的公 倍數(shù)。這個公倍數(shù)必須小于1000即為最小公倍數(shù)，最后再從最小公倍數(shù)中減 2。解：24，28，32=672672-2=670 （本）答：這批圖書有670本。練習(xí)：1、有一籃雞蛋，按每4個一堆分多1個；按每5 一堆分多1個；按每6個一堆分也多1個 這籃雞蛋至少有多少個？

8、2、有一盒小花，每次8個8個地數(shù)、10個10個地數(shù)、12個12個地數(shù)，最后總是剩下3朵。 這盒小花至少有多少朵？3、一個數(shù)，不論是被10除，被4除，還是被15除，最后都少3,這個數(shù)最小是多少?三、課堂作業(yè)、填空1因為36寧9=4,所以（）是（）和（ ）的倍數(shù)，（）和（）是（）的因數(shù)。2、45的因數(shù)有：（）25以內(nèi)5的倍數(shù)有（）。3、 有甲、乙兩數(shù)，它們既不是倍數(shù)關(guān)系，又不是互質(zhì)數(shù)，兩數(shù)的最小公倍數(shù)是294。如果甲數(shù)為49，那么乙數(shù)為（）。4、 a=2X 3X 5,b=2 x 3X 7,a和b的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。5、 A=2X 3X MB=3X 5X （M是自然數(shù)且 M0），如

9、果A和B的最大公約數(shù)是 21,則皿是（），A和B的最小公倍數(shù)是（）。6、如果A=60, B=42,那么A B的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。7、 在& 3、5、0、8、7這六個數(shù)中選出五個數(shù)組成一個能同時被2、3、5整除的最小五位&右圖是A、B C三個互相咬合的齒輪若 A輪轉(zhuǎn)3圈，B 輪轉(zhuǎn)了 7圈，C輪轉(zhuǎn)2圈，那么，這三個齒輪的齒數(shù)最少 是A輪（ ）齒，B輪（ ）齒，C輪（ ）齒。9、 一個數(shù)個位和十位上的數(shù)字都是合數(shù)，而且是互質(zhì)數(shù)，這個數(shù)最小是（）。10、 從0、4、5、7中選擇三個數(shù)字組成一個能同時被 2、3、5整除的最大三位數(shù)，這個三位 數(shù)是（），把它分解質(zhì)因數(shù)是（）。11籃子里有

10、雞蛋若干個，每次取出 3個，最后剩1個；每次取5個，最后剩下3個；每次取7個，最后剩下5個，則籃子里最少有（）個雞蛋。12、已知a與b的最大公約數(shù)是10, a與c，b與c的最小公倍數(shù)都是30。則滿足此條件的a， b，c共有（）組。選擇1、屬于因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系的等式是（）A、2X 0.25 = 0.5 B 、2X 25= 50 C 、2X 0= 02、甲每4天去少年宮一次，乙每6天去一次，丙每8天去一次，如果6月1日，甲乙丙同時 去少年宮，則下次同去少年宮應(yīng)是（）A 6月9日 B 、6月19日 C 、6月15日 D 、6月25日3、 一個大廳里共有200盞彩燈。每兩盞燈與一個拉線開關(guān)相連（同時亮或

11、同時熄）?，F(xiàn)在, 所有開關(guān)按序號1 100安裝在同一個控制箱內(nèi)，所有的燈都處于“熄”的狀態(tài)。李明先將序 號是3的倍數(shù)的開關(guān)拉一遍，接著六強將序號是 5的倍數(shù)的開關(guān)拉了一遍，這時，大廳里共 有（）盞燈亮著。A 40 B 、80 C 、82 D 、944、在所有的質(zhì)數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)有（）。A、一個也沒有 B 、有一個C 、有兩個 D 、有無數(shù)個5、 a與b是互質(zhì)數(shù)，它們的最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的 m倍，則m是（）A ab B 、a C 、 b D 、1三、判斷1、因為0.6 X 5=3,所以3是0.6和5的倍數(shù)。（）2、相鄰兩偶數(shù)的和是30,則它們的最大公約數(shù)是2。（）3、 任意兩個相鄰的自然數(shù)（

