因動點產(chǎn)生的等腰三角形的專題答案

1、因動點產(chǎn)生的等腰三角形81如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy中，反比例函數(shù) y =-圖像上的點A、B的坐標(biāo)分別為(2, m)、X(n, 2)，點C在x軸上，且 ABC為等腰三角形，求點 C的坐標(biāo)888解：因為 A ( 2, m)、B (n, 2)在 y=-上，所以 m = 2，2 = ，解得：m= 4,n= 4，所以 A (2, 4)、入厶I IB (4, 2).因為點C在x軸上，所以設(shè) C (X, 0),則 AB=(4 2)2+ (2 4)2 = 22 , AC=(x 2)2 + 42=x2 4x+ 20,BC=(-4)2+ 22=2x 8x+ 20 .若厶ABC為等腰三角形，分三種情況討論： AB

2、= AC即x24x+ 20 = 2 0,整理得x2 4x+ 12= 0,因為D，二 t-2 ；能，當(dāng)EF=EA0F 2EFA=ZAf itt時四邊if緲址是等膜梯骸 /EQ=F-12i帝當(dāng)戦二AT時,AB=10t* t=2；當(dāng) EF=PAQ,PNkP人-淚卜AN習(xí)旨-2-左1 A3七,代 EB=EA-AE=16-2t-10=&-2t, .QB-EB” PA ETgn t _8-2t即土-142 士KS：礙當(dāng)點F在E顧長線上AP=AE厲屯角三角形)AF=2t-18fEQ=BQ=t FQEF-EQ=ia-t-t= 13-31,vpqMmsqm2,:.j (12-3t) 64,AE=10-t解得：t

3、的值可以是t二尋或t = 孚或t=2y -OEM N 64、如圖,在 ABC中，AB=AC = 5, BC=6，E分別是邊AB、AC上的兩個動點(D不與A、B重合)(1)(2)，且保持DE / BC，以DE為邊, 試求 ABC的面積；當(dāng)邊FG與BC重合時，求正方形在點A的異側(cè)作正方形DEFG .DEFG的邊長;解：門過丸作AK丄眈于H,(3)設(shè)AD =x , . ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為 y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出疋義域；AD的長.(4)當(dāng) BDG是等腰三角形時，請直接寫出158令此時正方形的邊長為 TEE“肌,-亙-匕.g- 4 *_12 當(dāng) g時，由aadeaabc

4、得霽晉， 即詁晉解得DE=執(zhí)當(dāng) BD二DGfl寸.5-x=xi K=-j-j- ?3半XBGfi寸，苓哼，解得滬罕，乜生125當(dāng)瞬倆寸，二竺，鯛得帯，4 5心幾當(dāng)!)堤等腰三角形時，皿咅或挈或罟.5、如圖，拋物線 y= ax2 + bx+ c經(jīng)過A( 1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸.(1) 求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2) 設(shè)點P是直線I上的一個動點，當(dāng) PAC的周長最小時，求點 P的坐標(biāo)；(3) 在直線I上是否存在點 M，使 MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的 坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1)因為拋物線與 x軸交于A( 1,0)、

5、B(3, 0)兩點，設(shè)y= a(x+ 1)(x 3),代入點C(0 ,3)，得一 3a= 3 .解得a= 1.所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y= (x+ 1)(x 3)= x2+ 2x+ 3.(2)如圖2，拋物線的對稱軸是直線x= 1 .當(dāng)點P落在線段BC上時，PA + PC最小， PAC的周長最小. 設(shè)拋物線的對稱軸與 x軸的交點為H .由 列=理,bo = CO,得 PH = BH= 2.BO CO所以點P的坐標(biāo)為(1,2).圖2(3)點 M 的坐標(biāo)為(1, 1)、(1,、6)、(1,-、6)或(1,0).第(3)題的解題過程是這樣的：設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,m).在厶 MAC 中，AC2= 10,

6、 MC2= 1+ (m 3)2, MA2= 4 + m2. 如圖 3,當(dāng) MA = MC 時，MA2= MC2.解方程 4 + m2= 1 + (m 3)2, 得 m= 1 . 此時點M的坐標(biāo)為(1, 1). 如圖 4,當(dāng) AM = AC 時，AM2 = AC2.解方程 4+ m2= 10,得 m - _6 .此時點M的坐標(biāo)為(1, ,6)或(1, - . 6).當(dāng)M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點如圖 5,當(dāng) CM = CA 時，CM2= CA2 .解方程 1+ (m 3)2= 10,得 m= 0 或 6./JwCJc/c/jbM JAirAQ1 oM4 八1111i1

