數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告3

1、實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱數(shù)值積分與數(shù)值微分實(shí) 驗(yàn) 室 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室所屬課程名稱數(shù)值逼近實(shí)驗(yàn)類型算法設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)日期班級(jí)學(xué)號(hào)姓名成績(jī)實(shí)驗(yàn)概述：【實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙蟆勘敬螌?shí)驗(yàn)的的是熟練數(shù)值分析第四章“數(shù)值積分與數(shù)值微分”的相關(guān) 內(nèi)容，掌握復(fù)合梯形求積公式、復(fù)合辛普森求積公式、龍貝格求積公式以及高斯 -勒讓德公式。本次試驗(yàn)要求編寫復(fù)合梯形求積公式、復(fù)合辛普森求積公式、龍貝格求積公式以 及高斯-勒讓德公式的程序編碼，并在MATLAB軟件中去實(shí)現(xiàn)?！緦?shí)驗(yàn)原理】數(shù)值分析第四章“數(shù)值積分與數(shù)值微分”的相關(guān)內(nèi)容，包括：復(fù)合梯形 求積公式、復(fù)合辛普森求積公式、龍貝格求積公式以及高斯-勒讓德公式的相應(yīng) 算法和相關(guān)性質(zhì)?！緦?shí)驗(yàn)環(huán)

2、境】(使用的軟硬件)軟件：MATLAB 2012a硬件：電腦型號(hào)：聯(lián)想Lenovo昭陽(yáng)E46A筆記本電腦操作系統(tǒng)：Windows 8專業(yè)版處理器：Intel (R) Core (TM) i3 CPU M 350 2. 27GHz 2. 27GHz實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：【實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)】第一步，將書上關(guān)于復(fù)合梯形求積公式、復(fù)合辛普森求積公式、龍貝格求積 公式以及高斯-勒讓德公式的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成程序語言，用MATLAB實(shí)現(xiàn)；第二步，分 別用以上求積公式的程序編碼求解不同的問題?！緦?shí)驗(yàn)過程】(實(shí)驗(yàn)步驟、記錄、數(shù)據(jù)、分析)實(shí)驗(yàn)的主要步驟是：首先分析問題，根據(jù)分析設(shè)計(jì)MATLAB程序，利用程序 算出問題答案，分析所得答案

3、結(jié)果，再得出最后結(jié)論。1廠4 I x/x In xdx=- .實(shí)驗(yàn)：用不同數(shù)值方法計(jì)算積分109(1) 取不同的步長(zhǎng)h.分別用復(fù)合梯形及復(fù)合辛普森求積計(jì)算積分，給出 誤差中關(guān)于h的函數(shù)，并與積分精確值比較兩個(gè)公式的精度，是否存在一個(gè)最小 的h,使得精度不能再被改善？(2) 用龍貝格求積計(jì)算完成問題(1)。(3) 用勒讓德多項(xiàng)式確定零點(diǎn)，再代入汁算高斯公式，使其精度達(dá)到10円(1)在MATLAB的Editor中建立一個(gè)M-文件，輸入程序代碼，實(shí)現(xiàn)復(fù)合梯形求積公式 的程序代碼如下：function s二T(n) a二0. 0000001;b=l;h=(ba)/n;s=h* (f (a) +f (b

4、) )/2;if nlfor k=l：n-lx=a+k*h;s=s+h*f(x);endE二s+4/9%復(fù)合梯形誤差end在command Windows中輸入命令：T(10), T(100)以及T(lOOO),得出的結(jié)果為: T(10)E =0. 0271ans 二-0.4173 T(100)E =0. 0013ans =-0. 4431 T(1000)E =5.4375e-05ans =-0. 4444建立一個(gè)新的1-文件，輸入程序代碼，實(shí)現(xiàn)切比雪夫多項(xiàng)式的程序代碼如下： function t=S(n)a二0. 0000001;b=l;h= (ba)/n;t=h*(f(a)+f(b)/6;

