上海市20162017學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷含解析

1、2016-2017 學(xué)年上海市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題1拋物線x 2=4y 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2方向向量為，且過點(diǎn) A（3，4）的直線的一般式方程為3若復(fù)數(shù) z滿足 ，則= 4直線x+y2=0 和 axy+1=0 的夾角為，則a 的值為 5已知點(diǎn)（4，0）是橢圓kx2+3ky2=1 的一個(gè)焦點(diǎn)，則k= 6如果實(shí)數(shù) x，y滿足線性約束條件 ，則z=xy+1 的最小值等于 7正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是 1，則側(cè)棱與底面所成的角為8參數(shù)方程 （t為參數(shù)），化為一般方程為9以橢圓3x 2+13y2=39 的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為漸近線的雙曲線方程為10M是拋物線y=4x2+1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

2、點(diǎn) M是線段 OP的中點(diǎn)（ O為原點(diǎn)）， P的軌跡方程為 11某地球儀上北緯60緯線長(zhǎng)度為6cm，則該地球儀的體積為 cm 312若圓（ xa）2+（ya）2=1（a0）上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則a 的取值范圍是 二、選擇題13命題p：a 1；命題q：關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)方程 x 22 x+a=0 有虛數(shù)解，則p 是 q 的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件14若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，圓柱、球的表面積分別記為S1、S2，則S1：S2=（ ）A1：1 B 2：1 C 3：2 D4：115如圖，在下列四個(gè)幾何體中，它們的三視圖（主視圖、左

3、視圖、俯視圖）中有且僅有兩個(gè)相同，而另一個(gè)不同的幾何體是（ ）A（2）（3）（4） B （1）（2）（3） C（1）（3）（4） D（1）（2）（4）16如果函數(shù) y=|x| 2 的圖象與曲線 C：x 2+y2= 恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）A2 （4，+） B（2，+） C2 ，4 D（4，+）三、簡(jiǎn)答題17直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn) P（x，y）到定點(diǎn) F（0，2）的距離與它到 y=1 距離之差為 1，（1）求點(diǎn) P 的軌跡 C（2）點(diǎn) A（3，1），P 在曲線 C上，求 |PA|+|PF| 的最小值，并求此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)18在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1 中，AB=

4、BC=2，AA1 =3，過 A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如下所示的幾何體 ABCDA1C1D1（1）若 A1C1 的中點(diǎn)為 O1，求異面直線 BO1 與 A1D1 所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示） ；（2）求點(diǎn) D到平面 A1BC1 的距離 d- 2 -19復(fù)數(shù) z滿足 z +（ 12i ）z+（1+2i ） =3，求 |z| 的最大值20已知直線l ：kxy+1+2k=0，kR（1）直線過定點(diǎn) P，求點(diǎn) P 坐標(biāo)；（2）若直線l 交 x軸負(fù)半軸于點(diǎn) A，交 y軸正半軸于點(diǎn) B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)三角形 OAB的面積為4，求出直線l 方程21橢圓C：過點(diǎn) M（2，0）

5、，且右焦點(diǎn)為F（1，0），過F 的直線l 與橢圓C相交于 A、B 兩點(diǎn)設(shè)點(diǎn) P（4，3），記PA、PB的斜率分別為k1 和k2（1）求橢圓C的方程；（2）如果直線l 的斜率等于1，求出 k1?k2 的值；（3）探討k1+k2 是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出 k1+k2 的取值范圍- 3 -2016-2017 學(xué)年上海市師大二附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題1拋物線 x 2=4y 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 2 【考點(diǎn)】 K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】直接利用拋物線的性質(zhì)求解即可【解答】解：拋物線 x 2=4y 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為： p=2故答案為： 22方向向

6、量為 ，且過點(diǎn) A（3，4）的直線的一般式方程為 2xy2=0 【考點(diǎn)】 IG：直線的一般式方程【分析】根據(jù)點(diǎn)向式方程計(jì)算即可【解答】 解：方向向量為 ，且過點(diǎn) A（3，4）的方程為 = ，即 2xy2=0，故答案為： 2xy2=03若復(fù)數(shù) z 滿足 ，則 = 【考點(diǎn)】 A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算； A8：復(fù)數(shù)求模【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求值【 解 答 】 解 ： = =， 故答案為： - 4 -4直線 x+y2=0 和 axy+1=0 的夾角為 ，則 a 的值為 2 【考點(diǎn)】 IV ：兩直線的夾角與到角問題【分析】先求出兩條直線的斜率，再利用兩條直線的夾