12、0除外）都是互質(zhì)數(shù)。（）4、 所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。（）5、 除2以外所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。（）6、 奇數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)。（）7、4和15都是合數(shù)，又是質(zhì)數(shù)。（）&分子、分母都是質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)一定是最簡分?jǐn)?shù)。（）四、解決問題1、有三張卡片，它們上面各寫一個數(shù)字,從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來,可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來2、一個長方體木塊，它的長、寬、高的厘米數(shù)正好是三個連續(xù)的自然 數(shù)，這個長方體的體積是504立方厘米。求這個長方體的表面積是多少平方厘米?3、希望小學(xué)五年級有90名同學(xué)出去郊游，途中要過一條河，船夫用幾只小船分3次把所有的同學(xué)渡過河去。

13、已知船載的人數(shù)都相等，并且至少載2人。問每次應(yīng)有幾只船？每只船載多少人？4、兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 6,最小公倍數(shù)是144,這兩個數(shù)各是多少？有幾組這樣的數(shù)?5、一張長方形紙長112厘米，寬80厘米，把它剪成若干個同樣大小的正方形，使邊長是整 厘米且不能有剩余，最少能剪多少個？6、有一塊長、寬、高分別是120厘米、90厘米、60厘米的長方體木料，現(xiàn)在要把它鋸成大 小相等的正方體木塊且木料沒有剩余。鋸成的正方體木塊棱長最長是多少厘米？共可以鋸成 多少塊？7、張妮有若干張畫片，7張一數(shù)還余4張，5張一數(shù)又少3張，3張一數(shù)正好。問：張妮至 少有多少張畫片？8琦琦、夢夢、妮妮。浩浩四位小朋友，每隔不同的

14、天數(shù)去敬老院做好事一次，琦琦3天去一次，夢夢4天去一次，妮妮5天去一次，浩浩6天去一次。有一次四位小朋友是星期一在 敬老院相逢，至少要過多少天四位小朋友才會在敬老院再次相逢？相逢時是星期幾？9、公路上一排電線桿，共25根，每相鄰兩根間的距離原來都是 45米，現(xiàn)在要改成60 米, 可以有幾根不需移動？10、在長廊兩側(cè)每隔4米種一棵楓樹，結(jié)果第一課與最后一棵相距 48米?，F(xiàn)在將樹栽成每隔6米種一棵，其中有幾棵不需要移動？11、A、B兩地有一段公路長7200米，路旁有路標(biāo)，原來每 300米有一個（起點、終點各一 個），現(xiàn)在要改為800米一個，有多少個舊路標(biāo)可以利用？12、從小張家到學(xué)校每隔50米有一

15、根電線桿，加上兩端的兩根一共有 55根電線桿?，F(xiàn)在實 行線路改造，改成每隔60米安裝一根電線桿，那么包括兩端共有多少根不必移動？13、有甲、乙兩個互相銜接的齒輪，甲輪有 437齒，乙輪有323齒，甲輪的某一齒與乙輪的 某一齒從第一次接觸到第二次接觸，需要各轉(zhuǎn)幾圈？14、一對嚙合齒輪,一個有132個齒,一個有48個齒,其中嚙合的任意一對齒從第一次相接到 再次相接,兩個齒輪各要轉(zhuǎn)動多少圈？15、一對互相嚙合的齒輪，分別有 84和30個齒，問：其中某一對齒從第一次相遇到第二次 相遇，兩個齒輪至少各轉(zhuǎn)多少圈？16、在一種電動機中有三個齒輪互相嚙合，第一個齒輪有28個齒，第二個齒輪有42個齒,第三個齒輪

16、有108個齒?，F(xiàn)在三個齒輪中某幾個齒互相嚙合后，到下次還是這幾個齒再互相 嚙合時，各齒輪最少需要轉(zhuǎn)多少圈？答案： 例2練習(xí)1、 兩個數(shù)的和是99.99是奇數(shù)，那么兩個數(shù)必一奇一偶，偶質(zhì)數(shù)只有2,那么另一個質(zhì)數(shù)是97,所以這兩個質(zhì)數(shù)為2和97.2、用兩個質(zhì)數(shù)的和表示100的方法有很多種，要使它的差最小，這兩個數(shù)應(yīng)充分接近，經(jīng)試驗可知，當(dāng)100=53+47時，兩數(shù)差最小，是53-47=6.3、把50表示為兩個質(zhì)數(shù)的和，共有四種形式:50=3+47=7+43=13+37=19+31 因為 19X 31 =589 13X 37 = 481 7X 43 = 301 3X 47= 141，所以所求的最大乘

