2019高考數(shù)學(文科)一輪復習 第二單元 函數(shù)的概念與基本性質(zhì)

1、第二單元函數(shù)的概念與基本性質(zhì)考點一 函數(shù)的概念1.(2015 年浙江卷)存在函數(shù) f(x)滿足:對于任意 xr 都有( ).a.f(sin2x)= sinxb.f(sin2x)=x2+xc.f(x2+1)=|x+1|d.f(x2+2x)=|x+1|【解析】選項 a 中,x 分別取 0, ,可得 f(0)對應的值為 0,1,這與函數(shù)的定義矛盾,所以選項 a 錯誤;選項 b 中,x 分別取 0,可得 f(0)對應的值為 0,2+,這與函數(shù)的定義矛盾,所以選項 b 錯誤;選項 c 中,x 分別取 1,-1,可得 f(2)對應的值為 2,0,這與函數(shù)的定義矛盾,所以選項 c 錯誤;選項 d 中,取 f

2、(x)=綜上可知,本題選 d . 【答案】d,則對于任意 xr 都有 f(x2+2x)= =|x+ 1|,所以選項 d 正確.2.(2014 年上海卷)設 f(x)=-若 f(0)是 f(x)的最小值,則 a 的取值范圍為( ).a.-1,2 b.-1,0c.1,2 d.0,2【解析】當 x0 時,f(x)=(x-a)2,f(0)是 f(x)的最小值,a0.當 x 0 時,f(x)=x+ +a2+a,當且僅當 x= 1 時等號成立.要滿足 f(0)是 f(x)的最小值,需 2+af(0)=a2,即 a2-a-20,解得-1a2. a 的取值范圍為0,2.故選 d .【答案】d3.(2015 年

3、全國卷)設函數(shù) f(x)=-則 f(-2)+f(log12)=2( ).a.3 b.6 c.9 d.12【解析】-221 ,f(log12)= = =26.f(-2)+f(log12)=23+6=9.故選 c.【答案】c4.(2016 年江蘇卷)函數(shù) y=-的定義域是.【解析】要使函數(shù)有意義,需 3-2x-x20,即 x2+ 是-3,1.【答案】-3,1考點二 函數(shù)的奇偶性2x-30,得(x-1)(x+3)0,即-3x1,故所求函數(shù)的定義域5.(2014 年全國卷)設函數(shù) f(x),g(x)的定義域都為 r,且 f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是 ( ).ac.f(x)g

4、(x)是偶函數(shù) b.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) d.|f(x)|g(x)是奇函數(shù).|f(x)g(x)|是奇函數(shù)【解析】令 h (x)=f(x)g(x),則 h (-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h (x),h (x)是奇函數(shù),a 錯誤.1 1 1 1令 h (x)=|f(x)|g(x),則 h (-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h (x),h (x)是偶函數(shù),b 錯誤. 2 2 2 2令 h (x)=f(x)|g(x)|,則 h (-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h (x),h (x)是奇函數(shù),c

5、 正確.3 3 3 3令 h (x)=|f(x)g(x)|,則 h (-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=h (x),h (x)是偶函數(shù),d 錯誤. 4 4 4 4【答案】c6.(2015 年廣東卷)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是( ).a.y=b.y=x+c.y=2x+d.y=x+ex【解析】a 選項中的函數(shù)的定義域為 r,因為=,所以該函數(shù)是偶函數(shù).b 選項中的函數(shù)的定義域為x|x0,因為-x-=-,所以該函數(shù)是奇函數(shù).c 選項中的函數(shù)的定義域為 r,因為2-x+-= +2x,所以該函數(shù)是偶函數(shù).d 選項中的函數(shù)的定義域為 r,因為-

