圓的解題技巧總結(jié)

1、圓 的 解 題 技 巧 總 結(jié)一、垂徑定理的應(yīng)用給出的圓形紙片如圖所示，如果在圓形紙片上任意畫(huà)一條垂直于直徑 CD的 弦AB垂足為P,再將紙片沿著直徑CD對(duì)折，我們很容易發(fā)現(xiàn) A B兩點(diǎn)重合， 即有結(jié)論AP=BP弧AC弧BC.其實(shí)這個(gè)結(jié)論就是“垂徑定理”， 準(zhǔn)確地?cái)⑹鰹椋?垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.垂徑定理是“圓”這一章最早出現(xiàn)的重要定理，它說(shuō)明的是圓的直徑與弦及弦所對(duì)的弧之間的垂直或平分的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是解決圓內(nèi)線段、弧、角的相等關(guān)系及直線間垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)，也為我們進(jìn)行圓的有關(guān)計(jì)算與作圖提供了 方法與依據(jù).例1某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂， 維修人員為更換管道

2、，需確定 管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1) 請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面；(2) 若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬 AB=16cm水面最深地方的高度為 4cm,求這個(gè)圓形截面的半徑.例2如圖，PQ=3以PQ為直徑的圓與一個(gè)以5為半徑的圓相切于點(diǎn)P,正 方形ABCD勺頂點(diǎn)A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與 CD切于點(diǎn)Q,則ABM例3如圖，已知。0中，直徑MN=10正方形ABCD勺四個(gè)頂點(diǎn)分別在半徑 OM 0P以及OO上，并且/ POM=4，貝U AB的長(zhǎng)為多少？例4圖為小自行車(chē)內(nèi)胎的一部分，如何將它平均分給兩個(gè)小朋發(fā)做玩具？二、與圓有關(guān)的多解題幾何題目一般比

3、較靈活，若畫(huà)圖片面，考慮不周，很容易漏解，造成解題錯(cuò) 誤，在解有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)因忽視圖形的幾種可能性而漏解.1. 忽視點(diǎn)的可能位置.例5AABC是半徑為2的圓的內(nèi)接三角形，若BC=2.3cm,則/A的度數(shù)為2. 忽視點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.例6點(diǎn)P到O0的最短距離為2cm最長(zhǎng)距離為6cm則O0的半徑是.3. 忽視平行弦與圓心的不同位置關(guān)系.例7已知四邊形ABCD是O0的內(nèi)接梯形，AB/ CD AB=8cm CD=6cm O0 的半徑是5cm則梯形的面積是.4. 忽略兩圓相切的不同位置關(guān)系例8點(diǎn)P在O0外，0P=13cmPA切。0于點(diǎn)A，PA=12cm以P為圓心作。P 與O0相切，則OP的半徑是

4、.例9若O O與O0相交，公共弦長(zhǎng)為24cm o O與00的半徑分別為13cm 和15cm則圓心距O1O2的長(zhǎng)為 三、巧證切線切線是圓中重要的知識(shí)點(diǎn)，而判斷直線為圓的切線是中考的重要考點(diǎn).判斷直線是否是圓的切線，主要有兩條途徑：1 圓心到直線的距離等于半徑當(dāng)題中沒(méi)有明確直線與圓是否相交時(shí)，可先過(guò)圓心作直線的垂線，然后證明 圓心到直線的距離等于半徑.例10如圖，P是/AOB的角平分線0C上一點(diǎn)，PDL0A于點(diǎn)D,以點(diǎn)P為圓 心，PD為半徑畫(huà)O P,試說(shuō)明0B是OP的切線.2. 證明直線經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端，并且垂直于這條半徑當(dāng)已知直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，連結(jié)交點(diǎn)和圓心（即半徑），然后證明這條半徑 與直線

5、垂直即可.例11如圖，已知AB為OO的直徑，直線BC與O0相切于點(diǎn)B,過(guò)A作AD/ 0C 交O0于點(diǎn)D,連結(jié)CD.（1）求證：CD是O0的切線；若AD=2直徑AB=6求線段BC的長(zhǎng).四、結(jié)論巧用，妙解題例12已知：如圖，OO為Rt ABC的內(nèi)切圓，D E、F分別為AB AC BCI I I邊上的切點(diǎn)，求證：S.abc =AD BD .該結(jié)論可敘述為：“直角三角形的面積等于其內(nèi)切圓與斜邊相切的切點(diǎn)分斜 邊所成兩條線段的乘積.”運(yùn)用它，可較簡(jiǎn)便地解決一些與直角三角形內(nèi)切圓有 關(guān)的問(wèn)題，舉例如下：例13如圖，00為Rt ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)D分斜邊AB為兩段，其中AD =10，BD= 3,求 AC和

6、 BC的長(zhǎng).例14如圖， ABC中ZA與/B互余，且它們的角平分線相交于點(diǎn) 0,又 OELAC OFL BC 垂足分別為 E、F, AC=10 BO 13.求 AE- BF的值.五、點(diǎn)擊圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是中考中的熱點(diǎn)內(nèi)容：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是明確圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中各元素與圓錐各元素之間 的關(guān)系：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，而扇形的半徑是圓錐的母線，弧長(zhǎng)是圓錐的 底面周長(zhǎng).例15若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是它的底面半徑長(zhǎng)的 3倍，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（）A . 180 B. 90 C. 120 D. 135例16圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓面，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑長(zhǎng)的比是（）A.

