圓錐曲線最值問題及練習(xí)

1、圓錐曲線最值問題及練習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)最值問題遍及代數(shù)、三角，立體幾何及解析幾何各科之中，且與生產(chǎn)實(shí)際聯(lián)系密切，最 值問題有兩個(gè)特點(diǎn)：覆蓋多個(gè)知識(shí)點(diǎn)（如二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，各元素間關(guān)系，對(duì)稱性，四邊形面積， 解二元二次方程組，基本不等式等）求解過程牽涉到的數(shù)學(xué)思想方法也相當(dāng)多（諸如配方法，判別式 法，參數(shù)法，不等式，函數(shù)的性質(zhì)等）計(jì)算量大，能力要求高。1、回到定義22例 1、已知橢圓 xy1，A （4，25 95 點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，求：（1）求4（2）求|PA|+|PB的| 最小值和最大值。略解：（1）A 為橢圓的右焦點(diǎn)。作 PQ右準(zhǔn)線于點(diǎn) Q，則由橢圓的第二定義 |PA| e 4 ，|PQ| 55

2、|PA| |PB| |PQ| | PB |.問題轉(zhuǎn)化為在橢圓上找一點(diǎn) P，使其到點(diǎn) B和右準(zhǔn)線的距離之和最4小，很明顯，點(diǎn)P應(yīng)是過B向右準(zhǔn)線作垂線與橢圓的交點(diǎn)，最小值為 17 。2）由橢圓的第一定義，設(shè) C 為橢圓的左焦點(diǎn)，則|PA|=2a-|PC| |PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+（|P -B|PC|） 根據(jù)三角形中，兩邊之差小于第三邊，當(dāng) P運(yùn)動(dòng)到與 B、C成一條直線時(shí)，便可取得最大和最小值。即 -|BC|PB| -|PC| |BC|.當(dāng)P到P位置時(shí)，|PB| -|PC|=|BC，| |PA|+|PB|有最大值，最大值為 10+|BC|=10 2 10 ；當(dāng)P到 P位置

3、時(shí)，|PB| -|PC|=-|BC，| |PA|+|PB有| 最小值，最小值為 10-|BC|=10 2 10 ?；氐蕉x的最值解法同樣在雙曲線、拋物線中有類似應(yīng)用。（2）中的最小值還可以利用橢圓的光學(xué)性質(zhì) 來解釋：從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓面反射后經(jīng)過另一焦點(diǎn)，而光線所經(jīng)過的路程總是最短的。2、利用閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的求法例 2、在拋物線 y 4x2 上求一點(diǎn)，使它到直線 y=4x-5 的距離最短。2 4t 4t 5 解：設(shè)拋物線上的點(diǎn)P(t,4t2) ，點(diǎn)到直線 4x-y-5=0的距離d1當(dāng)t 2 時(shí)，dmin4，17 ，故所求點(diǎn)為( 1 ,1)。2124(t)2 42171722例3

4、、已知一曲線 y2 2x ，()設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為( ,0) ，求曲線上距點(diǎn) A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng) 3的距離 |PA|；()設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(a,0)aR，求曲線上點(diǎn)到點(diǎn) A 距離最小值 d，并寫出 d=f(a)的 函數(shù)表達(dá)式。解：(1)設(shè) M(x,y)是曲線上任意一點(diǎn)，則 y2 2x (x 0)2 2 2 2 2 2 1 2 1 MA (x)2 y2 (x )2 2x (x)2 x03 3 3 3MA min 49 所求P點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，0)，相應(yīng)的距離是 AP 232)設(shè) M(x,y)是曲線上任意一點(diǎn)，同理有 MA 2 (x a)2 y2 (x a)2 2x2綜上所述，有 d2a 1 (

5、當(dāng)a 1時(shí) ) a(當(dāng)a 1時(shí) )x (a 1) 2 (2a 1) x 03、運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)例4、在ABC中， A， B， C的對(duì)邊分別為 a,b,c，且 c=10,cosA b 4 ，P為ABC 內(nèi)切圓上動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn) A，B，CcosB a 3的距離的平方和最大值與最小值。解：由 cosA b sni B sin AcosA cosB sni A 0 sin 2A sin 2B cosB a sni Ab 4b 41 2A 2B ABC為Rt由C=10，且知 a=6 b=8a 3a 3設(shè)ABC 內(nèi)切圓半徑為 r，如圖建立直角坐標(biāo)系，則 RtABC 的內(nèi)切圓 M 的方程為：(x 2)2