6、x+e-x= -x,所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).【答案】d7.(2017 年北京卷)已知函數(shù) f(x)= 3x-,則 f(x)( ).a. 是奇函數(shù),且在 r 上是增函數(shù)b. 是偶函數(shù),且在 r 上是增函數(shù)c. 是奇函數(shù),且在 r 上是減函數(shù)d. 是偶函數(shù),且在 r 上是減函數(shù)【解析】函數(shù) f(x)的定義域為 r,f(-x)=3-x-= -3x=-f(x),函數(shù) f(x)是奇函數(shù).函數(shù) y=函數(shù) y=-在 r 上是減函數(shù),在 r 上是增函數(shù).又y=3x在 r 上是增函數(shù),函數(shù) f(x)=故選 a .【答案】a3x-在 r 上是增函數(shù).8.(2015 年全國卷)若函數(shù) f(x)=xln(x+)為偶

7、函數(shù),則 a= .【解析】f(x)為偶函數(shù),f(-x)-f(x)=0 恒成立,-xln(-x+xlna=0 恒成立,)-xln(x+)= 0 恒成立,lna=0,即 a=1.【答案】1考點三 函數(shù)的單調(diào)性及其綜合應用9.(2017 年全國卷)函數(shù) f(x)在(-,+ )上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若 f(1)=-1,則滿足-1f(x-2)1 的 x 范圍是( ).a.-2,2 b.-1,1 c.0,4 d.1,3【解析】f(x)為奇函數(shù),f(-x)=-f(x).的取值f(1)=-1,f(-1)=-f(1)=1.由-1f(x-2)1,得 f(1)f(x-2)f(-1).又f(x)在(-,+ )上單調(diào)

8、遞減,-1x-21,1x3.故選 d【答案】d.10.(2016 年天津卷)已知 f(x)是定義在 r 上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞增.若實數(shù) a滿足 f(2|a-1|)f(- ),則 a 的取值范圍是.【解析】f(x)是偶函數(shù),且在(-,0)上單調(diào)遞增,f(x)在(0,+ )上單調(diào)遞減,f(-)=f( ),f(2|a-1|)f( ),2|a-1| =,|a-1|,即- a-1,即a 1 的 x 的取值范圍是.【解析】由題意知,可對不等式分 x0,0 三段討論.當 x0 時,原不等式為 x+ 1+x+ - -,當 01,顯然成立.當 x 時,原不等式為 2x+-1,顯然成立.綜上可知

9、,x- .【答案】 -高頻考點:求函數(shù)的定義域、分段函數(shù)求值、利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)不等式、函數(shù)奇偶性的應用. 命題特點:1.求函數(shù)的定義域一般根據(jù)限制條件 ,列出不等式求解,此類問題難度不大.2. 分段函數(shù)的求值需根據(jù)自變量的范圍確定對應的解析式 ,再代入運算,此類問題難度不大.3. 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性往往綜合考查 .解決這類綜合考查問題常利用周期性和奇偶性把所求 的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間內(nèi)的函數(shù)解析式,再利用單調(diào)性分析或求解.2.1函數(shù)的概念及其表示一函數(shù)的概念給定兩個非空數(shù)集 a 和 b ,如果按照某個對應關系 f,使對于集合 a 中的 一個數(shù)x,在集合 b 中都存在 上的 ,

10、記作 f(x)|xa 叫作函數(shù)的確定的數(shù) f(x)與之對應,那么就把對應關系 f 叫作定義在集合 a .此時,x 叫作自變量,集合 a 叫作函數(shù)的 ,集合 .二函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法: 、 、.三分段函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應法則不同,可用幾個式子表示,則這種形式的函數(shù)叫作.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的在括號內(nèi)畫“”,錯誤的畫“”. (1)f(x)= 與 g(x)=x 是同一個函數(shù).左學右考( )(2)f(x)=|x| 與 g(x)=-是同一個函數(shù).( )(3) 函數(shù) f(x)= + 1 的值域是y|y1.(4) 若函數(shù) f(x)的定義域為x|1x 3,則函數(shù) f(2x-1)的定義