7、2:1B.2 n :1C . . 2 : 1D.3 : 1例17如圖，小紅要制作一個(gè)高4cm底面直徑是6cm的圓錐 形小漏斗，若不計(jì)接縫，不計(jì)損耗，則她所需紙板的面積是（）22f22A. 15n cmB. 6 13二 cmC. 12 13 二 cmD. 30cm例18下圖是小芳學(xué)習(xí)時(shí)使用的圓錐形臺(tái)燈罩的示意圖，則圍成這個(gè)燈罩的 鐵皮的面積為 cn （不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果用 n表示）評(píng)注：圓錐的側(cè)面積，需要熟練掌握其計(jì)算公式，理解圓錐的側(cè)面積等于其 剪開(kāi)后扇形的面積.例19如圖，有一塊四邊形形狀的鐵皮 ABCDBC=CD,AB=2AD；ABC=/ ADB=90 .求/C的度數(shù)；（2）以C為

8、圓心，CB為半徑作圓弧BD得一扇形CBD剪下該 扇形并用它圍成一圓錐的側(cè)面，若已知 BO a,求該圓錐的底面半徑;（3）在剩下的材料中，能否剪下一塊整圓做該圓錐的底面？并說(shuō)明理由.六、例談三角形內(nèi)切圓問(wèn)題三角形的內(nèi)切圓是與三角形都相切的圓，它的圓心是三角形三條角平分線的 交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等，它與頂點(diǎn)的連線平分內(nèi)角.應(yīng)用內(nèi)心的性質(zhì)， 結(jié)合切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)的性質(zhì)可以解決很多問(wèn)題，現(xiàn)舉例說(shuō)明，例20如圖， ABC中，內(nèi)切圓和邊BC CA AB分別相切于點(diǎn) D E、F.求證：(1) ZFDE 90 -1 ZA ;I / / /(2) . BIC =901 . A .2例21如果 ABC的

9、三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,它的內(nèi)切圓。I 半徑為r，那么 ABC的面積為().A. (a+b+c)r B. 1(a+b+c) r2 1 iC. 1 (a b c) r D. 1 (a b c) r3 4七、陰影部分面積的求值技巧求陰影部分面積，通常是根據(jù)圖形的特點(diǎn)，將其分解、轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求 解.但在轉(zhuǎn)化過(guò)程中又有許多方法.本文精選幾個(gè)題，介紹幾種常用方法.1. 直接法當(dāng)已知圖形為熟知的基本圖形時(shí)，先求出適合該圖形的面積計(jì)算公式中某些 線段、角的大小，然后直接代入公式進(jìn)行計(jì)算.例22如圖，在矩形 ABC沖，AB=1, ADJ3，以BC的中點(diǎn)E為圓心的與AD相切于點(diǎn)P,則圖中陰影部分的面積為（）A

10、. - B.號(hào)二 D.-34432. 和差法當(dāng)圖形比較復(fù)雜時(shí)，我們可以把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為若干個(gè)熟悉的圖形的 面積的和或差來(lái)計(jì)算.例23如圖，AB和AC是。0的切線，B、C為切點(diǎn)，/ BAC=60，O0的半徑為1,則陰影部分的面積是（）A. *；: 3 - 2 B. 、3 - C. 2 3 - 一 D. 2 3 點(diǎn)3333. 割補(bǔ)法R,求陰影部分把不規(guī)則的圖形割補(bǔ)成規(guī)則圖形，然后求面積.例24如圖，正方形ABCD勺頂點(diǎn)A是正方形EFGH勺中心，EF=6cm則圖中的陰影部分的面積為 . 4.等積變形法把所求陰影部分的圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡确e變形，即可找 出與它面積相等的特殊圖形，從而求出陰影部分面積

11、.例25如圖，C、D兩點(diǎn)是半圓周上的三等分點(diǎn)，圓的半徑為 的面積.5. 平移法把圖形做適當(dāng)?shù)钠揭?，然后再?jì)算面積.例26如圖，CD是半圓0的直徑，半圓0的弦AB與半圓0相切，點(diǎn)0在CD 上，且AB/CD A吐4,則陰影部分的面積是（結(jié)果保留 n ）6. 整體法例27如圖，正方形的邊長(zhǎng)為a,分別以對(duì)角頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧, 則圖中陰影部分的面積是（）A._S2 +1wa2B.2（a2 _丄陽(yáng)2）244C212212 一 a 亠.a D. a a2 27. 折疊法例28如圖，半圓A和半圓B均與y軸相切于點(diǎn)0,其直徑CD EF均和x軸垂直，以0為頂點(diǎn)的兩條拋物線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn) C E和點(diǎn)D F,則

