大學高數(shù)公式大全

1、高等數(shù)學公式15 / 12導數(shù)公式:(tgx) =sec x(ctgx)二-csc2 x (secx) = secx tgx (cscx)二-cscx ctgx (axf-axln a(log ax)-xln a基本積分表： 三角函數(shù)的有理式積分:Jtgxdx = In cosx +CJctgxdx =1 n sin x +CJsecxdx = In secx+tgx +Ccscxctgx| “Ccscxdx 二 Indx2 2a xdx.22x -adx2 2a -x dxarctg C aIn2a12aInx a+ ax C-x2-xa.x + 二arcs in CaIn2二 sinn x

2、dx0cos0高等數(shù)學公式(arcsin x) =1J1 _ x(arccos x)=,1心x2(arctgx)1 +x11 x2(arcctgx)=dxJ 2cos xdxJ_2sin x2=sec xdx = tgx C2= csc xdx = -ctgx Csecx tgxdx = secx Ccscx ctgxdx 二-cscx Cxaxdx CIn ashxdx = chx Cchxdx = shx Cdx.x2 _ a22usinx 1 u2，x2a22 2x -adxdx! ：a2 _x2dxXdX 2 In,n 2 i2a2 a In(x , x2 a2) C2. 2x/22

3、a=+ x -a -一In x2 2 2x 22 a . x二 a - xarcs inC22a.x2 - a2丄 x , 2du u = tg , dx 21 u2一些初等函數(shù):兩個重要極限:x. x雙曲正弦：shx=e -2x ,_x雙曲余弦：chx=-2lim沁x刃x=1lim （1 ）x =e =2.718281828459045 j xx_x雙曲正切:thx二空=-x電 chx e +earshx =1 n（x . x21）archx 二 ln（xx2 -1）arthx21 -x三角函數(shù)公式:誘導公式：-和差角公式:函數(shù)角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-

4、ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 asin a-cos a-tg a-ctg a180 -a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 - a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 - asin acos atg actg a-和差化積公式:sin（： 二 I ） =sin ： cos二cos： sin : cos（： ：） =cos： cos ： -sin ： sin :R

5、a + P a - Psin ： sin 2sin cos2 2tg ； -tg :1 二 tg： tg ：ctg（二 i ）=ctg ： ctg ： _1 ctgi 二ctg：sin 匚-sin :Ct二 2cos2a - P011 12cos： cos：a+ 1 0E-P=2cos2cos2COS； -COS :a+ Pa-P一 2sin2-sin2倍角公式:sin 2： = 2sin ： cos：cos2：2 2二 2cos 1 =1 2sin cos2 sin ：sin3： = 3sin： -4sin3:ctg 2:-2_ ctg 12ctg :3cos3： = 4cos ： -3co

6、s二tg2,洱于1 -tg a3丄 c3tga tg atg32_1-3tgaa1 -cos：sin=斗2 2a1 - cos：tg2=+ i；1 cos：-半角公式:1-cosjsi nsin ：1 cos：1 cos：cos2 2丄a：1+cosa1 cos：si n。ctg2. 1 - cos：si n：1 - cos：余弦定理：c2 = a2 b2 -2abcosC正弦定理：abc 2Rsin A sin B sin C-反三角函數(shù)性質(zhì):Ttarcs in x 二arccosx2Ttarctgx arcctgx2高階導數(shù)公式萊布尼茲(Leibniz )公式：n(uv)(n)八 C：u2

7、)v(k)k(n)丄(nJ) * 丄 n(n 一0 (n_2) 丄丄 n(n 一1廠(n-k*1) (n_k) (k)丄丄(n) 二u v nu vu vu 十uv2!k!中值定理與導數(shù)應用：拉格朗日中值定理：f(b) -f (a) = f ()(b-a)柯西中值定理：如IM二山F(b)-F(a) F 徉)當F(x) =x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds = . 1 y 2dx,其中y二tg化量；s： MM弧長。平均曲率：-：從M點到M點，切線斜率的傾角變 直線：K =0;M點的曲率:Aa daysn dsJ(1*2、3+ y )K二叭1半徑為a的圓：K二一.a定

8、積分的近似計算:b矩形法：f(x)ab - a(y。 ynj)nb梯形法：f (x)a:口by。yJ %yZn 2b拋物線法：f (x)ab a(yo yn)2(y2 目43nyn)4(yiy3yn)定積分應用相關(guān)公式：功：W = F s 水壓力：F = p A引力：F =km,k為引力系數(shù)rb函數(shù)的平均值:baf(x)dxa均方根:bf2(t)dta-i jcuaFhaxaybxbyax 向量的混合積：abc =(aHb) c = bxCx 代表平行六面體的體積。ay azby bz =a0時, 貝U: AC B2 0時,A co,(xo,y)為極大值 0, (x0, y0 )為極小值 無極

9、 值A(chǔ)C - B2 =0 時,不確定重積分及其應用:11 f (x, y)dxdy 二f(rcosv,rsin rdrd jDD 二f (x, y)的面積A二噹卜dyJfxP(x,y)db“yP(x,y)db平面薄片的重心：_ Mxd_M ydx,y =Mt(x, y)d匚MI I ： (x, y)d-DD曲面zD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸I x = Uy? P(x, y)dr,對于y軸I y = |/x(x, y)dcDD平面薄片(位于xoy平面)對z軸上質(zhì)點M(0,0,a),(a 0)的引力：F =Fx,Fy,Fz，其中:l “ P(x,y)xdbl “ P(x,y)ydb廠 t P(x

