【最新】高中數學-提高 知識梳理

1、圓的方程【考綱要求】1.掌握圓的標準方程的特點，能根據所給有關圓心、半徑的具體條件準確地寫出圓的標準方程，2.能運用圓的標準方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實際問題，并會推導圓的標準方程.3.掌握圓的一般方程的特點，能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑；4.能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程【知識網絡】圓的方程圓的一般方程簡單應用圓的標準方程點與圓的關系【考點梳理】【高清課堂：圓的方程405440 知識要點】考點一：圓的標準方程，其中為圓心，為半徑.要點詮釋：(1)如果圓心在坐標原點，這時，圓的方程就是.有關圖形特征與方程的轉化：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸

2、相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標軸相切時：；過原點：.(2)圓的標準方程圓心為，半徑為，它顯現了圓的幾何特點.(3)標準方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數法.考點二：點和圓的位置關系如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有(1)若點在圓上(2)若點在圓外(3)若點在圓內考點三：圓的一般方程當時，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.要點詮釋：由方程得(1)當時，方程只有實數解.它表示一個點.(2)當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形(3)當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑

3、的圓.考點四：幾種特殊位置的圓的方程條件方程形式標準方程一般方程圓心在原點過原點圓心在x軸上圓心在y軸上圓心在x軸上且過原點圓心在y軸上且過原點與x軸相切與y軸相切要點詮釋：圓的標準方程與一般方程的轉化：標準方程一般方程.【典型例題】類型一：圓的標準方程例1.求滿足下列條件的各圓的方程：(1)圓心在原點，半徑是3；(2)已知圓經過兩點，圓心在軸上，則的方程是 ；(3)經過點，圓心在點【思路點撥】解析：(1)(2)線段的中垂線方程為，與軸的交點即為圓心的坐標，所以半徑為 ，所以圓的方程為.(3)解法一：圓的半徑，圓心在點圓的方程是解法二：圓心在點，故設圓的方程為又點在圓上，所求圓的方程是.總結升

4、華：一般情況下，如果已知圓心或易于求出圓心，可用圓的標準方程來求解，用待定系數法，求出圓心坐標和半徑.舉一反三：【變式1】若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標準方程是（ ）A. B. C. D. 解析：依題意，設圓心坐標為，其中，則有，由此解得，因此所求圓的方程是，選A.類型二：圓的一般方程例2(1)求經過點、,且圓心在直線上的圓的方程；(2)求以、為頂點的三角形的外接圓的方程【思路點撥】選用恰當的方程形式用待定系數法求出，或數形結合，利用圓的垂徑定理：半弦、半徑和弦心距構成的直角三角形解決。解析：(1)方法一：待定系數法設圓心,則有,解得，圓心，半徑, 所求圓的方

5、程為。方法二：數形結合由垂徑定理可知，圓心在線段的垂直平分線上即直線上由得， 圓心，半徑 所求圓的方程為。(2) 方法一：待定系數法設圓的方程為,將三個已知點的坐標代入列方程組解得：，解方程組得：, , ，故圓的方程為，即方法二：數形結合由圖形知：三角形是以為斜邊的直角三角形，故圓心為的中點，直徑，故圓的方程為：?？偨Y升華：在解決求圓的方程這類問題時，應當注意以下幾點：（1）確定圓方程首先明確是標準方程還是一般方程；（2）根據幾何關系（如本例的相切、弦長等）建立方程求得、或、；（3）待定系數法的應用，解答中要盡量減少未知量的個數舉一反三：【變式1】求過直線和圓的交點,且面積最小的圓的方程?！敬?/p>

6、案】：解法一：因為通過兩個交點的動圓中，面積最小的是以此二交點為直徑端點的圓，于是解方程組得交點,以為直徑的圓的方程: 。解法二: (運用曲線系方程)設過直線與圓的交點的圓的方程為, 配方得 要使圓面積最小，必須半徑最小，由于（當且僅當時，最?。?故所求圓的方程是【變式2】根據下列條件分別寫出圓的方程：(1)以A(4，9)、B(6，3)所連線段為直徑；(2)圓過點(0，0)和(1，2)，圓心在直線上；(3)圓過三個點(2，2)，(5，3)，(6，0)；(4)圓過點P(3，2)，圓心在直線，且與交于Q(3，6)；(5)與圓同圓心，且面積等于圓C面積的一半.【思路點撥】1充分利用平面幾何知識(圓的