7、角公式求得 a 的值【解答】解：直線 x+y2=0 的斜率為 1，和 axy+1=0 的斜率為 a，直線 x+y2=0 和 axy+1=0 的夾角為 ，tan = =| | ， 求得 a= =2 ，或a= =2+ ，故答案為： 2 5已知點(diǎn)（ 4，0）是橢圓 kx2+3ky2=1 的一個(gè)焦點(diǎn)，則 k= 【考點(diǎn)】 K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程求解即可【解答】解：點(diǎn)（ 4，0）是橢圓 kx 2+3ky2+3ky2=1 的一個(gè)焦點(diǎn)，可得： ，解得 k= 故答案為： 6如果實(shí)數(shù) x，y 滿足線性約束條件 ，則 z=xy+1 的最小值等于2 【考點(diǎn)】 7 C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【分

8、析】作出可行域，變形目標(biāo)函數(shù)，平移直線 y=x 可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) A（2，1）時(shí)， z取最小值，代值計(jì)算可得【解答】解：作出線性約束條件 ，所對(duì)應(yīng)的可行域（如圖） ，- 5 -變形目標(biāo)函數(shù)可得 y=x+1+z，平移直線 y=x 可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) A（2，1）時(shí)，截距取最小值， z 取最小值，代值計(jì)算可得 z 的最小值為 z=21+1=2故答案為： 27正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是 1，則側(cè)棱與底面所成的角為 45 【考點(diǎn)】 MI：直線與平面所成的角； L3：棱錐的結(jié)構(gòu)特征【分析】先做出要求的線面角，把它放到一個(gè)直角三角形中，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出此角【解答】解：如圖，四棱錐 PAB

9、CD中，過 P作 PO平面 ABCD于 O，連接 AO，則 AO是 AP在底面 ABCD上的射影 PAO即為所求線面角，AO= ，PA=1，cos PAO= = PAO=45 ，即所求線面角為 45 故答案為 45 - 6 -8參數(shù)方程 （t 為參數(shù)），化為一般方程為 x+y2=0 【考點(diǎn)】 Q H：參數(shù)方程化成普通方程【分析】參數(shù)方程消去參數(shù) t ，能求出其一般方程【解答】解：參數(shù)方程 （t 為參數(shù)），消去參數(shù) t ，得： x=1+（1y），整理，得一般方程為： x+y2=0故答案為： x+y2=09以橢圓 3x 2 +13y2=39 的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以 為漸近線的雙曲線方程為【考點(diǎn)】 KI

10、：圓錐曲線的綜合【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的漸近線方程，求解即可【解答】解：以橢圓 3x 2 +13y2=39 的焦點(diǎn)為（ ，0），則雙曲線的頂點(diǎn)（ ，0），可得 a= ，以 為漸近線的雙曲線，可得 b= ，所求的雙曲線方程為： 故答案為： 10M是拋物線 y=4x2+1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) M是線段 OP的中點(diǎn)（ O為原點(diǎn)），P的軌跡方程為 y=2x 2+2 【考點(diǎn)】 KK：圓錐曲線的軌跡問題【分析】設(shè)出 P的坐標(biāo)，求出 M的坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn) M在拋物線 y=4x 2+1 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) M滿足拋物線方- 7 -程，代入求解，即可得到 P 的軌跡方程【解答】解：設(shè)P

11、的坐標(biāo)（ x，y），由題意點(diǎn) M為線段 OP的中點(diǎn)，可知 M（ ， ），動(dòng)點(diǎn) M在拋物線y=4x 2+1 上運(yùn)動(dòng)，所以 =4 +1，所以 y=2x2+2動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程為： y=2x2+2故答案為： y=2x2+211某地球儀上北緯60緯線長(zhǎng)度為6cm，則該地球儀的體積為 288 cm 3【考點(diǎn)】 LG：球的體積和表面積【分析】地球儀上北緯60緯線的周長(zhǎng)為 6cm，可求緯圓半徑，然后求出地球儀的半徑，再求體積【解答】解：由題意：地球儀上北緯60緯線的周長(zhǎng)為6 cm，緯圓半徑是： 3cm，地球儀的半徑是： 6cm；地球儀的體積是： 6 3=288cm3，故答案為： 28812若圓（ xa）2+