11、域為x|1x 3.( )( )知識清單1、 任何 唯一 函數(shù) f:a b ,或 y=f(x),xa 值域2、 解析法 列表法 圖象法3、 分段函數(shù)基礎訓練定義域-【解析】(1)錯誤,因為 f(x)=的定義域是x|x0,而 g(x)=x 的定義域是 r,所以它們的定義域不相同,因此它們不是同一個函數(shù).(2)正確,因為 f(x)=|x|與 g(x)=-的定義域和對應法則完全相同,所以它們是同一個函數(shù).(3)錯誤,因為 x20,所以 x2+33,所以函數(shù) f(x)= + 1 的值域是y|y + 1.(4)錯誤,因為 f(x)的定義域為x|1x 3,所以 12x-1 3,解得 1x 2,故函數(shù) f(2

12、x-1)的定義域 為x|1x 2.【答案】(1) (2) (3) (4)題型一 求函數(shù)的定義域【例 1】(1)y= -log(4-x2)的定義域是( ).2a .(-2,0)(1,2)b.(-2,0(1,2).(-2,0)1,2)d.-2,01,2c(2)若函數(shù) y=f(x)的定義域是1,20,則函數(shù) g(x)=-的定義域是.-【解析】(1)要使函數(shù)有意義,必須有x(-2,0)1,2),故選 c.(2)由已知函數(shù) f(x)的定義域為1,20,可知 1x+ 120,解得 0x19,故函數(shù) f(x+ 1)的定義域為0,19.使函數(shù) g(x)有意義的條件是-解得 0x 1 或 1x 19.【答案】(

13、1)c (2)0,1)(1,19(1)已知函數(shù)的解析式:構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組)求解.(2)抽象函數(shù):若已知函數(shù) f(x)的定義域為a,b,則復合函數(shù) f(g(x)的定義域由 ag(x)b求出;若已知函數(shù) f(g(x)的定義域為a,b,則 f(x)的定義域為 g(x)在 xa,b時的值域.(3)實際問題:既要使構(gòu)建的函數(shù)解析 式有意義,又要考慮實際問題的要求.【變式訓練 1】(1)函數(shù) f(x)= +log(6-x)的定義域是 2.(2)若函數(shù) f(x2+ 1)的定義域為-1,1,則 f(lgx)的定義域為( ).a.-1,1 b.1,2c.10,100 d.0,lg2【解析】(1)要

14、使函數(shù)有意義,應滿足解得-3x1),則 x=-,f(t)= lg ,即 f(x)= lg (x 1). - -(2)設 f(x)=ax2+bx+c(a0),則 f(x)=2ax+b=2x+2,a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c.又方程f(x)=0 有兩個相等的實根,=4-4c=0,得 c=1.故 f(x)=x2+2x+1.【答案】(1)lg (x 1) (2)f(x)=x-2+2x+1求函數(shù)解析式常用的方法有待定系數(shù)法、換元法、配湊法、轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造方程組法.【變式訓練 2】(1)已知 f(+1)=x+2 ,則 f(x)= .(2)已知函數(shù) f(x)的定義域為(0,+ ),且 f(x)=

15、2f -1,則 f(x)= .【解析】(1)設+1=t(t1),則 =t-1,所以 f(t)=(t-1)2+ 2(t-1)=t2-1(t1),所以 f(x)=x2-1(x1).(2)在 f(x)= 2f -1 中,用 代替 x,得 f = 2f(x) -1,將 f = -1 代入 f(x)=2f -1 中,可求得 f(x)= + .【答案】(1)x2-1(x1) (2)+題型三 分段函數(shù)問題【例 3】(1)函數(shù) f(x)=-滿足 f(1)+f(a)= 2,則 a 的所有可能值為( ).-a.1 或-b.-c.1 d.1 或(2)已知 f(x)=-的值域為 r,則 a 的取值范圍是.【解析】(1

