三角形常見的輔助線

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：1. 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2. 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3. 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.4. 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5. 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將

2、某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答.一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、已知,例2、如圖,例3、如圖,6 / 4應(yīng)用：1、（09崇文二模）以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE, BAD = CAE = 90連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究:AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖 當(dāng) ABC為直角三角形時(shí)，AM與 DE的位置關(guān)系是線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是（2）將圖

3、中的等腰RtABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 二（0二90）后，如圖所示，（1 ）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改 變？并說明理由.二、截長(zhǎng)補(bǔ)短如圖,MBC 中，AB=2AC AD平分 N BAC，且 AD=BD 求證：CDL AC如圖,AC/ BD, EA,EB分別平分/ CAB,/DBA CD過點(diǎn) E ,求證;AB = AC+BD 丄如圖,Ao已知在 L ABC 內(nèi)，.BAC =60 , . C =40 , p,角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形 ABCD中, BO BA,AD= CD, BD平分/ ABC ,求證：ZA EC =1805、如圖在 ABC中, AB AC, /

4、 1 = Z 2, P為 AD上任意一點(diǎn),求證;AB-AC PB-PC應(yīng)用:如閨、ft汕邊形-1BC/J中t AD/iJC點(diǎn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若ZJ 砂+ AH L DEC = 60 S判斷40 + AE與BC的關(guān)系井證明你的結(jié)論.解：BJ1出匚n.CBD,bq分別是.BAC , . ABC的 D三、平移變換例1 ADABC的角平分線,直線MNL AD于A.E為MN上一點(diǎn), ABC周長(zhǎng)記為PA , EBC周長(zhǎng)記為PB .求證PB PA .例2如圖，在厶ABC的邊上取兩點(diǎn) D、E,且BD=CE求證：AB+ACAD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在厶 ABC中，/ B=60A ABC的角平分

5、線 AD,CE相交于點(diǎn) 0,求證：0E=0D2、如圖， ABC中，AD平分/ BACDGL BC且平分 BC, DEAB于 E，DF丄AC于 F.(1)說明BE=CF的理由；(2)如果AB=a，AC=b，求 AE、BE 的長(zhǎng).應(yīng)用:請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以 0P所在直線為對(duì)稱軸的全等1、如圖，OP是/ MON的平分線，三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：如圖，在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60 ，AD、CE分別是/ BAC、/ BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出 FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（1）AC（2）五、旋轉(zhuǎn)例1正方形例2 D為等繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A

6、BCD中當(dāng) 若M勺BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)ABC斜邊ABP勺中點(diǎn)，DML(1)(2)例3如圖，.；ABC是邊長(zhǎng)為 3的等邊三角形,B+DF=EF 求/ EAF的度數(shù).DBC,CA于點(diǎn) E,F。BEFA圖2求四邊形dec啲面積。圖(第題C)是等腰三角形，且.BDC =120，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)600角，使其兩邊分別交 AB于點(diǎn)M交AC點(diǎn)N,連接mn則也AMN的周長(zhǎng)為CF圖CECMAND A如圖，在厶ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立, 請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。應(yīng)用:1、已知四邊形 ABCD 中，AB AD , BC CD

7、 , AB = BC , / ABC =120；, / MBN =60； , / MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD, DC (或它們的延長(zhǎng)線)于 E, F .當(dāng)/ MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AE =CF時(shí)(如圖1),易證AE +CF = EF .當(dāng)/ MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE = CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立， 線段AE, CF , EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.時(shí),）已知:PA= 2 ,PB=4, 以AB及P2、(西城09(1)如圖B當(dāng)/ APB 當(dāng)/ APR變化/且其它條件不變時(shí)，求RD的最次值,及相應(yīng)/為一邊作正方形 ABCD使 P、E MB3、在等邊 AEBC勺兩邊AB、ACC有兩點(diǎn)MDN =60 , BDC =120 ,bd=dc.探究：當(dāng) M、（圖1 ）（圖2）EMI1點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).APB的大小Xn CDM、 N, D 為NN分別在直線(圖3)1_ ABC外一點(diǎn)，且AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及.AMN的周長(zhǎng)Q與等邊 ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之