7、 !M的坐標(biāo)為(1,0).圖3圖4圖56、如圖，點A在x軸上，OA = 4,將線段OA繞點0順時針旋轉(zhuǎn)120至0B的位置.(1) 求點B的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過A、0、B的拋物線的解析式；(3) 在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點P、0、B為頂點的三角形是等腰三角形？若 存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1)如圖2,過點B作BC丄y軸，垂足為 C.在 Rt 0BC 中，/ B0C = 30, 0B = 4,所以 BC = 2, OC=2.,3 .所以點B的坐標(biāo)為(2, _2一 3).(2) 因為拋物線與x軸交于0、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為y= ax(x 4),

8、代入點 B(-2, -.3) , -2 5 - -2a (_6) 解得 a = 一一3 .6所以拋物線的解析式為 y3X(X4)3 x: 3 x .663(3) 拋物線的對稱軸是直線x= 2，設(shè)點P的坐標(biāo)為(2, y).當(dāng) 0P = 0B= 4時，0P2= 16.所以 4+/= 16.解得 y=：2、3 .當(dāng)P在(2, 2 3)時，B、0、P三點共線(如圖 2). 當(dāng) BP = B0= 4 時，BP2= 16.所以 42 (y3)2 =16 解得 yy-2.3 . 當(dāng) PB = P0 時，PB2= P02.所以 42，(y 2 3)22 y2 .解得 y - -2 3 .綜合、，點 P的坐標(biāo)為

9、(2,-2 3)，如圖2所示.0圖2如圖3,在本題中，設(shè)拋物線的頂點為圖3D，那么 D0A與厶0AB是兩個相似的等腰三角形.3322 3由 yx(x -4)(x_2)663=3 .所以/ DOA = 303OABC的邊長為2,頂點因止匕tan . DOA，/ ODA = 120 .得拋物線的頂點為D(2,7、如圖，已知正方形 是線段0C上一動點A、C分別在x、y軸的正半軸上， M是BC的中點.P(O,m)C點除外)，直線PM交AB的延長線于點D .(1) 求點D的坐標(biāo)(用含 m的代數(shù)式表示)；(2) 當(dāng)厶APD是等腰三角形時，求(3) 設(shè)過P、M、B三點的拋物線與圖2).當(dāng)點P從O向C運動時，

10、點m的值；x軸正半軸交于點 E,過點O作直線ME的垂線，垂足為 H (如 H也隨之運動.請直接寫出點 H所經(jīng)過的路長(不必寫解答過程)解: (1).因此 PM= DM , CP = BD = 2-m.所以 AD = 4-m.于是得到點D的坐標(biāo)為(2, 4- m).(2)在厶 APD 中，AD2 =(4 -m)2,2 2(4 -m) = m 4 .當(dāng)AP = AD 時,當(dāng)PA = PD 時,當(dāng)DA = DP 時,綜上所述，當(dāng) APD為等腰三角形時,AP2解得2 2 2 2二m 4, PD =(2PM) =4 4(2 -m). m (如圖 3).2m2亠4 =4 -4(2 -m)2 .解得m =4

11、 (如圖4)或m = 4 (不合題意，舍去) 3(4 m)2 =4 - 4(2 m)2 .解得 m = 2 (如圖3345)或m = 2 (不合題意，舍去)圖5(3)點H所經(jīng)過的路徑長為二.4(2)題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單：3，當(dāng)AP= AD時，AM垂直平分PD，那么 PCMMBA .所以_EC=1 .因此CM BA 2如圖3 m2如圖4，當(dāng)FA= PD時，P在AD的垂直平分線上.所以 DA = 2PO .因此4-m=2m .解得4 m =-3第(2)如圖6，在Rt OHM中，斜邊OM為定值，因此以 OM為直徑的O G經(jīng)過點H,也就是說點題的思路是這樣的:H在圓

12、弧上運動.運動過的圓心角怎么確定呢？如圖7 P與0重合時，是點H運動的起點，/ COH = 45,/ CGH=90.圖6圖78、如圖，已知一次函數(shù) y= x+ 7與正比例函數(shù)y=4x的圖象交于點 A,與x軸交于點B.3(1) 求點A和點B的坐標(biāo)；(2) 過點A作AC丄y軸于點C,過點B作直線l/y軸.動點P從點0出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點 A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R,交線段BA或線段A0于點Q.當(dāng)點P到達點A時，點P和直線I都停止運動.在運動 過程中，設(shè)動點 P運動的時間為t秒. 當(dāng)t為何值時，以 A、P、R為頂點的