7、性質)；2選擇適當形式的圓方程.解析：(1)顯然AB中點C(5，6)為圓心. 圓方程為：；(2)設圓心為M(a，b)， 1，又圓過點(0，0)和(1，2)， 2，聯立12解得，所求圓的方程為：；(3)設圓的方程為：，解得： 所求圓方程為：；(4) 圓過點P、Q， 圓心為M(a，b)在PQ的中垂線y=4上， 所求圓方程；(5)圓心為(1，0)，半徑為，由已知，所求圓半徑為所求圓的方程為：.【變式3】方程表示圓，則a的取值范圍是 A或 B C D解析：D解析：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0轉化為，所以若方程表示圓，則有， ， 總結升華：此題考查的為將圓的一般方程轉化為標準方程的能

8、力.類型三：點與圓的位置關系例3.(2015 滑縣校級模擬)如果直線與圓有兩個不同的交點,那么點和圓C的位置關系是( ) A.在圓外 B.在圓上 C.在圓內 D.不能確定【思路點撥】求點與圓之間的距離是關鍵.【答案】A【解析】直線與圓有兩個不同的交點圓心到直線的距離 點在圓C的外部.故選總結升華：判斷點與圓的位置關系就是判斷點到圓心的距離與半徑的大小關系.舉一反三：【變式】(2015 赤峰模擬)如果直線2ax-by+14=0(a0,b0)和函數的圖象恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的內部或圓上，那么的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】當即時函數的圖象恒過定點又直線2

9、ax-by+14=0過定點 ，又定點在圓的內部或圓上，由得 故選C.類型四：與圓有關的軌跡問題【高清課堂：圓的方程405440 典型例題六】例4.已知點，點P是圓上的動點，求線段中點M的軌跡方程.【思路點撥】本題關鍵是找出點M與點P之間的聯系（實際是坐標間的關系）解析：設，則，所以又因為點在圓上，所以即，整理得所以線段中點M的軌跡方程為.例5.已知正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中為坐標原點，設圓是的內接圓（點為圓心）（I）求圓的方程；（II）設圓的方程為，過圓上任意一點分別作圓的兩條切線，切點為，求的最大值和最小值【解析】：（I）解法一：設兩點坐標分別為，由題設知，解得，所以，或，設圓心的

10、坐標為，則，所以圓的方程為解法二：設兩點坐標分別為，由題設知，又因為，可得，即由，可知，故兩點關于軸對稱，所以圓心在軸上設點的坐標為，則點坐標為，于是有，解得，所以圓的方程為（II）設，則在中，由圓的幾何性質得，所以，由此可得則的最大值為，最小值為舉一反三：【變式1】等腰ABC的底邊一個端點B(1，-3)，頂點A(0，6)，求另一個端點C的軌跡方程，并說明軌跡的形狀【思路點撥】可以判斷出C的軌跡以A為圓心，半徑為|AB|的圓.利用直接法求出方程.解析：由題意得|CA|=|AB|，則點C到定點A的距離等于定長|AB|，所以C的軌跡是圓.又，C的軌跡方程為除去點(-1，15)和點(1，-3)，即C的軌跡形狀是以點A(0，6)為圓心，半徑為的圓，其中去除點(-1，15)和點(1，-3).【變式2】如圖，直角三角形ABC的頂點坐標A（-2，0），直角頂點，頂點C在x軸上，點P為線段OA的中點 （1）求BC邊所在直線方程； （2）M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；（3）若動圓N過點P且與圓M內切，求動圓N的圓心N的軌跡方程解析：（1） ，ABBC， ， BC邊所在直線方程為