6、(y 2)2 4設(shè)圓 M 上動(dòng)點(diǎn) P(x,y)( 0 x 4)，則 P點(diǎn)到頂點(diǎn)A，B，C的距離的平方和為：PA2 PB2 PC 2 (x8)2y2x2(y6)2y2 x22 2 2 23x2 3y216x 12y 100 3(x2)2(y2)24x7688-4x 點(diǎn)P在內(nèi)切圓M 上，0 x 4，于是 max 88 0 88 min 88 16 72例5、直線 m：y=kx+1和雙曲線 x2-y2=1的左支交于A，B兩點(diǎn)，直線 L過點(diǎn)P（-2，0）和線段AB 的 中點(diǎn)M，求L在y軸上的截距 b的取值范圍。略解：設(shè) A（x1,y1），B（x2,y2），M（x0,y0），將 y=kx+1代入 x2-

7、y2=1得（1-k2）x2-2kx-2=0,由題意， 0且 x 1+x20,解之得1k2,且M (1 kk21 1k2 )1k,又由 P（-2，0），M，Q（0，b）共線，得 b1 k221 k2 2122k2 k 2即b22k2 k 2面可利用函數(shù) f（k）=-2k2+k+2在（1, 2） 上是減函數(shù)，可得b 22或b 2 。2x例 6、已知 P 是橢圓42y2 1在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，A（2，0），B（0，1），O為原點(diǎn)，求四邊形 OAPB的面積的最大值。略解：設(shè) P（2cos,sin），（00得x，當(dāng) x 時(shí)， 由解得442y1y2，(y1 y2)42 2 1 5 y1 y2 2y1y2 2

8、x 22412 ，可得 y1 y22 ，2由 ，可得 y1，y2，由即得相應(yīng)的 x1，x2。55 252故AB 的中點(diǎn)M 距y軸最短距離為 x0，且相應(yīng)的中點(diǎn)坐標(biāo)為( , ) 或( , ) 。0 44 2422 2 2 2y1 y21法二： y1 x1 y2 x2y1 y2 x1 x2 kx1 x2 2y2 2 2 2 2 32 1 (2y)2(y1 y2)2 9 (1 4y2)(y1 y2)222 2x x1 x2 y1 y2 2y y1 y2 2 2 2由 得2x4y22y1y2 得 4x 4y2(y1y2)2代入得 4x 9 2 4y2 2 9 1 5 x 51 4y24當(dāng)且僅當(dāng)91 4

9、y24y2 1y2 1 y 2 時(shí)等式成立。225 xmin452M (54, 22說明：此法即為下面的基本不等式法。5、利用基本不等式2例 8、已知橢圓 xy2 1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩焦點(diǎn)，P 為橢圓上任一點(diǎn)。求：41)|PF1|PF2|的最大值；(2)|PF1|2+|PF2|2的最小值。略解：設(shè) |PF1|=m,|PF2|=n,則 m+n=2a=4，|PF1|PF2|=mnmn22 2 2 2|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|42-2 4=8 參考練習(xí)：221、 過橢圓 E： x2 y2 1（ab0）上的動(dòng)點(diǎn) P向圓 O：x2+y2=b2引兩條切線 PA，PB，切點(diǎn)分別為 a2 b2b3A，B，直線AB 與x軸、y軸分別交于 M，N兩點(diǎn)。求MON的面積的最小值。（ b ） a2、 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為e 2當(dāng) a在區(qū)間 2, 3 上變化時(shí)，求0的取值范圍。 ，已知點(diǎn)P（0，3/2）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為 7 ，求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn) P 的距離等于 7 的點(diǎn)的坐標(biāo)。2x24y2 1 ，所求點(diǎn)為 （ 3, 11）2）當(dāng) a固定時(shí)求的最小值 0；23