16、)f(1)=e1-1=1 且 f(1)+f(a)=2,f(a)=1.當-1a 0 時,f(a)=sin(a2)=1,0a21,0a2,a2= a=-;當 a0 時,f(a)=ea-1= 1 a=1.綜上可得 a=- 或 a=1,故選 a .(2)要使函數(shù) f(x)的值域為 r,應滿足.故 a 的取值范圍是-【答案】(1)a (2)-即-1a,解決分段函數(shù)問題先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間,其次選定相應的解析式,根據(jù)要求求 解.但要注意檢驗所求值(或范圍)是否符合相應段的自變量的取值范圍.【變式訓練 3】(1)已知函數(shù) f(x)=-則 f 的值為().a.-b.-c.d.(2)設函數(shù) f(x)=-

17、若 f = 4,則 b= .【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得 f =f-=f-= sin-=-,故選 b .(2)f = 3 -b= -b,若 -b,則 3 - -b= -4b=4,解得 b=,不滿足條件,舍去;若-b1,即 b ,則-=4,解得 b=,滿足條件.【答案】(1)b (2)方法一 分類討論思想的應用分類討論思想在函數(shù)中應用廣泛,如求分段函數(shù)的函數(shù)值,首先要確定自變量的范圍,然 后通過分類討論求解.【突破訓練 1】已知函數(shù) f(x)=若 f(a)+f(1)= 0,則實數(shù) a 的值為( ).a.-3 b.-1 c.1 d.3【解析】當 a0 時,由 f(a)+f(1)=0 得 2a+

18、2=0,故不存在實數(shù) a滿足條件;當 a0 時,由f(a)+f(1)=0 得 a+1+2=0,解得 a=-3,滿足條件.故選 a.【答案】a方法二 待定系數(shù)法的應用若已知函數(shù)類型求解析式,可用待定系數(shù)法求解,先設出 f(x),然后利用題目中的已知條件, 列出關于待定系數(shù)的方程組,進而求出待定的系數(shù).【突破訓練 2】若二次函數(shù) g(x)滿足 g(1)= 1,g(-1)= 5,且圖象過原點,則 g(x)的解析式為 ( ).a.g(x)=2x2-3xb.g(x)=3x2-2xc.g(x)=3x2+2xd.g(x)=-3x2-2x【解析】設 g(x)=ax2+bx+c(a0),g(1)=1,g(-1)

19、=5,且 g(x)的圖象過原點,-解得g(x)=3x2-2x,故選 b.【答案】b1.(2017 廣西南寧質(zhì)檢)下圖中可作為函數(shù) y=f(x)的圖象的是( ).【解析】選項 d 是“多對一”,而選項 a 、b 、c 均為“一對多”,由函數(shù)的定義知選 d . 【答案】d2.(2014 年江西卷)已知函數(shù) f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(ar).若 f(g(1)=1,則 a=( ).a.1 b.2 c.3 d.-1【解析】g(x)=ax2-x,g(1)=a-1.f(x)=5|x|,f(g(1)=f(a-1)= 5|a-1|=1,|a-1|=0,a=1.【答案】a3.(2017 山東淄博月

20、考)函數(shù) f(x)=的定義域是( ).a.(0,2) b.(0,1)(1,2)c .(0,2 d .(0,1)(1,2【解析】要使函數(shù)有意義,則有即所以 0- 且 x2,故函數(shù) y= lg(3x+ 1)+【答案】且的定義域是且.8.(2017 山東青島一中檢測)奇函數(shù) f(x)在(0,+ )上的表達式為 f(x)=x+ 表達式為 f(x)= .,則在(-,0)上 f(x)的【解析】設 x0,f(-x)=-x+-.又f(x)為奇函數(shù),f(x)=-f(-x)=x- - ,即當x(-,0)時,f(x)=x- - .【答案】x-9.(2017 山東省煙臺市高三上期中)設函數(shù) f(x)=.是-若 f(a

21、)a ,則實數(shù) a 的取值范圍【解析】當 a0 時,f(a)= a-1a,解得 a-2,無解;當 aa綜上可得,a-1.【答案】(-,-1),解得 a1(舍去).10.(2017 四川遂寧零診)設函數(shù) f(x)=-,則 f +f的定義域為( ).a.b.2,4.(1,+ )dc【解析】函數(shù) f(x)=-的定義域為1,+ ),則解得 2x4,故所求函數(shù)的定義域為2,4.【答案】b11.(2017 湖北武漢四月調(diào)考)已知函數(shù) f(x)滿足 f + f(-x)= 2x(x0),則 f(-2)= ( ).a.-b.c.d.-【解析】已知函數(shù) f(x)滿足 f + f(-x)=2x(x0),令 x=2,