13、三角形的面積為 8? 是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求 t的值；若不存在，請說明理由.解：(1)解方程組令 y-x 7=0，得 x=-x 7,4一 3x,=7 所以點B的坐標(biāo)是(7, 0).x 3得所以點A的坐標(biāo)是(3, 4).y =4.(2)如圖 2，當(dāng)P 在 OC 上運動時，0 W t V 4 由 Sa APR = S弟形 CO RA - SL ACP-S P OF8，得AAA(3+7-t ) 44 (4 )-比(7t )=8整理，得 t2 -8t 72=0 解得 t = 2 或 t= 6 (舍去)如圖 3,222當(dāng)P在CA上運動時， APR的最大面積為6.因此，

14、當(dāng)t= 2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為 8.圖2圖3圖4我們先討論P在OC上運動時的情形，0Wt V4.如圖 1,在厶 AOB 中，/ B= 45,/ AOB 45, OB = 7, AB=4.2，所以 OB AB.因此/ OAB Z AOB / B.如圖4,點P由O向C運動的過程中， OP= BR= RQ,所以PQ/X軸.因此/ AQP = 45。保持不變，/ PAQ越來越大，所以只存在/ APQ=/ AQP的情況.此時點 A在PQ的垂直平分線上， OR = 2CA = 6 .所以BR= 1, t= 1 .我們再來討論P在CA上運動時的情形，4 tV 7.在厶 APQ 中，cos.

15、 A=3 為定值，AP=7t, AQ =OA_OQ=OA_OR卻5333如圖5,當(dāng)AP= AQ時，解方程7_t =5t 20，得t二41 .3 381 -AQ如7,當(dāng)PA = PQ時，那么cos A二AP如圖6,當(dāng)QP = QA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP= 2(OR OP).解方程7 t = 2(7 t)-(t-4), 得 t =5 .因此 AQ =2AP cos. A解方程 2 一20 =2(7-1) 3，得335226石綜上所述，t= 1或41或5或226時， APQ是等腰三角形.843村當(dāng)P在CA 上, QP= QA時，也可以用AP =2AQ cos A來求解.9、如圖，在直角坐

16、標(biāo)平面內(nèi)有點 A(6, 0) , B(0, 8) , C( 4, 0)，點M、N分別為線段AC和射線AB上的動 點，點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運動，點 N以5個單位長度/秒的速度自A向B 方向作勻速運動， MN交OB于點P.(1) 求證：MN : NP為定值；(2) 若厶BNP與厶MNA相似，求 CM的長；(3) 若厶BNP是等腰三角形，求 CM的長.解：(1)如圖2,圖3，作NQ丄x軸，垂足為Q.設(shè)點M、N的運動時間為t秒.在 Rt ANQ 中，AN = 5t, NQ = 4t , AQ= 3t.在圖 2 中，QO = 6 3t, MQ = 10-5t,所以 MN : N

17、P = MQ : QO = 5 : 3. 在圖 3 中，QO = 3t 6, MQ = 5t 10,所以 MN : NP = MQ : QO = 5 : 3.(2)因為 BNP與厶MNA有一組鄰補角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一個鈍角三角形, 要么是兩個直角三角形只有當(dāng)這兩個三角形都是直角三角形時才可能相似.如圖 4, BNPs MNA ,在 Rt AMN 中，=-,所以圖2圖3旦工解得t衛(wèi)此時60CM31(3)如圖5,圖6,圖7 中,竺二塑，即空旦.所以O(shè)P=8t .QN MN 4t 558當(dāng)N在AB上時，在 BNP中，/ B是確定的，BP =8 t, BN=10-5t .581

18、020(I )如圖5，當(dāng)BP= BN時，解方程8 - t =10 -5t，得t .此時CM517174 1 f 8 455(H )如圖 6,當(dāng) NB = NP 時，BE = BN .解方程一.8 t =-(10 5t ),得 t= .此時 CM = .5 2l 5 丿 5421414 (8(川)當(dāng)PB =PN時，1BN蔦BP .解方程210 =87，得t的值為負(fù)數(shù)，因此不存在PB = PN的情況.7,當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，/ B是鈍角，只存在BP= BN的可能，此時BN =5t -10 .解360此時CM11如圖方程8 -8t5=5t -10，得 t11圖7-BP，這樣計算簡便一些.510、如圖，在矩形 ABCD中，AB= m （m是大于0的常數(shù)），BC = 8, E為線段BC上的動點（不與 B、C重合）連結(jié)DE，作EF丄DE , EF與射線BA交于點F，設(shè)CE= x, BF = y. （1 ）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2 ）若m = 8，求x為何值時，y的值最大，最大