2019年注冊工程師高數(shù)公式.doc

1、一、 空間解析幾何1.垂直和平行a b 的充分必要條件是 a .b =0a/b 的充分必要條件是 b=a兩向量垂直，則上式等于 02.向量的加法、減法以及向量與數(shù)的乘法運算如下：3.直線、平面方程求過兩點 m ( 3 , -2,1)和 m ( -1, 0, 2) 的直線方程。1 2【解 】 取 得所求直線方程為= （- 4 , 2 , 1 ) 為直線的方向向量，由直線的對稱式方程【 解 】直線 l 和 l 的方向向量依次為 s = (1,-4, 1)、s =(2,-2,-1). 1 2 1 2設直線 l 和 l 的夾角為 j 1 2,則所以（1）點法式求過三點 m ( 2 , -1，4)、m

2、（-l , 3 ，-2 ）和 m ( 0 , 2 , 3 ）的平面的方 l 2 3程。由平面的點法式方程，得所求平面方程為（2）截距式設一平面與 x、y、z 軸的交點依次為 p(a,0,0)、q(0,b,0)、r(0,0,c)三點，求平面方程其中 a、b、c 均不為 0，則平面方程為x y z+ + =1a b c如，在方程 ax by cz + d = 0 中，當 d = 0 時，方程表示一個通過原點的 平面；當 a = 0 時，方程表示一個平行于 x 軸的平面；當 a = b = 0 時，方程表示 一個平行于 x oy 的平面。類似地，可得其他情形的結論。4.平面與平面兩平面的法向量的夾角

3、稱為兩平面的夾角（通常指銳角）。設有平面 , : a x+ b y1 l 1 c z + d = 0 和平面 : a x+ b y c z + d = 0，則 和 的夾角由下式 l 1 2 2 2 2 2 1 2確定：由此可得 與 互相垂直相當于 a a +b b +c c =0 1 2 1 2 1 2 1 2 與 平行相當于1 2空間一點 p （ x ，y ， z ）到平面0 0 0 0的距離，有以下公式：5、二次曲面 旋轉曲面 柱面（一）二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。 例如球面：橢球面：橢圓拋物面：雙曲拋物面：單葉雙曲面：雙葉雙曲面：注意：以上方程是二次曲面的標準方程，還應

4、該知道它們的各種變形。（二）旋轉曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面，旋轉曲 線和定直線依次叫做旋轉曲面的母線和軸。例如，頂點在坐標原點 o，旋轉軸為 z 軸， 半頂角為的圓錐面以 x 軸為旋轉軸的旋轉雙曲面已知旋轉曲面的母線 c 的方程為旋轉軸為 z 軸，只要將母線的方程 f ( y ，z）0 中的 y 換成 x2+y2，便得曲線 c 繞 z 軸旋轉所成的旋轉曲面的方程，即同理，可得其他情形的旋轉曲面的方程。（三）柱面平行于定直線并沿定曲線 c 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面，定曲線 c 叫做柱面 的準線，動直線 l 叫做柱面的母線。例如，以 xoy 平面

5、上的圓 x2+y2 r2 為準線，平 行于 z 軸的直線為母線的圓柱面以 xoy 平面上的拋物線 y22x 為準線，平行于 z 軸的直線為母線的拋物柱面在空間直角坐標系中，如果曲面方程 f ( x , y ，z) 0 中，缺少某個變量，那 么該方程一般表示一個柱面。例如，方程 f ( x ，y)0 一般表示一個母線平行于 z 軸 的柱面，方程 g ( x , z ）=0 , h ( y , z ) =0 一般表示一個母線平行于 y 軸，x 軸的柱面。二、 微分學函數(shù)可微分的充分必要條件函數(shù) y = f（x）在點 x 可微分的充分必要條件是 f （ x ）在點 x 可導，且當 f （ x ）0

6、0在點 x 可導時，其微分一定是0函數(shù)的微分是基本微分公式與微分法則1 基本微分公式2 函數(shù)和、差、積、商的微分法則設函數(shù) u = u （ x ）、v v （ x ）均可微，則3 復合函數(shù)的微分法則設 y = f (u ) 、 u =j( x )均可微，則 y = f j( x )也可微，且【 例 】解【 例】解4、中值定理與導數(shù)的應用（一）羅爾中值定理1 若函數(shù) f （ x ）在閉區(qū)間 a ，b上連續(xù)，在開區(qū)間（ a , b ）內可導，且 f （ a ） = f （ b ） ，則至少有一點 （ a， b ） ，使得 f （ ） 0。2 拉格朗日中值定理若函數(shù) f （ x ）在閉區(qū)間 a ，b