22、可得 f + f(-2)=4;令 x=- ,可得 f(-2)-2f =-1. 聯(lián)立可得 f(-2)= . 【答案】c12.(2017 山東煙臺高三上期中)已知函數(shù) f(x)= ( ).a .0,+ ) b .(0,1)lg(1-x)的值域為(-,0),則函數(shù) f(x)的定義域為c.-9,+) d.-9,1)【解析】函數(shù) f(x)=lg(1-x)的值域為(-,0),lg(1-x)0,0 1-x1,解得 0x 1,則函數(shù) f(x)的定義域為(0,1).【答案】b13.(2017 河北衡水武邑中學高三上二調(diào))已知函數(shù) f(x)=且 f(a)=-3,則 f(6-a)等于-( ).a.b.-c.d .-

23、【解析】f(x)=且 f(a)=-3,-當 af(-m ),則實數(shù) m 的取值范【解析】已知函數(shù) f(x)= 0m 0 時,f(m )f(-m ),即為-lnm lnm ,則 lnm 0,解得當 mf(-m ),即為 ln(-m )-ln(-m ),則 ln(-m ) 0,解得 m- 1. 綜上可得,m- 1 或 0m 1.【答案】(-,-1)(0,1)2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值一函數(shù)的單調(diào)性一般地,設函數(shù) f(x)的定義域為 i,如果對于定義域 i 內(nèi)某個區(qū)間 d 上的任意兩個自變量 x ,x ,1 2當 x x 時,都有 ,那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 d 上是增函數(shù);1 2當 x x1 2

24、時,都有 ,那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 d 上是減函數(shù).二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 d 上是或 ,那么就說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,叫作 y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.三函數(shù)的最值設函數(shù) y=f(x)的定義域為 i,如果存在實數(shù) m 滿足:0(1)對于任意的 xi,都有 ;(2)存在 x i,使得.那么,我們稱 m 是函數(shù) y=f(x)的最大(小)值.左學右考1判斷下列結(jié)論是否正確,正確的在括號內(nèi)畫“”,錯誤的畫“”.(1) 若定義在 r 上的函數(shù) f(x),有 f(-1)f(3),則函數(shù) f(x)在 r 上為增函數(shù).(2) 函數(shù) y=f(x)在1,+ )

25、上是增函數(shù) ,則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,+ ).(3) 函數(shù) y= 的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)(0,+ ).(4) 所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.( )( )( )( )2已知函數(shù) f(x)=-,x2,6,則 f(x)的最大值為 ,最小值為.知識清單一、f(x )f(x ) 1 2 1 2二、增函數(shù) 減函數(shù)區(qū)間 d三、(1)f(x)m (或 f(x)m ) (2)f(x )=m0基礎訓練1.【解析】(1)錯誤,不符合函數(shù)單調(diào)性的定義 .(2) 錯誤,函數(shù) y=f(x)在1,+ )上是增函數(shù),只能說明1,+ )屬于單調(diào)遞增區(qū)間.(3) 錯誤,有多個單調(diào)區(qū)間的情況,只能用“,”隔開或?qū)懗伞昂汀?不能寫

26、成并集、“或”的形式. (4)錯誤,如函數(shù) y=x 就沒有最值.【答案】(1) (2) (3) (4)2.【解析】函數(shù) f(x)=-在區(qū)間2,6上單調(diào)遞減,所以 f(x)max=f(2)= =2,f(x) =f(6)= = . min【答案】2題型一 函數(shù)單調(diào)性的證明【例 1】已知函數(shù) f(x)= -ax,其中 a0.證明:當 a1 時,f(x)在區(qū)間0,+ )上為減函數(shù). 【解析】任取 x ,x 0,+ ),且 x x ,1 2 1 2則 f(x )-f(x )= -ax- +ax1 2 1 2= - -a(x -x)1 2=-a(x -x) 1 2= (x -x) - 1 20x ,0x

