初三數(shù)學(xué) 二次函數(shù)與相似三角形的綜合問(wèn)題教案

1、二次函數(shù)與相似三角形的綜合問(wèn)題適用學(xué)科適用區(qū)域初中數(shù)學(xué)全國(guó)通用適用年級(jí)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）初中三年級(jí)120知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)二次函數(shù)綜合；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)；1.熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問(wèn)題2靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問(wèn)題；靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問(wèn)題；教學(xué)過(guò)程一、課堂導(dǎo)入二次函數(shù)的綜合問(wèn)題是中考?jí)狠S題?？碱}型之一，考點(diǎn)分值12分，難度較大。主要考查形式為二次函數(shù)與一些簡(jiǎn)單幾何圖形的點(diǎn)存在性問(wèn)題，既考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，又考查學(xué)生的計(jì)算能力。此類(lèi)問(wèn)題出現(xiàn)后，大多學(xué)生都無(wú)從下手，主要是學(xué)生的綜合能力、解題技巧及實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)不足所致。就本節(jié)二次函數(shù)與

2、相似三角形的點(diǎn)存在性問(wèn)題，主要考查了學(xué)生能否將相似三角形的性質(zhì)與判定融入到二次函數(shù)，在函數(shù)圖像中構(gòu)造相似圖形的能力。二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2=c2）2.勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用有：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知直角三角形的一邊和另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線(xiàn)段平方關(guān)系的問(wèn)題3.逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)：a，b，c，則有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。4.用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三

3、角形應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊為c。（2）驗(yàn)證c2和a2+b2是否具有相等的關(guān)系，若a2+b2=c2，則abc是以c為直角的直角三角形。4acbb而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）對(duì)于y=a（xh）2+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為三、知識(shí)講解考點(diǎn)1二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的三種

4、表達(dá)形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式；頂點(diǎn)式：y=a（xh）2+k，通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸才能求出此解析式；交點(diǎn)式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)x1，x2才能求出此解析式；對(duì)于y=ax2+bx+c22a4a拋物線(xiàn)，因此關(guān)鍵要抓住拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)考點(diǎn)2相似三角形的概念及其性質(zhì)1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。2.性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例；(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線(xiàn)的比,對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似

5、比；(4)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比；(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方.考點(diǎn)3探究三角形相似的一般思路解答三角形相似的存在性問(wèn)題時(shí)，要具備分類(lèi)討論的思想及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出三角形相似的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，一般涉及到動(dòng)態(tài)問(wèn)題要以靜制動(dòng)，動(dòng)中求靜，具體如下：（1）假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論。探究三角形相似時(shí)，往往沒(méi)有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角（尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證明兩個(gè)三角形相似的題目）或涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，因動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中點(diǎn)的位置不確定，此時(shí)應(yīng)考慮不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而分情況討論；（2）確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：在分類(lèi)時(shí)，先要找出分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，看兩個(gè)三角形是否有對(duì)應(yīng)相等的角，若有，找出對(duì)應(yīng)相等的角后，再根據(jù)其他角

6、進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)確定相似三角形成立的條件；若沒(méi)有，則分別按三種角來(lái)分類(lèi)討論；（3）建立關(guān)系式并計(jì)算。由相似三角形列出相應(yīng)的比例式，將比例式中的線(xiàn)段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)（其長(zhǎng)度多借助勾股定理運(yùn)算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過(guò)計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；四、例題精析考點(diǎn)一在函數(shù)中運(yùn)用“sas”判定定理構(gòu)造相似三角形例1直線(xiàn)y=-1x+1分別交x軸、y軸于a、b兩點(diǎn)，aob繞點(diǎn)o按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90后得到cod，拋物線(xiàn)y3ax2bxc經(jīng)過(guò)a、c、d三點(diǎn)(1)寫(xiě)出點(diǎn)a、b、c、d的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過(guò)a、c、d三點(diǎn)的拋物線(xiàn)表達(dá)式，并求拋物線(xiàn)頂點(diǎn)g的坐標(biāo)；(3)在直線(xiàn)bg

7、上是否存在點(diǎn)q，使得以點(diǎn)a、b、q為頂點(diǎn)的三角形與cod相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)yax2bxc經(jīng)過(guò)a(3，0)、c(0，3)、d(1，0)三點(diǎn)，所以解得a-b+c=0.c=3.ba10ba3103333【規(guī)范解答】（1）a(3，0)，b(0，1)，c(0，3)，d(1，0)9a+3b+c=0,a=-1,c=3,b=2,所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為yx22x3(x1)24，頂點(diǎn)g的坐標(biāo)為(1，4)（3）如圖2，直線(xiàn)bg的解析式為y3x1，直線(xiàn)cd的解析式為y3x3，因此cd/bg因?yàn)閳D形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以abcd因此abbg，即abq

