余姚中學(xué)2014年自主招生

1、浙江省余姚中學(xué)2014年自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷CA . a+b B . -a-b.a-b+2c D . -a+b-2c2有4支隊(duì)伍進(jìn)行4項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽的第一、第二、第三、第四名分別得到 分。每隊(duì)的4項(xiàng)比賽得分之和算作總分， 如果已知各隊(duì)的總分不相同，項(xiàng)比賽的第一名，問總分最少的隊(duì)伍最多得多少分？（5、 3、 2、 1并且其中一隊(duì)獲得了三A . 7B. 8C. 93. 已知a是方程x3 3x-0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則直線A .第一象限B .第二象限C4. 有一種長(zhǎng)方體集裝箱，其內(nèi)空長(zhǎng)為5米，高4.5米，y二ax 1 - a不經(jīng)過(guò)（ .第三象限寬3.4米，5米，橫截面的外圓直徑為 0.8米的圓柱形鋼管，

2、最多能運(yùn)（A . 20 根B. 21 根C. 24 根5. 將5個(gè)相同的球放入位于一排的8個(gè)格子中，每格至多放一個(gè)球,率是（）228）D .第四象限 用這樣的集裝箱運(yùn)長(zhǎng)為）根。D . 25 根3個(gè)空格相連的概A.5285566 .用 x表示不大于x的最大整數(shù),則方程3 D56x2 -2x】-3 = 0的解的個(gè)數(shù)是（A. 17.對(duì)每個(gè)x, y 是 y12, y3.33x 12三個(gè)值中的最小值,2則當(dāng)x變化時(shí),函數(shù)y的最大值是（4877題,2每題5分，共35 分）二、填空題（共1 _8.已知一 b -c = （a b）（c a），且 a豐0,貝U4a9 . G是厶ABC的重心，過(guò) G的直線交 AB

3、于M，交AC于N, 則 BM CNAM AN10. 已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，且滿足 abc,a+b+c=O.那么，c的取值范圍是。a11. 在厶ABC中，AB=AC，且過(guò) ABC某一頂點(diǎn)的直線可將 ABC分成兩個(gè)等腰三角形，則各內(nèi)角的度數(shù)為 。12對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n,關(guān)于x的一元二次方程x2 _（n - 2）x _2n2 =0的兩個(gè)根記an bi(n 2), 則心2-2)血-2)心3-2)-2)+(a2007 -2)( b2007 - 2)513.設(shè)拋物線y =x2 （2a 1）x 2a（a為常數(shù)）的圖象與x軸只有一個(gè)交4則 a18 323a-圖呦圖 2(b)滿足 AE=DF連接CF交

4、BD于則線段DH長(zhǎng)度的最小值是14.如圖，E, F是正方形 ABCD勺邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為 2,三、解答題（本題有 4小題，共60分）15. （10 分）試求實(shí)數(shù) k （ k 工一 1）,使得方程（k2-1）x2-6（3k-1）x 72 = 0的兩根都是正整數(shù)。16.（12分）如圖1,矩形鐵片ABCD的長(zhǎng)為2a,寬為a ;為了要讓鐵片能穿過(guò)直徑為a10的圓孔，需對(duì)鐵片進(jìn)行處理（規(guī)定鐵片與圓孔有接觸時(shí)鐵片不能穿過(guò)圓孔）;（1）如圖2, M、N P、Q分別是AD AB BC CD的中點(diǎn)，若將矩形鐵片的四個(gè)角去掉 ，只余下四邊形MNPQ,則此時(shí)鐵片的形狀是

5、,給出證明，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)鐵片都能穿過(guò)圓孔；（2）如圖3,過(guò)矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BGAD于點(diǎn)E、F（不與端點(diǎn)重合）,沿著這條直線將矩形鐵片切割成兩個(gè)全等的直角梯形鐵片；1 當(dāng)BE=DF=ia時(shí),判斷直角梯形鐵片 EBAF能否穿過(guò)圓孔,并說(shuō)明理由；5 為了能使直角梯形鐵片 EBAF順利穿過(guò)圓孔，請(qǐng)直接寫出線段 BE的長(zhǎng)度的取值范圍AD圖217.（ 14分）喜歡鉆研的小亮對(duì) 75角的三角函數(shù)發(fā)生了興趣，他想：75度雖然不是特殊角，但和特殊角有著密切的關(guān)系，能否通過(guò)特殊角的三角函數(shù)值求75 的正弦值呢？經(jīng)研究，他發(fā)現(xiàn)：sin75 =sin（45 +30 ）=sin45 cos