10、,y)xdbFx 二 f3，F(xiàn)y 二 f3，F(xiàn)z 二-fa3D/222 D/222 空D/222 勺(x y a )?(x y a )2(x y a )2柱面坐標和球面坐標：x = r cos日hi f(x,y,z)dxdydz： iii F(r j,z)rdrdnd乙柱面坐標：y =r sin,z = z其中：F(rj,z) = f (r cosr sin,z)x 二 rsincos球面坐標：y=rsinsin。,dv = rd rsin d& dr=r2sindrdz = r cos申-2兀JT (初f (x,y,z)dxdydz二 F(r,門)r2sin drd dd F(r, :j)r

11、2 sin dr0 0 0其中 M =x： iHdvQlz = . (x2y2r-dvQ111重心：xx】dv,yydv,zzdv,M 五MM q轉(zhuǎn)動慣量：Iin (y2 z2) ;?dv,I in (x2 z2) ;?dv,QQ曲線積分:第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)：x (t)(a Qcos： Rcos )ds:x:y z高斯公式的物理意義 通量與散度：散度：div= ,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若di 0,則為消失excycz通量：iiA nds 二 Ands ii(Pcos=，Qcos： Rcos )ds，z z z因此，高斯公式又可寫成： div Adv二山AndsQZty

12、cz次excyrdydzdzdxdxdycosotcos PcosY上式左端又可寫成：II=fjEJ 工次旁czIexczPQRPQR空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：cRcQcPcRcQ5dPcz.i.i.dxex斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系:(R rQcP cRcQ cP! !()dydz ()dzdx ()dxdy 二：Pdx Qdy Rdzji旋度：rotA = dxPk.:zR向量場A沿有向閉曲線-的環(huán)流量：-Pdx Qdy Rdz 二- A tds1、正項級數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判Pc1時，級數(shù)收斂設(shè)P = lim叮叮，貝9 1時，級數(shù)發(fā)散k P =1時，不確定2、比值

13、審斂法：1 1|1時，級數(shù)發(fā)散v/ nP=1時，不確定3、定義法：nsn = u1 U 2 亠亠 u;lim .sn存在，則收斂；否則發(fā)別法）：散。rr常數(shù)項級數(shù):等比數(shù)列：n1qq2、，q2= q1 -q等差數(shù)列：(n 1)n123亠 亠n =2調(diào)和級數(shù)：1丄丄1是發(fā)散的23n級數(shù)審斂法:交錯級數(shù)uu2 u3 -U4 （或-U, UUR時發(fā)散 x = R時不定其中R稱為收斂半徑。求收斂半徑的方法：設(shè)=，其中an，an .1是(3)的系數(shù)，則? - 0 時，R = Pr - 0時，R 二：:時，r = 0函數(shù)展開成幕級數(shù):(n)函數(shù)展開成泰勒級數(shù):f(x) = f(xo)(x-xo) (x-X

14、0)2屮(x-X0)n余項：Rf (n 4)(、-(x -x0)n 1, f (x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：im._Rn=0x0 =0時即為麥克勞林公式:f (x)二 f (0) f(0)xx2 :;川2!如n ,.n!些函數(shù)展開成幕級數(shù):mm( m -1)2(1 x) 1 m xx2!35.X 丄X丄n、sin x = x ( _ 1)3!5!(2n 1)!亠.亠 m(m -1) (m -n 1)訂.n!(1 : X 1)X2nix. ixe 十ecos x =2ix-ixe -e sin x 二歐拉公式：ixe cos x i sin x三角級數(shù):a f (t) = Ao 二 An

15、 sin( n ，t ： In)?二(an cos nx bn sin nx)n _12n _1其中， ao =aAo, an = An sin n, b An cos , t = x。正交性：1 ,sin x, cos x,sin 2x,cos2x sin nx,cos nx任意兩個不同項的乘積在-二，二上的積分=0。傅立葉級數(shù)：f (x) 7 (an cos nx - bn sin2 n 11 :f (x)cos nxdx1 :f ( x)sin nxdxnx)，周期=2二ran(n = 0,1,2)其中bn(n =1,2,3)正弦級數(shù):a n = 0,余弦級數(shù):bn = 0，周期為218

16、兀242JI1.尹12bnan11.1122342 二 f (x) sin nxdx: 02 :f ( x) cos nxdx二 0-2-(相加)6-2-(相減)12n = 1,2,3 n =0,1,2 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):a。f (x)0 亠一 (an2 n 1 1 111 1 f (x) sinI 1an其中bnf (x) = 7 bn sinf(x)=汀nx是奇函數(shù)an cos nx是偶函數(shù)cosbn sinf (x) cos dx Illn 二 x dx I周期(n =0,1,2)(n =1,2,3)=21微分方程的相關(guān)概念： 一階微分方程：y可分離變量的微分方程g(y)dy 二

17、f (x)dxP(x,y)dx Q(x, y)dyf (x, y):一階微分方程可以化為g(y)dy二f (x)dx的形式，解法:得：G(y)二F(x)稱為隱式通解。齊次方程:一階微分方則業(yè)丸dx即得齊次方程通解。一階線性微分方程：程可以寫成業(yè)=f(x, y) =(x, y),即寫成dxdudu,u 一dxdx仝(u),.dx=金分離變量,積分后將解法:1、一階線性微分方程:毀-P(x)ydx= Q(x)/當Q (x) = 0時，為齊次方程， 當Q(x) =0時，為非齊次方程,P (x)dxy 二 Cey = ( . Q(x)e-P(x)dx_ P (x)dxdx + C )e2、貝努力方程:辛 P(x)y=Q (x ) y n,( n = 0,1)全微分方程：如果P(x, y)dx Q(x,y)dy = 0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：du (x, y) =P(x, y)dx Q(x,y)dy =0,其中： 竺二 p(x,y),蘭=Q(x,y).u(x,y)二C應該是該全微分方程的通