27、120 0,f(x)在區(qū)間0,+ )上為減函數(shù).1 2利用定義證明函數(shù) f(x)在給定區(qū)間 d 上的單調(diào)性的一般步驟:任取 x ,x d ,且 x 1 時,f(x)1 20,則 f(1)=f(x )-f(x )= 0,故 f(1)= 0.1 1(2)任取 x ,x (0,+ ),且 x x ,則 1 2 1 21.當 x1 時,f(x)0,f 0,即 f(x )-f(x ) 0,因此 f(x )0)在定義域上是減函數(shù),所以要求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,即求函數(shù) t=x2-4 的單調(diào)遞減區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的定義域,可知所求區(qū)間為(-,-2).(2)由題意知,當 x0 時,y=-x2+2x+3=-(x-1

28、)2+4;當 xx 2 11 時,f(x)-f(x)(x -x)ab.acbbd.cba.bac(2)設定義在(0,+ )上的增函數(shù) f(x)對任意的 x(0,+ )都有 f(f(x)-logx)=34,則不等式 f(a2+2a)4 的解集為( ).a.a|a1b.a|a1c.a|-3a1d.a|ax 2 11,f(x )-f(x )(x -x) 0 恒成立, 2 1 2 1知 f(x)在(1,+ )上單調(diào)遞減.因為 1 2 f f(e),所以 bac.(2)設 f(b)= 4,則對任意的 x(0,+ ),有 f(x)-logx=b 恒成立,再將 x=b3得 b= 3,則 f(x)= 3+ l

29、ogx,f(3)= 4.又 f(x)是定義在(0,+ )上的增3,f(b)=4 代入前式,得 logb+b=34,可求函數(shù),所以 f(a2+2a)4 的解集為不等式 a2+2a3 的解集,即為a|a1,故選 a.【答案】(1)d (2)a(1)比較函數(shù)值的大小,應將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)已知函數(shù)單 調(diào)性求參數(shù)范圍的問題是討論單調(diào)性的可逆過程,解法是根據(jù)單調(diào)性的概念得到“恒成立”的不等式,同時 要注意定義域.【變式訓練 3】已知函數(shù) f(x)是定義在區(qū)間0,+ )上的函數(shù),且在該區(qū)間上單調(diào)遞增,則關于 x 的不等式f(2x-1)f的解集是.【解析】由題意知

30、【答案】-解得 xx 1 20,則 f(x )-f(x )= 2(x -x)- 1 2 1 2-= (x -x) 1 2.1x x 1 20,x -x1 20,x x 1 20.f(x )f(x ),f(x)在(0,1上單調(diào)遞增,無最小值,1 2當 x= 1 時,f(x)取得最大值 1,當 x0,且 x 0 時,f(0)-,f(x)的值域為(-,1.(2)若 a0,則 y=f(x)在(0,1上單調(diào)遞增,無最小值,當 x= 1 時,f(x)取得最大值 2-a.-若 a0,則 f(x)= 2x+ ,當 - 1,即 a(-,-2時,y=f(x)在(0,1上單調(diào)遞減,無最大值,當 x= 小值 2-a;

31、1 時,f(x)取得最當 -1,即 a(-2,0)時,y=f(x)在 - 上單調(diào)遞減,在 -上單調(diào)遞增,因此,f(x)無最大值,當 x= -時,f(x)取得最小值 2 -.求值域的常用方法:一是要掌握利用基本初等函數(shù)及它們的復合函數(shù)的性質(zhì)求值域;二是要掌握利用單 調(diào)性求值域;三是要掌握利用導數(shù)法求值域.這是三種最基本的方法 ,此外還有基本不等式法、數(shù)形結(jié)合法等.【變式訓練 4】函數(shù) f(x)=-的最大值為.【解析】當 x1 時,函數(shù) f(x)=為減函數(shù),所以 f(x)在 x= 1 處取得最大值,最大值為 f(1)= 1;當 xf(x )的形式,然后根據(jù)其1 2單調(diào)性脫掉“f”,轉(zhuǎn)化為關于 x