5、if nlfor k=0：nlx0=a+ (k+0. 5)*h;xl=a+k*h;if k=0t=t+4*f(x0)*h/6;else t=t+(4*f(x0)+2*f(xl)*h/6;endendE=t+4/9%復(fù)合辛普森誤差endcommand Windows中輸入命令：S(10), S(100)以及S(1000),得出的結(jié)果為: S(10)E 二0. 005ans =-0. 4387 S(100)E =2.4147e-04ans =-0. 4442 S(1000)E =9. 1563e-06ans =一0 4444總結(jié)山結(jié)果（1）、（2）可知復(fù)合辛普森法求積分精度明顯比復(fù)合梯形法求 積的

6、精度要高，且當(dāng)步長(zhǎng)取不同值時(shí)即n越大、h越小時(shí)，積分精度越高。實(shí)驗(yàn) 結(jié)果說明不存在一個(gè)最小的h,使得精度不能再被改善。乂兩個(gè)相應(yīng)的關(guān)于h的誤差（余項(xiàng)）Rn(f (2)4)(其中II屬于&到b可知h愈小，余項(xiàng)愈小，從而積分精度越高。(2)在MATLAB的Editor中建立一個(gè)4文件，輸入程序代碼，實(shí)現(xiàn)龍貝格算法的程 序代碼如下：function q, n=Roberg(f, a, b)M二 1;abs0=10;k二 0;T=zeros(l, 1);h=ba;T (1, l) = (h/2)*(subs(f, a) +subs (f, b);while abs00. 0001k二k+1;h=h/2

7、;P二 0;for i=l:Mx=a+h*(2*i-l);p二p+subs (f, x);endT(k+1, l)=T(k, l)/2+h*p;M=2*M;for j=l:kT (k+1, j+l) = (4 j)*T(k+1, j)-T (k, j)/(4 j-1);endabs0=abs(T(k+1, j+1)-T(k, j);endq 二T(k+l,k+l);n=k;在 command Windows 中 輸 入 命 令 Fx, n二Roberg( sqrt (x)*log(x) ,10 (-8), 1),得出的結(jié)果為: Fx =-0.444387313932947n 二9(3)在MAT

8、LAB的Editor中建立一個(gè)M-文件，輸入程序代碼，實(shí)現(xiàn)龍貝格算法的程序代碼如 下：function ql, Ak, xk=guasslegendre(fun, a, b)% fun：被積函數(shù)% a,b：積分上下限% Ql：積分結(jié)果% Ak：系數(shù)% xk：零點(diǎn)n二 0;fun=(x)sqrt(x) *log(x);eps=l;while eps0. 0001syms xp=sym2poly (diff (x2T)，(n+1), n+1)/ (2 (n+1) *factorial (n+1); tk=roots(p);Ak=zeros(n+1, 1);for i=l:n+lxkt=tk;xkt

9、(i) = ;pn=poly(xkt);fp=(x)polyval (pn, x)/polyval (pn, tk(i);Ak(i)=quadl (fp, -1, 1, 0. 0001);endxk= (b-a)/2*tk+(b+a) /2;fx= (b-a)/2) *fun(xk); ql=sum(Ak. *fx); eps=abs(ql+4/9);n=n+l;endE=eps在 command Windows 中 輸 入 命 令 guasslegendresqrt (x)*log(x) ,10 (-8), 1),得出的結(jié)果為： guasslegendre (/ sqrt (x) *log (x), 10 (-8), 1)E =9.4667e-05 ans =-0. 4445結(jié)論】（結(jié)果）復(fù)合求積法相比普通的求積公式而言精度要高，其中復(fù)合辛普森法求積分精 度比復(fù)合梯形法求積的精度要高，龍貝格求積法使等距節(jié)點(diǎn)求積精度進(jìn)一步提 高。高斯求積公式具有最高代數(shù)精度?！?/p>