17、積是 589。例3練習(xí)1、（1） 48 的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、4864 的因數(shù)有：1、2、4、8、16、32、6448、64 公有的因數(shù)有 1、2、4、& 16,所以（48、64） =16（2） 8 的倍數(shù)有：8、16、24、32、40、48、56、64、72、12 的倍數(shù)有：12、24、36、48、60、72、 因為8、12的公倍數(shù)有24、48、72。所以8,12=24。2、（ 42、168、252） =2 X 7X 3=4242、168、252=2 X 7X 3X 2X 1 X 2X 3=5043、（ 360、480、400 ） =40 （份）每份中有蘋果9個

18、，桔子12個、梨10個。例4練習(xí)：1、每段最長6厘米，能截14段。2、能截成20段。3、（24, 36, 42） =624-6=4 （組）36-6=6 （組）42十6=7 （組）三個班各分成4組、6組和7組。所以每組最多有6人。例5練習(xí)：1、 61個 2、 123朵3、要求的這個數(shù)應(yīng)比10,4和15的最小公倍數(shù)少3.10,4,15=60,60- 3=57,所以這個數(shù)是 57.課堂作業(yè):一、填空1、3694 94 362、13 59 15453、424、62105、72106、64207、 35670146219、4910、750750=2 X 3X 5X 5X 511、10312、 6二、選擇

19、1、B2、D3、D 4、B 5、A三、判斷1、X 2V 3、X 4、X 5v 6V 7、X 8v四、解決問題1、答：可排出質(zhì)數(shù)2,3,13,31,23.2、504=2X 2X 2X 3X 3X 7=（2X 2X 2）X（ 3X 3）X 7=7 X 8X 9因此這個長方體的長、寬、高分別為 7厘米、8厘米和9厘米（順序不限）。它的表面積為：（7X 8+ 7X 9+ 8X 9）X 2 = 382 （平方厘米）答：這個長方體的表面積是382平方厘米。3、因為每只船所載的人數(shù)相等，且 3次就把90人全渡過河去，所以每次渡過河的總?cè)藬?shù)相 等，均為90 - 3=30 （人）每次渡河總?cè)藬?shù)30=每只船上的人

20、數(shù)X船數(shù)30=2X 3X 5,因為每只船上的人數(shù)相等，且至少載2人，每次渡河的船次與每只船上所載的人數(shù)有以下幾種情況：用2只船，每只船載15人。用3只船，每只船載10人。用5只船，每只船載6人。用6只船，每只船載5人。用10只船，每只船載3人。用15只船，每只船載2人。4、 設(shè)這兩個數(shù)為甲和乙，根據(jù)它們的最大公約數(shù)是6,可以設(shè)61甲乙ab（a與b互質(zhì)）那么，它們的最小公倍數(shù)就是 6ab=144,因此ab=24,由于a與b互質(zhì)，所以ab分別為1和 24，或ab分別為3和8，原來的兩個數(shù)是廠 1X 6=6或pX6=181 24 X 6=144|8 X 6=48符合條件的數(shù)有2組答：這兩個數(shù)是6和1

21、44或18和48,共2組。5、因為要剪成同樣大的正方形，無剩余，那么這個正方形的邊長一定要能整除這張紙的長和 寬。即正方形的邊長是112和80的公約數(shù)，又因為剪的個數(shù)越少正方形邊長就越長，而題中 要求最少剪多少個，因此正方形的邊長必須最長。也就是正方形的邊長是112和80的最大公 因數(shù)。解：（112、80）=16（112- 16）X（ 80- 16） =7X 5=35答：最少可以剪35個正方形。6、把鋸得的所有木料堆起來，適當(dāng)組合以后，一定可以堆成原來長方體木料的形狀，那么木 料的長、寬、高都是小木塊棱長的倍數(shù)；反過來，小木塊的棱長就是原來木料長、寬、高的 公約數(shù)，要求正方體木塊棱長最長就是求長、寬、高的最大公約數(shù)。木料鋸成小正方體之后體積總和沒有改變，所以用木料原來的體積除以小正方體的體積，就 可以得到小正方體的塊數(shù)。解：（120、90、60） =10 X 3=30120X 90X 60-（ 30X 30X 30） =24 （塊）答：鋸成正方體木塊棱長最長是 30厘米，一共可以鋸為24塊。7、 根據(jù)題意，張妮的畫片數(shù)量應(yīng)是 3的倍數(shù)，同時又是比3、5、7的最小公倍數(shù)少3的數(shù)。3、5、7 的最小公倍數(shù)是 3 X 5X 7=105,105-3=102 （張）答：張妮的畫片至少有102張。&從這一次相逢到下一次再相逢，所需的天數(shù)一定能被