12、圖中陰影部分的 面積是.8. 聚零為整法例29如圖所示，將半徑為2cm的。0分割成十個(gè)區(qū)域，其中弦 AB CD關(guān)于 點(diǎn)0對(duì)稱，EF、GH關(guān)于點(diǎn)0對(duì)稱，連結(jié)PM則圖中陰影部分的面積是 （結(jié)果用n表示）.八、圓中輔助線大集合圓是初中重點(diǎn)內(nèi)容，是中考必考內(nèi)容.關(guān)于圓的大部分題目，常需作輔助線 來(lái)求解.現(xiàn)對(duì)圓中輔助線的作法歸納總結(jié)如下：1、有關(guān)弦的問(wèn)題，常做其弦心距，構(gòu)造直角三角形例30如圖，矩形 ABCD圓心在AB上的OO交于點(diǎn)G B、F、E, GB=8cm AG= 1cm DE= 2cm則EF=cm 2、有關(guān)直徑問(wèn)題，常做直徑所對(duì)的圓周角例31如圖，在 ABC中, Z C=90，以BC上一點(diǎn)0為圓

13、心，以O(shè)B為半徑 的圓交AB于點(diǎn)M 交BC于點(diǎn)N.（1）求證：AB BM 二 BC BN（2）如果CM是O0的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AO3時(shí)，求AB的值.3、直線與圓相切的問(wèn)題，常連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，得到垂直關(guān)系；或選圓周 角，找出等角關(guān)系例32如圖，AB AC分別是O0的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦ED 分別交O0于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C的切線交ED的延長(zhǎng)線于P.(1)若 PO PF,求證：AB丄 ED 點(diǎn)D在劣弧的什么位置時(shí)，才能使 AD = DE- DF,為什么？4、兩圓相切，常做過(guò)切點(diǎn)的公切線或連心線，充分利用連心線必過(guò)切點(diǎn)等 定理例33如圖，。0 2與半圓O內(nèi)

14、切于點(diǎn)C,與半圓的直徑 AB切于D,若AB=6 002的半徑為1,則/ ABC的度數(shù)為.C、數(shù)學(xué)思想方法與中考能力要求數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的血液和精髓，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力武器，是數(shù)學(xué) 的靈魂.因此，我們領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)思想方法，是提高數(shù)學(xué)思維水平，提高數(shù)學(xué)能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的有力保證，因此，我們 在學(xué)習(xí)中必須重視數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用.一、數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)， 使抽 象思維和形象思維相結(jié)合.通過(guò)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可培養(yǎng)同學(xué)們 思維的靈活性、形象性，使問(wèn)題化難為易，化抽象為具體.例1MN是半圓直徑，

15、點(diǎn)A是 的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是 的中點(diǎn)，P是直 徑MN上的一動(dòng)點(diǎn)，00的半徑是1,求AP+BP的最小值.二、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)， 采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變 換，使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方程，轉(zhuǎn)化思想，能化繁為簡(jiǎn)，化難為易， 化未知為已知.例2如圖，以00的直徑BC為一邊作等邊 ABC AB AC交00于D E兩 點(diǎn)，試說(shuō)明BD=DE=EC在同圓或等圓中，經(jīng)常利用圓心角、圓周角、弧、弦等量的轉(zhuǎn)化，說(shuō)明其他I量.三、分類(lèi)思想所謂分類(lèi)思想，就是當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種可能情況，不能一概而論時(shí)， 必須按可能出現(xiàn)的所有情況來(lái)分別討論， 得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論.分類(lèi)必須

16、遵循一定的原則：(1)每一次分類(lèi)要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；(2)不重、不漏、最簡(jiǎn).例30 0的直徑AB=2cm過(guò)點(diǎn)A的兩條弦 AC=2 cm, AD=3 cm,求/ CAD所 夾的圓內(nèi)部分的面積.在圓中有許多分類(lèi)討論的題目，希望同學(xué)們做題時(shí)，要全面、縝密，杜絕“會(huì) 而不對(duì)，對(duì)而不全”的現(xiàn)象.四、方程思想通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、分析、判斷，將問(wèn)題化歸為方程問(wèn)題，禾I用方程的性質(zhì) 和實(shí)際問(wèn)題與方程的互相轉(zhuǎn)化達(dá)到解決問(wèn)題的目的.例4如圖，AB是00的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦CDLAB垂足為E,且 PC是00的切線，若0E:EA=1:2, P心6,求00的半徑.五、函數(shù)思想例 5 (2005 梅州市)如圖，Rt ABC中，/ ACB