8、90因?yàn)辄c(diǎn)q在直線(xiàn)bg上，設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為(x，3x1)，那么bq=x2+(3x)2=10xrtcod的兩條直角邊的比為13，如果rtabq與rtcod相似，存在兩種情況：當(dāng)bq=3時(shí)，10x=3解得x=3所以q(3,10)，q(-3,-8)12當(dāng)bq=1時(shí)，10x=1解得x=1所以q(1,2)，q(-1,0)34【總結(jié)與反思】1圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角2用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式，用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)3第（3）題判斷abq90是解題的前提4abq與cod相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點(diǎn)q與點(diǎn)b的位置關(guān)系分上下兩種情形，點(diǎn)q共有4個(gè)例2

9、如圖，已知點(diǎn)a(-2，4)和點(diǎn)b(1，0)都在拋物線(xiàn)y=mx2+2mx+n上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線(xiàn)，記平移后點(diǎn)a的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為a，點(diǎn)b的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為b，若四邊形aabb為菱形，求平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（3）記平移后拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)ab的交點(diǎn)為c，試在x軸上找一個(gè)點(diǎn)d，使得以點(diǎn)b、c、d為頂點(diǎn)的三角形與abc相似【規(guī)范解答】(1)因?yàn)辄c(diǎn)a(-2，4)和點(diǎn)b(1，0)都在拋物線(xiàn)y=mx2+2mx+n上，所以4m-4m+n=4,m+2m+n=0.解得m=-4，n=43(2)如圖2，由點(diǎn)a(-2，4)和點(diǎn)b(1，0)，可得ab5因?yàn)樗倪呅蝍abb為菱形，所以aabbab5因?yàn)閥=-4x2

10、-8x+4=-4(x+1)2+16，所以原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x1向右平移5個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)為x43333因此平移后的拋物線(xiàn)的解析式為y,=-4(x-4)2+1633圖2(3)由點(diǎn)a(-2，4)和點(diǎn)b(6，0)，可得ab45如圖2，由am/cn，可得bn=bc，即2=bc解得bc=5所以ac=35根據(jù)菱形的性質(zhì)，在abcbmba845與bcd中，baccbd如圖3，當(dāng)ab=bc時(shí)，5=acbd355bd，解得bd=3此時(shí)od3，點(diǎn)d的坐標(biāo)為（3，0）如圖4，當(dāng)ab=bd時(shí)，5=bd，解得bd=5此時(shí)od13，點(diǎn)d的坐標(biāo)為（13，0）acbc355333【總結(jié)與反思】1點(diǎn)a與點(diǎn)b的坐標(biāo)在3個(gè)題目中

11、處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來(lái)計(jì)算平移的距離；第（3）題用來(lái)求點(diǎn)b的坐標(biāo)、ac和bc的長(zhǎng)2拋物線(xiàn)左右平移，變化的是對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口和形狀都不變3探求abc與bcd相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，baccbd，因此按照夾角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況討論考點(diǎn)二運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決二次函數(shù)綜合問(wèn)題例3如圖，已知直線(xiàn)ab：y=kx+2k+4與拋物線(xiàn)y=1x2交于a，b兩點(diǎn)2（1）直線(xiàn)ab總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)c，請(qǐng)直接出點(diǎn)c坐標(biāo)；（2）當(dāng)k=1時(shí)，在直線(xiàn)ab下方的拋物線(xiàn)上求點(diǎn)p，使abp的面積等于5；2（3）若在拋物線(xiàn)上存在定點(diǎn)d使adb=90，求點(diǎn)d到直線(xiàn)ab的最大距離【規(guī)范解答】解：

12、（1）當(dāng)x=2時(shí)，y=（2）k+2k+4=4直線(xiàn)ab：y=kx+2k+4必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（2，4）點(diǎn)c的坐標(biāo)為（2，4）（2）k=，直線(xiàn)的解析式為y=x+3聯(lián)立，解得：或點(diǎn)a的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)b的坐標(biāo)為（2，2）過(guò)點(diǎn)p作pqy軸，交ab于點(diǎn)q，過(guò)點(diǎn)a作ampq，垂足為m，過(guò)點(diǎn)b作bnpq，垂足為n，如圖1所示設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)q的橫坐標(biāo)為ayp=a2，yq=a+3點(diǎn)p在直線(xiàn)ab下方，pq=yqyp=+2a=5a+3a2am+nb=a（3）sapbapqbpqpqam+pqbn=pq（am+bn）=（a+3a2）5=5整理得：a2+a2=0解得：a1=2，a2=1當(dāng)a=2時(shí)，yp=時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)

