Vanderpol系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

1、Vanderpol 系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)摘要：Vanderpol系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)中常用的混沌模型 之一。本論文通過(guò)介紹 Vanderpol 系統(tǒng)的背景，利用 Matlab 軟件中 Simulink 模塊搭建方程進(jìn)行仿真，并且利用 Mutisim 軟件進(jìn)行電路設(shè)計(jì)與模擬，得到了理想的結(jié)果。關(guān)鍵詞： Vanderpol 系統(tǒng)； Matlab 仿真；模擬電路仿真 中圖分類號(hào)： TN702 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1001-828X（2015）008-000-01一、Vanderpol 系統(tǒng)的背景介紹范德坡?tīng)栂到y(tǒng)是一種典型且具有重要意義的自激振蕩 1， 2。它是由范德坡?tīng)栐?1926 年研究電子

2、管振蕩回路時(shí)發(fā)現(xiàn)的， 經(jīng)典 Vanderpol 方程的具體描述如下：（1）可見(jiàn)， 方程只有一個(gè)奇點(diǎn) （0，0），我們將方程線性化， 如下：（2）由上式可以得到：（3）由此，可以分析得到以下幾種情況：（ 1）當(dāng)時(shí)，方程具有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且為負(fù)數(shù)，平衡點(diǎn)（0，0）為穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；（ 2）當(dāng)時(shí)，方程具有兩個(gè)復(fù)數(shù)根，并且實(shí)部為負(fù)，平 衡點(diǎn)（ 0， 0）為穩(wěn)定的焦點(diǎn)；（ 3）當(dāng)時(shí)，方程具有兩個(gè)虛數(shù)根，平衡點(diǎn)是中心；（ 4）當(dāng)時(shí)，方程具有兩個(gè)具有正實(shí)部的復(fù)數(shù)根，平衡 點(diǎn)是不穩(wěn)定的焦點(diǎn)；（ 5）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正實(shí)根，平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定的結(jié) 點(diǎn)。另外，從穩(wěn)定性分析， 可以看出 （0，0）點(diǎn)是不穩(wěn)定點(diǎn)。 當(dāng)位移很小時(shí)

3、，正的阻尼項(xiàng)因?yàn)楹苄。院雎圆挥?jì)。項(xiàng)起 主要作用，負(fù)阻尼因子使得系統(tǒng)的能量增加，偏離原點(diǎn)，位 移變大，由此可以知道，系統(tǒng)在原點(diǎn)不穩(wěn)定。而當(dāng)位移 很 大時(shí)，作為負(fù)阻尼項(xiàng)相對(duì)較小，正的阻尼項(xiàng)起主要作用，正 阻尼使得系統(tǒng)的產(chǎn)生能量耗散， 偏向原點(diǎn)，位移變小。 同時(shí)， 由方程可以看出，系統(tǒng)有且只有原點(diǎn)一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，沒(méi)有別的 奇點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌道被局限在一個(gè)范圍內(nèi)，也就是一條閉合的曲 線，即極限環(huán)型的周期振蕩。二、Vanderpol 方程 Matlab 仿真模型的建立根據(jù)式（ 2）提供的范德坡?tīng)柕睦碚摂?shù)學(xué)模型，利用 Matlab 軟件中的 Simulink 模塊對(duì)范德坡?tīng)栂到y(tǒng)進(jìn)行初步的計(jì) 算機(jī)仿真，仿真模型如

4、圖 1 所示：保守系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的振幅和系統(tǒng)的初值有關(guān)，并且運(yùn)動(dòng)形成 的閉合軌跡是一圈一圈圍繞而成的，而自激振蕩不同于周期運(yùn)動(dòng)，無(wú)論系統(tǒng)的初值如何取值，自激振蕩的運(yùn)動(dòng)軌跡最終 會(huì)趨向于一個(gè)孤立極限圓，也就是極限環(huán)。針對(duì)不同的取值，從相平面圖觀察到：（1）當(dāng) =0.3時(shí)，范德坡?tīng)柕倪\(yùn)動(dòng)軌跡接近于一個(gè)圓， 但不是真正的圓。（2）當(dāng) =1和=8 范德坡?tīng)柕倪\(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)極限環(huán)，明 顯不同于圓。取值越大，極限環(huán)越偏離圓，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)越 偏離簡(jiǎn)諧振動(dòng)。（ 3）當(dāng)?shù)娜≈堤貏e大時(shí)，系統(tǒng)偏離簡(jiǎn)諧振蕩很遠(yuǎn)，形 成張弛振動(dòng)。三、Vanderpol 系統(tǒng)的電路模擬根據(jù)范德坡?tīng)栂到y(tǒng)的 Simulink 仿真框圖 1，建立對(duì)

5、應(yīng)的Multisim 電路仿真模型 3， 4，確定所需要的元器件及其參 數(shù)，得到理想的仿真效果。仿真相圖結(jié)果如圖 3 所示。圖3的仿真結(jié)果與圖2 （b）的范德坡?tīng)栂到y(tǒng)的Simulink仿真相圖進(jìn)行對(duì)比，輸出的相圖一致，表明該模擬電路符合 要求。參考文獻(xiàn)：1許磊，陸明萬(wàn)，曹慶杰 .強(qiáng)迫 Vanderpol 振子的動(dòng)力學(xué)特性J.力學(xué)與實(shí)踐，2003, 25 （1）: 50-53.2馬西奎， 楊梅， 鄒建龍， 等.一種時(shí)延范德波爾電磁系 統(tǒng)中的復(fù)雜行為-分岔與混沌現(xiàn)象J物理學(xué)報(bào)，2006,55( 11): 5648-5655.3 杜軍，王婷婷，陳新來(lái) .基于 Multisim 的蔡氏混沌序 列的仿真研究J通信技術(shù).2010，04 (43): 84-86.4 李清都.混沌系統(tǒng)分析與