7、上連續(xù)，在開區(qū)間（ a , b ）內可導，則至少 有一 點 （ a， b ），使得下式成立5、求未定式的值的方法 ： 羅必達法則0 1 未定式 與 的情形0 0關于 的情形：0設（ 1 ）當 x a （或 x）時， f （x）0 且 f （ x ） 0 ,（ 2 ） 在點 a 的某去心鄰域內（或當x n 時） , f （ x ）及 f （ x ） 都存在且 f （x） 0 ,則若仍屬00型 ，且 f （ x ）、 f （x）滿足上述三個條件，則可繼續(xù)運用羅必塔法則，即對于 型，也有相應的洛比達法則 0【解】 屬 型， 運用羅必塔法則，得 0【 解 】 屬型，運用羅必塔法則，得【 解 】屬 0

8、型，通過變形化為，然后運用羅必塔法則，得2 其他形式的未定式的情形其他尚有 0 、 - 、 00 、 1 、 0 型的未定式，它們均可通過變形化成0 0 或 的情形。如 0 型可變形成 或 ， - 0 1 1型通過通分，00、1 、 0通過 0取對數(shù)變形。（三）函數(shù)性態(tài)的判別1 函數(shù)單調性的判定利用一階導數(shù)的符號判定，如表 1-2-1 所示。2 函數(shù)極值的判定一階導數(shù)為零的點稱為駐點，對于連續(xù)函數(shù)，極值點必定是駐點，駐點不一定是極 值點。3 曲線凹、凸及其拐點的判定連續(xù)曲線 y = f （ x ）上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點。如果 f （x ）0=0,而 f （ x ）在 x 的左右兩

9、側鄰近異號，則點（x ， f （ x ） ）就是一個拐點。0 0 o4 曲線的漸近線若 lim f ( x )x =y ，則曲線 y = f （ x ）有水平漸近線 y = y ; 0 00若 lim f ( x ) x x=,則曲線 y f （ x ） 有鉛直漸近線 x = x ；05.最大值最小值問題設 f （ x ）在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)、除個別點外處處可導且至多在有限個點 處導數(shù)為零，求 f （x）在 a ，b上的最大值與最小值的一般方法：設 f （ x ）在（ a , b ）內的駐點及不可導點為 x ， , x ，則比較1 n的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值?！纠?/p>

10、】 已知函數(shù) y = f （ x ）對一切 x 滿足 xf （ x ） + 3x f （ x ） 2= 1 -l-x，若 f （ x ） = 0 （x0 00 ） ，則（ a ） f （ x ）是 f （ x ）的極大值（ b ）f（ x ）是 f （x）的極小值o o（ c ） （ x , f （x ）是曲線 y= f （ x ）的拐點o 0（ d ） f （x ）不是 f （ x ）的極值，（x , f （ x ） ）也不是曲線 y f0 0 o（ x ）的拐點【 解 】 x x 是 f （ x ）的駐點，又 f （ x ） =0 01x0(1- l-x0)0, 故 f （x ）是 f （

11、 x ）的極小值，應選（ b ）。0【例】 求函數(shù) y = 2 x3+ 3 x2- 12x + 14 在 -3 , 4 上的最大值與最小值。【解】f （ x ）=2x3 + 3x2 12x +14 , f （x ） = 6x 2+6x 12 = 6 （x + 2）（ x -1）。 令 f （x） = 0, 得 x = -2, x = 1.1 2算出 f （ -3 ） = 23, f （ - 2 ） = 34 , f （ 1 ） = 7 , f （4） = 142, 故最 大值為 f （4 ） = 142 ,最小值為 f （1） = 7 ?！纠?若 f （x）在（ a , b ）內滿足 f （

12、 x ） 0 ，則 曲線 y = f （x）在（ a , b ）內是（ a ）單調上升且是凹的 （ b ）單調下降且是凹的（ c ）單調上升且是凹的 （ d ）單調下降且是凸的【 解 】 由 f （x ）0 及函數(shù)單調性的判定法， 知曲線是單調下降的。 又由 f （x） 0 及曲線凹凸性的判定法，知曲線是凹的，故選（ b ）6、函數(shù)的幾個特性( 1 ）函數(shù)的有界性：設函數(shù) f （x）的定義域為 d ，數(shù)集 x d ，若存在正數(shù) m ，使 f ( x) m ，xx,則稱 f（ x ）在 x 上是有界的，如果對于任何正數(shù) m，總存在 x1x,使 f ( x ) 1m，則稱函數(shù) f(x)在 x 上無