13、為（2，2）（2）=2此當(dāng)a=1時(shí)，yp=12=此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（1，）符合要求的點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，2）或（1，）（3）過(guò)點(diǎn)d作x軸的平行線(xiàn)ef，作aeef，垂足為e，作bfef，垂足為f，如圖2aeef，bfef，aed=bfd=90adb=90，ade=90bdf=dbfaed=bfd，ade=dbf，aeddfb設(shè)點(diǎn)a、b、d的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，則點(diǎn)a、b、d的縱坐標(biāo)分別為m2、n2、t2ae=yaye=m2t2bf=ybyf=df=xfxd=ntn2t2ed=xdxe=tm，t+t2+4=0=化簡(jiǎn)得：mn+（m+n）點(diǎn)a、b是直線(xiàn)ab：y=kx+2k+4與拋物線(xiàn)y=x2交點(diǎn)，m、

14、n是方程kx+2k+4=x2即x22kx4k8=0兩根m+n=2k，mn=4k84k8+2kt+t2+4=0，即t2+2kt4k4=0即（t2）（t+2k+2）=0t1=2，t2=2k2（舍）定點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2，2）過(guò)點(diǎn)d作x軸的平行線(xiàn)dg，過(guò)點(diǎn)c作cgdg，垂足為g，如圖3所示點(diǎn)c（2，4），點(diǎn)d（2，2），cg=42=2，dg=2（2）=4cgdg，dc=2過(guò)點(diǎn)d作dhab，垂足為h，如圖3所示，dhdcdh2與dc重合即dcab時(shí)，當(dāng)dh點(diǎn)d到直線(xiàn)ab的距離最大，最大值為2點(diǎn)d到直線(xiàn)ab的最大距離為2【總結(jié)與反思】（1）要求定點(diǎn)的坐標(biāo)，只需尋找一個(gè)合適x，使得y的值與k無(wú)關(guān)即可（2）只需

15、聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點(diǎn)a、b的坐標(biāo)設(shè)出點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為a，運(yùn)用割補(bǔ)法用a的代數(shù)式表示apb的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進(jìn)而求出點(diǎn)p的坐標(biāo)（3）設(shè)點(diǎn)a、b、d的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，從條件adb=90出發(fā)，可構(gòu)造k型相似，從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t，從而求出點(diǎn)d的坐標(biāo)由于直線(xiàn)ab上有一個(gè)定點(diǎn)c，容易得到dc長(zhǎng)就是點(diǎn)d到ab的最大距離，只需構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可解決問(wèn)題例4如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c（c0）的頂點(diǎn)為d，與y軸的交點(diǎn)為c，過(guò)點(diǎn)c作cax軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)a，在

16、ac延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)b，使bc=ac，連接oa，ob，bd和ad（1）若點(diǎn)a的坐標(biāo)是（4，4）求b，c的值；試判斷四邊形aobd的形狀，并說(shuō)明理由；（2）是否存在這樣的點(diǎn)a，使得四邊形aobd是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)a的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【規(guī)范解答】（1）acx軸，a點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）點(diǎn)c的坐標(biāo)是（0，4）把a(bǔ)、c代入yx2+bx+c得，得，解得；四邊形aobd是平行四邊形；理由如下：由得拋物線(xiàn)的解析式為yx24x+4，頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2，8），過(guò)d點(diǎn)作deab于點(diǎn)e，則de=oc=4，ae=2，ac=4，bc=ac=2，ae=bcacx軸，aed=bco=90，aedbco，ad=bodae=bco，adbo，四邊形aobd是平行四邊形（2）存在，點(diǎn)a的坐標(biāo)可以是（2，2）或（2，2）要使四邊形aobd是矩形；則需aob=bco=90，abo=obc，aboobc，=，又ab=ac+bc=3bc，ob=bc，在rtobc中，根據(jù)勾股定理可得：oc=bc，ac=oc，c點(diǎn)是拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)，oc=c，a點(diǎn)坐標(biāo)為（c，c），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)=c，b=c，將a點(diǎn)代入可得c=+cc+c，橫坐標(biāo)為，2）或者（2c，縱坐標(biāo)為c即可，令c=2，a點(diǎn)坐標(biāo)可以為（2，2）【總結(jié)與反思】（1