12、（ya）2=1（a0）上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則a 的取值范圍是 （0， ） 【考點(diǎn)】 JA：圓與圓的位置關(guān)系及其判定【分析】轉(zhuǎn)化題目，為兩個(gè)圓的位置關(guān)系，通過圓心距與半徑和與差的關(guān)系列出不等式求解即可【解答】解：圓（ xa） 2+（ya）2=1（a0）上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，轉(zhuǎn)化為：以原點(diǎn)為圓心 1為半徑的圓與已知圓相交，可得 11 1+1，可得 0 2，即 a（ 0， ）故答案為：（0， ）二、選擇題- 8 -13命題p：a 1；命題q：關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)方程 x 22 x+a=0 有虛數(shù)解，則p 是 q 的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不

13、必要條件【考點(diǎn)】 2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷【解答】解：若關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)方程 x 22 x+a=0 有虛數(shù)解，則判別式 0，即 84a0，解得 a2，p 是 q 的必要不充分條件，故選： B14若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，圓柱、球的表面積分別記為S1、S2，則S1：S2=（ ）A1：1 B 2：1 C 3：2 D4：1【考點(diǎn)】 LG：球的體積和表面積【分析】根據(jù)圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，設(shè)為球的半徑為1，結(jié)合圓柱的表面積的公式以及球的表面積即可得到答案【解答】解：由題意可得：圓柱的底面直徑和高

14、都與球的直徑相等，設(shè)球的半徑為1，所以等邊圓柱的表面積為： S1=6，球的表面積為： S2 =4所以圓柱的表面積與球的表面積之比為S1： S2=3：2故選C15如圖，在下列四個(gè)幾何體中，它們的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）中有且僅有兩個(gè)相同，而另一個(gè)不同的幾何體是（ ）- 9 -A（2）（3）（4） B （1）（2）（3） C（1）（3）（4） D（1）（2）（4）【考點(diǎn)】 L7：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖【分析】主視圖、左視圖、俯視圖中有且僅有兩個(gè)相同，需要看出四個(gè)圖形的三視圖，圓柱的側(cè)視圖與主視圖一樣，圓錐的側(cè)視圖與主視圖一樣，四棱柱側(cè)視圖與主視圖一樣，得到結(jié)果【解答】解：要找三視圖中有且僅有

15、兩個(gè)相同，而另一個(gè)不同的幾何體，需要看出所給的四個(gè)幾何體的三視圖，正方體的三視圖都是正方形，都相同，不合題意，圓柱的側(cè)視圖與主視圖一樣，符合題意，圓錐的側(cè)視圖與主視圖一樣，符合題意，四棱柱側(cè)視圖與主視圖一樣，符合題意，故符合題意的有（ 2）（3）（4）三個(gè)，故選 A- 10 -16如果函數(shù) y=|x| 2 的圖象與曲線 C：x 2+y2= 恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）A2 （4，+） B（2，+） C2 ，4 D（4，+）【考點(diǎn)】 J8：直線與圓相交的性質(zhì)【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù) y=|x| 2 與曲線 C：x 2+y2= 的圖象，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)圓 O與兩射線相切時(shí)，

16、兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，過 O作 OCAB，由三角形 AOB為等腰直角三角形，利用三線合一得到 OC為斜邊 AB 的一半，利用勾股定理求出斜邊，即可求出OC的長(zhǎng)，平方即可確定出此時(shí) 的值；當(dāng)圓 O半徑為 2 時(shí)，兩函數(shù)圖象有 3 個(gè)公共點(diǎn)，半徑大于 2 時(shí)，恰好有 2 個(gè)公共點(diǎn)，即半徑大于 2 時(shí)，滿足題意，求出此時(shí) 的范圍，即可確定出所有滿足題意 的范圍【解答】解：根據(jù)題意畫出函數(shù) y=|x| 2 與曲線 C：x 2+y2= 的圖象，如圖所示，當(dāng) AB與圓 O相切時(shí)兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，過 O作 OCAB，OA=OB=，2 AOB=90 ，根據(jù)勾股定理得： AB=2 ，