13、界。（2）函數(shù)的單調性：設函數(shù) f(x)的定義域為 d，區(qū)間 id,如果對于區(qū)間 i 上任意兩點 x 和 x , ，當 x x 時，恒有 f (x ) f ( x ) ，則稱函數(shù) f （x）在區(qū)間上是單調減少的。l 2( 3 ）函數(shù)的奇偶性：設函數(shù) f（x）的定義域 d 關于原點對稱，如果對于任一 x d ，恒有 f （- x ) = f (x ），則稱 f ( x ) 為偶函數(shù)。如果對于任一 x d ，恒 有 f （- x ) =- f (x ），則稱 f ( x ) 為奇函數(shù)。（4）函數(shù)的周期性：設函數(shù) f （x）的定義域為 d ，如果存在一個不為零的數(shù) l,-+使得對于任一 x d ，有

14、 x 士 l d 且恒有 f （x 士 l）= f ( x ) ，則稱 f ( x ） 是以 l 為周期的周期函數(shù)，這里通常取最小正周期.7、函數(shù) f （ x ）當 x x （或 x 0的左、右極限均存在且相等，即函數(shù)的間斷點）時的極限存在的充分必要條件，是函數(shù)由函數(shù)在一點連續(xù)的定義可知,函數(shù) f （ x ）在一點 x 處連續(xù)的條件是:0（ 1 ） f （ x ）有定義；o（ 2 ） lim f ( x) x x0存在；（ 3 ） lim f ( x) = f ( x )0x x0若上述條件中任何一條不滿足 , 則 f （ x ）在 x 處就不連續(xù)，不連續(xù)的點就稱0函數(shù)的間斷點。間斷點分成以下

15、兩類：第一類間斷點： x 是 f （ x ）的間斷點，但 f （x -0 0）及 f （x + 0）均存在；第二類間斷點：不是第一類的間斷點。 在第一類間斷點中，若 lim f ( x) lim f ( x)x x x x0 0均存在但不相等,則稱這種間斷點為跳躍間斷點；若 f （ x -） , f （ x0o+）均存在而且相等，則稱這種間斷點為可去間斷8、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質設函數(shù) f （ x ）在閉區(qū)間 a ，b上連續(xù)，則（ l ） f （ x ）在 a ，b上有界（有界性定理） ;（ 2 ） f （ x ）在 a ，b上必有最大值和最小值（最大值最小值定理） ; （ 3 ）當 f （

16、a ） f （b） 0 時，具有極值 f（x ,y ），且當 a 0 時， f（x ,y ）為極小值；0 0（2）當 ac-b 2 0 )連續(xù)且為偶函數(shù)，則( 2 ）若 f （x）在- a , a （ a 0 )上連續(xù)且為奇函數(shù)，則5 二重三重積分利用極坐標直角坐標和極坐標的關系是（2）利用直角坐標計算三重積分利用柱面坐標計算三重積分 直角坐標與柱面坐標的關系是利用球面坐標計算三重積分 直角坐標與球面坐標的關系是（1）計算 xyd ds，其中 d 是由拋物線，y2= x 及直線 y = x - 2 所圍成的閉區(qū)域?！?解 】 兩曲線的交點是（ 1，- 1 ）、（ 4 , 2 ）。積分區(qū)域 d

17、（圖 1-3-4 ） 可表成從而（2）計算三重積分xdxdydz，其中 為三個坐標面及平面 x + 2y + z =1 所圍成的閉區(qū)域?！?解 】 積分區(qū)域而于是d6. 四、平面曲線積分格林公式（1）對弧長的曲線積分的概念與性質第一類曲線積分的計算法設 f ( x ，y)在曲線弧 l 上連續(xù)，l 的參數(shù)方程為在a， 上具有一階連續(xù)導數(shù)，且【例】 計算半徑為 r 、中心角為 2a 的圓弧 l 對于它的對稱軸的轉動慣量 i （線 密度 1 ）?！窘狻?取圓弧的圓心為原點，對稱軸為 x 軸，并使圓弧位于 y 軸的右側（圖 1 一 36 ) ，則l 的參數(shù)方程為于是2 第二類曲線積分的計算法設函數(shù) p

18、（x， y ) , q ( x ，y)在有向曲線弧 l 上連續(xù), l 的參數(shù)方程為x =j(t) y =y(t ).當 t 單調地由 a 變到 時，點 m 從起點 a 沿 l 運動到終點 b ， 或 , 上具有一階連續(xù)導數(shù)，j(t ),y(t )在 a ，如果有向曲線 l 由方程 y = y (x ）給出（x： a b ) ，則有定理 設閉區(qū)域 d 由分段光滑的曲線 l 圍成，函數(shù) p（ x ，y）及 q （ x ，y)在 d 上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有其中 l 是 d 的取正向的邊界曲線。上述公式稱格林公式。這一公式揭示了閉區(qū)域 d 上的二重積分與沿閉區(qū)域 d 的正向邊界曲線 l 上的曲線積