32、與 x 的不等式問題求解.1 2【突破訓練 1】 已知定義在 r 上的函數(shù) f(x)滿足:f(x+y)=f(x)+f(y)+ 1;當 x 0 時,f(x)-1.(1)求 f(0)的值,并證明 f(x)在 r 上是增函數(shù);(2)若 f(1)= 1,解關于 x 的不等式 f(x2+ 【解析】(1)令 x=y=0,得 f(0)=-1.2x)+f(1-x)4.在 r 上任取 x x ,則 x -x1 2 1 20,即 f(x -x)-1. 1 2又 f(x )=f(x -x)+x )=f(x -x)+f(x )+ 1f(x ), 1 1 2 2 1 2 2 2所以 f(x)在 r 上是增函數(shù).(2)由

33、 f(1)= 1,得 f(2)= 3,f(3)= 5.由 f(x2+2x)+f(1-x)4,得 f(x2+x+1)f(3).又函數(shù) f(x)在 r 上是增函數(shù),故 x2+x+13,解得 x 1,故原不等式的解集為x|x 1.方法二 分類討論思想在研究函數(shù)單調(diào)性中的應用使用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍時,常常需要討論,把要研究的問題根據(jù)題目的特點和要求,轉(zhuǎn)化成若干個 小問題來解決,即先按不同情況分類,然后逐一解決.【突破訓練 2】若函數(shù) f(x)=ax2+2x-3 在區(qū)間(-,4)上是單調(diào)遞增的 ,則實數(shù) a的取值范圍是.【解析】當 a=0 時,f(x)=2x-3,它在定義域 r 上是單調(diào)遞增的,故

34、f(x)在(-,4)上單調(diào)遞增;當 a0 時,二次函數(shù) f(x)圖象的對稱軸為直線 x=- ,因為 f(x)在(-,4)上單調(diào)遞增,所以 a0,且-4,解得- a0.綜上所述,實數(shù) a 的取值范圍是 -【答案】 -.1.(遵義四中 2018 屆月考)下列函數(shù)中 ,在定義域內(nèi)單調(diào)且是奇函數(shù)的是( ).a.y=b.y=|lnx|c.y=ln|x|d.y=【解析】a 選項中的函數(shù)在(-,0)和(0,+ )上均為減函數(shù),但在定義域內(nèi)不單調(diào);b 選項中的函數(shù)是非奇 非偶函數(shù);c 選項中的函數(shù)是偶函數(shù);d 選項滿足題意.【答案】d2.(2017 長春質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)=|x+a| a .(-,1 b

35、 .(-,-1在(-,-1)上是單調(diào)函數(shù),則 a的取值范圍是( ).c.-1,+) d.1,+ )【解析】因為函數(shù) f(x)在(-,-1)上是單調(diào)函數(shù),所以-a-1,解得 a1. 【答案】a3.(山東臨沂一中 2018 屆第二次月考 )定義新運算“”:當 ab時,ab=a2;當 ab 時,ab=b2.函數(shù)f(x)=(1x)x-(2x)在區(qū)間-2,2上的最大值為( ).a .-1 b .1 c .6 d .12【解析】由已知得,當-2x1 時,f(x)=x-2;當 1x 2 時,f(x)=x f(x)=x-2,f(x)=x 3-2 在定義域內(nèi)都為增函數(shù),3-2.在區(qū)間-2,2上,f(x)的最大值為 f(2)= 【答案】c23-2=6.4.(2017 衡水調(diào)研)已知函數(shù) f(x)=-若 f(-a)+f(a)2f(1),則 a 的取值范圍是( ).a.-1,0) b.0,1 c.-1,1 d.-2,2【解析】由題意知函數(shù)