6、30 +cos45 sin30 ,于是他大膽猜想：sin（ : + : ）=sin cos L：,+cos sin : （ :和 F；為銳角）。將圖 1（ a）等積變形為圖1（ b）可用于勾股定理的證明，現(xiàn)將這兩幅圖分別“壓扁”成圖2（ a）和圖2（ b）。如圖,銳角為:-的直角三角形斜邊為 m，銳角為1的直角三角形斜邊為 n,請(qǐng)你借助圖2（a）和圖2 （b）證明上述結(jié)論能成立。圈 a)11說(shuō)明理由C.GB3BDDC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)等邊 AEF兩邊分別交邊 DC、CBN，試判斷DM的中點(diǎn).求證：菱形 ABCD對(duì)角線CB上移動(dòng).記等邊2. 猜想 AEF的外心3, 當(dāng)厶AEF面積最小時(shí)18. (14分

7、)已知菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為1.Z ADC=60 于占J 八、(1)AC、(2) 猜想驗(yàn)證 拓展運(yùn)用E、F.特殊發(fā)現(xiàn)：如圖 1,若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB BD交點(diǎn)0即為等邊 AEF的外心； 若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC如圖如圖 AEF的外心為點(diǎn)P.P落在哪一直線上，并加以證明；,過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊 DA于點(diǎn)M ,交邊DN是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)模擬答卷班級(jí)姓名學(xué)號(hào)16.、選擇題（每小題5分，共35 分）題號(hào)1234567答案二、填空題（每小題6分，共35分）& 9 . 10_11.12.1314. 三、解答題（第15題10分，第16題12分，第17、18每題14分，共

8、50 分）15.AD圖1圖217.BDB18.參考答案一、選擇題1. C 2. B 3. D 4.B5. A 6. C 7. B二、填空題c 18.2; 9.1;10. -2a ,故沿著與ab垂直的方向無(wú)法穿過(guò)圓孔,10過(guò)點(diǎn)A作EF的平行線RS,故只需計(jì)算直線 RS與EF之間的距離即可,BE 二 AK = 1 a,EK 二 AB5KF 二 AF 一 AK 二 8a,EF5二 a, AF 二 AD - DF 二 9a,589a58 2(a)25vZ AHFhEKF=90，/ AFHhEFKah. AHFA EKF 二EKAFAH EF9、89 a89梯形鐵片不能穿過(guò)圓孔;AHCB E89a，.該

9、直角100 - BE ： 39 _3 89 a或：39 3 89 玄：be :：: 2a17.6464圖 2(b)圖 2(a)如圖2(a)，原來(lái)內(nèi)部的正方形變成了一個(gè)平行四邊形，m, n為相鄰兩邊，其夾角為a+ 3,得它的面積是 mnsin( a+ 3)(其中m、n分別是相鄰兩個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)度).如圖2(b),原來(lái)的兩個(gè)小正方形變成了兩個(gè)矩形，其面積之和是 msin a ncos 3+ mcosansin 3-與上面一樣，圖2(a)與圖2(b)中空白部分的面積相等，所以有 mnsin( a+ 3) = msin a ncos 3+ mcos a nsin 3, 化簡(jiǎn)得 sin( a+ 3 = sin acos 3+ sin acos 318 ( 1)證明：如圖1,連接OE、OF,四邊形ABCD是菱形， ACL BD BD平分/ ADC AD=DC=BC1 / COD/ COB AOD=90 ADOADC = 30 ,又 t E、F 分別為 DC CB 中點(diǎn)，2111.OE 二 CD,OF= BC,AO 二 AD,. OE=OF=OA,二點(diǎn) O 即為 AEF 的外心; 222猜想：外心P一定落在直線DB上.理由如下：如圖2 ,分別連接PE、PA,過(guò)點(diǎn)P分別作PI丄CD于I , PJ丄AD于J , / PIE=/ PJD=90