17、OC= AB= ，此時(shí) =OC 2=2；當(dāng)圓 O半徑大于 2，即 4 時(shí)，兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù) 的取值范圍是 2 （4，+）故選 A三、簡(jiǎn)答題17直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn) P（x，y）到定點(diǎn) F（0，2）的距離與它到 y=1 距離之差為 1，（1）求點(diǎn) P 的軌跡 C（2）點(diǎn) A（3，1），P 在曲線 C上，求 |PA|+|PF| 的最小值，并求此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)- 11 -【考點(diǎn)】 IW：與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程【分析】（1）設(shè) P（x，y），由兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，由此能求出曲線 C的方程；（2）要使 |PA|+|PF| 的值最小，則三點(diǎn) P，A，

18、F 三點(diǎn)共線，此時(shí)點(diǎn) P 為直線 AF與拋物線的交點(diǎn)即可【解答】解： （1）（1）設(shè) P（x，y），動(dòng)點(diǎn) P（x，y）到定點(diǎn) F（0，2）的距離與它到 y=1 距離之差為 1， ，整理得 x 2=8y點(diǎn) P的軌跡 C是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為 y 軸的拋物線（2）如圖，要使 |PA|+|PF| 的值最小，則三點(diǎn) P，A，F(xiàn) 三點(diǎn)共線，此時(shí)點(diǎn) P 為直線 AF 與拋物線的交點(diǎn)直線 AF方程： x+3y6=0由 得 P（ ， ）|PA|+|PF| 的最小值為 18在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1 =3，過 A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如下所示的幾何

19、體 ABCDA1C1D1（1）若 A1C1 的中點(diǎn)為 O1，求異面直線 BO1 與 A1D1 所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示） ；（2）求點(diǎn) D到平面 A1BC1 的距離 d- 12 -【考點(diǎn)】 MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算； LM：異面直線及其所成的角【 分 析 】（ 1 ） 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 求 出 相 關(guān) 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) ， 求 出利用空間向量的連結(jié)求解異面直線 BO1 與 A1D1 所成的角（2）求出平面 ABD的法向量通過空間向量的距離公式求解即可【解答】（本題滿分 12 分）本題共有 2 個(gè)小題，第 1 小題滿分，第 2 小題滿分（理科）解：（1）按如圖所示

20、建立空間直角坐標(biāo)系由題知，可得點(diǎn) D（0，0，0）、B（2，2，0）、D1（0，0，3）、A1（2，0，3）、C1（0，2，3）由 O1 是 A1C1 中點(diǎn)，可得 O1（1，1，3）于 是 ，設(shè)異面直線 BO1 與 A1 D1 所成的角為 ，則因此，異面直線 BO1 與 A1D1 所成的角為 （2）設(shè) 是平面 ABD的法向量又 ， 取 z=2 ，可 得 即平面 BA1C1 的一 個(gè)法 向量 是- 13 - = 19復(fù)數(shù) z滿足 z +（ 12i ）z+（1+2i ） =3，求 |z| 的最大值【考點(diǎn)】 A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【分析】設(shè)z=a+bi （a，bR），則，代入 z +（12i

21、）z+（1+2i ） =3，得（a+1） 2+（b+2）2=8則z 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以 （1，2）為圓心， 以為半徑的圓數(shù)形結(jié)合求 |z| 的最大值【解答】解：設(shè)z=a+bi （a，bR），則，代入 z +（12i ）z+（1+2i ） =3，得（a 2+b2+2a+4b）+（ b2ab+2a）i=3 ，即 a 2+b2+2a+4b=3，化為（ a+1）2+b2+2a+4b=3，化為（ a+1）2+（ b+2）2=8z 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以（1，2）為圓心，以為半徑的圓|z|= ，則|z| 的最大值為 - 14 -20已知直線l ：kxy+1+2k=0，kR（1）直線過定點(diǎn) P，求點(diǎn) P 坐標(biāo)；（2）若直線l 交 x軸負(fù)半軸于點(diǎn) A，交 y軸正半軸于點(diǎn) B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)三角形 OAB的面積為4，求出直線l 方程【考點(diǎn)】 IO：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程【分析】（1）由 kxy+1+2k=0，可得 k（x+2）+（1y）=0可得直線l ：kxy+1+2k=0 必過直線x+2=0，1y=0 的交點(diǎn)（2， 1）（2）令 y=0，得 A（）；令 x=0，得 B（0，1+2k）三角形 OAB的面積為s= = =4，解得 k【解答】解： （1）由 kxy+1+2k=0，可得 k（x+2）+（