Vanderpol系統(tǒng)的電路設(shè)計與實現(xiàn)

1、Vanderpol 系統(tǒng)的電路設(shè)計與實現(xiàn)摘要：Vanderpol系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)中常用的混沌模型 之一。本論文通過介紹 Vanderpol 系統(tǒng)的背景，利用 Matlab 軟件中 Simulink 模塊搭建方程進行仿真，并且利用 Mutisim 軟件進行電路設(shè)計與模擬，得到了理想的結(jié)果。關(guān)鍵詞： Vanderpol 系統(tǒng)； Matlab 仿真；模擬電路仿真 中圖分類號： TN702 文獻標(biāo)識碼： A 文章編號： 1001-828X（2015）008-000-01一、Vanderpol 系統(tǒng)的背景介紹范德坡爾系統(tǒng)是一種典型且具有重要意義的自激振蕩 1， 2。它是由范德坡爾在 1926 年研究電子

2、管振蕩回路時發(fā)現(xiàn)的， 經(jīng)典 Vanderpol 方程的具體描述如下：（1）可見， 方程只有一個奇點 （0，0），我們將方程線性化， 如下：（2）由上式可以得到：（3）由此，可以分析得到以下幾種情況：（ 1）當(dāng)時，方程具有兩個實數(shù)根，且為負數(shù)，平衡點（0，0）為穩(wěn)定的結(jié)點；（ 2）當(dāng)時，方程具有兩個復(fù)數(shù)根，并且實部為負，平 衡點（ 0， 0）為穩(wěn)定的焦點；（ 3）當(dāng)時，方程具有兩個虛數(shù)根，平衡點是中心；（ 4）當(dāng)時，方程具有兩個具有正實部的復(fù)數(shù)根，平衡 點是不穩(wěn)定的焦點；（ 5）當(dāng)時，方程有兩個正實根，平衡點為不穩(wěn)定的結(jié) 點。另外，從穩(wěn)定性分析， 可以看出 （0，0）點是不穩(wěn)定點。 當(dāng)位移很小時

3、，正的阻尼項因為很小，所以忽略不計。項起 主要作用，負阻尼因子使得系統(tǒng)的能量增加，偏離原點，位 移變大，由此可以知道，系統(tǒng)在原點不穩(wěn)定。而當(dāng)位移 很 大時，作為負阻尼項相對較小，正的阻尼項起主要作用，正 阻尼使得系統(tǒng)的產(chǎn)生能量耗散， 偏向原點，位移變小。 同時， 由方程可以看出，系統(tǒng)有且只有原點一個不動點，沒有別的 奇點，運動軌道被局限在一個范圍內(nèi)，也就是一條閉合的曲 線，即極限環(huán)型的周期振蕩。二、Vanderpol 方程 Matlab 仿真模型的建立根據(jù)式（ 2）提供的范德坡爾的理論數(shù)學(xué)模型，利用 Matlab 軟件中的 Simulink 模塊對范德坡爾系統(tǒng)進行初步的計 算機仿真，仿真模型如

4、圖 1 所示：保守系統(tǒng)運動的振幅和系統(tǒng)的初值有關(guān)，并且運動形成 的閉合軌跡是一圈一圈圍繞而成的，而自激振蕩不同于周期運動，無論系統(tǒng)的初值如何取值，自激振蕩的運動軌跡最終 會趨向于一個孤立極限圓，也就是極限環(huán)。針對不同的取值，從相平面圖觀察到：（1）當(dāng) =0.3時，范德坡爾的運動軌跡接近于一個圓， 但不是真正的圓。（2）當(dāng) =1和=8 范德坡爾的運動軌跡是一個極限環(huán)，明 顯不同于圓。取值越大，極限環(huán)越偏離圓，即系統(tǒng)的運動越 偏離簡諧振動。（ 3）當(dāng)?shù)娜≈堤貏e大時，系統(tǒng)偏離簡諧振蕩很遠，形 成張弛振動。三、Vanderpol 系統(tǒng)的電路模擬根據(jù)范德坡爾系統(tǒng)的 Simulink 仿真框圖 1，建立對

5、應(yīng)的Multisim 電路仿真模型 3， 4，確定所需要的元器件及其參 數(shù)，得到理想的仿真效果。仿真相圖結(jié)果如圖 3 所示。圖3的仿真結(jié)果與圖2 （b）的范德坡爾系統(tǒng)的Simulink仿真相圖進行對比，輸出的相圖一致，表明該模擬電路符合 要求。參考文獻：1許磊，陸明萬，曹慶杰 .強迫 Vanderpol 振子的動力學(xué)特性J.力學(xué)與實踐，2003, 25 （1）: 50-53.2馬西奎， 楊梅， 鄒建龍， 等.一種時延范德波爾電磁系 統(tǒng)中的復(fù)雜行為-分岔與混沌現(xiàn)象J物理學(xué)報，2006,55( 11): 5648-5655.3 杜軍，王婷婷，陳新來 .基于 Multisim 的蔡氏混沌序 列的仿真研究J通信技術(shù).2010，04 (43): 84-86.4 李清都.混沌系統(tǒng)分析與