19、分之間的聯(lián)系，利用這一聯(lián)系使得兩種積分的計算可以相互轉化。四 無窮級數(shù)1.（ l ）收斂準則：正項級數(shù)收斂的充分必要條件是其部分和有界。（ 2 ）比較審斂法：設un、v 為正項級數(shù)，對某個 n 0 ，當 n n 時， nn =1n =10ucv （ c 0 為常數(shù)）。若 n nv 收斂，則 nun收斂；若un發(fā)散，則vnn =1n =1n =1n =1發(fā)散。u比較審斂法的極限形式：若 lim nn vnl（vn0 ) ，則當 0 l 十 時， un =1n和n =1v 同時收斂或同時發(fā)散。 n（ 3 ）比值審斂法：設 un =1n為正項級數(shù)，若limnun +1un= l ，則當 l 1 或

20、l = + 發(fā)散。時，級數(shù)發(fā)散；當 l = 1 時，級數(shù)可能收斂也可能（ 4) 根值審斂法：設un為正項級數(shù)，若limnnun= l,則當 l 1 或 l = +n =1 時，級數(shù)發(fā)散；當 l = 1 時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散（5）若級數(shù)un為任意項級數(shù)，而級數(shù)un收斂，則稱級數(shù)un絕對收斂；n =1n =1n =1若un收斂，而un發(fā)散，則稱級數(shù)un條件收斂。n =1n =1n =1（ 6 ）萊布尼茲判別法：若交錯級數(shù)n =1（- l ） n u （ u 0 ）滿足： 1 ）u n n nun+1（n 1 , 2 ） ; 2 ）limnu = 0 ，則級數(shù) n（- 1 ）nu 收斂，且有余

21、 nn =1項 rnun+1（n 1 , 2, ）（ 7 ）若任意項級數(shù)un絕對收斂，則該級數(shù)收斂。n =1（ 8 ）設n =1un為任意項級數(shù)，若limnun +1un= l （或limnnun l ） ，則當l 1 或 l = + 時，級數(shù)發(fā)散；當 l = 1 時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。【 例】 判別級數(shù)n =1sin1n的收斂性。【解】 級數(shù)n =1sin1n為正項級數(shù)，因為而級數(shù)n =11n發(fā)散（p-級數(shù)，p=1 的情形，根據(jù)比較審斂法的極限形式知此級數(shù)發(fā)散 .【 例】 判別級數(shù)的收斂性。【 解 】 所給級數(shù)為正項級數(shù)，因為根據(jù)比值審斂法知所給級數(shù)發(fā)散?！?例】 判別級數(shù)n =11n

22、n的收斂性?！?解 】所給級數(shù)為正項級數(shù)，因為根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂。注意對正項級數(shù)來說，部分和數(shù)列有界是級數(shù)收斂的充分必要條件，而對一般的非 正項級數(shù)來說，部分和數(shù)列有界僅是級數(shù)收斂的必要條件，而不是充分條件。 【 例】級數(shù)的收斂性是（ a ）發(fā)散 （ b ）條件收斂 （ c ）絕對收斂 （ d ）無法判定【 解 】 按萊布尼茲判別法知，級數(shù)收斂；級數(shù)n =111n 2是 p -級數(shù) p =12的情形，p 1 ，故級數(shù)發(fā)散，因此應選（ b ）。 2 冪級數(shù)的收斂半徑及其求法若冪級數(shù)axnn在某些點收斂，在某些點發(fā)散，則必存在唯一的正數(shù) r ，使當n =0x r時，級數(shù)發(fā)散。這個 r 稱

23、為冪級數(shù)的收斂半徑；若冪級數(shù)只在 x = 0 處收斂，則規(guī)定收斂半徑 r = 0 ；若冪級數(shù)對一切 x 都收斂， 則規(guī)定收斂半徑 r =+對冪級數(shù) a xnn =0n若則它的收斂半徑3 冪級數(shù)的性質若冪級數(shù)a xnn的收斂半徑為 r ，則稱開區(qū)間（- r , r ）為冪級數(shù)的收斂區(qū)間，n =0根據(jù)冪級數(shù)在 x r 處的收斂情況，可以決定冪級數(shù)的收斂域（即收斂點的全 體）是四個區(qū)間：（- r , r ）、- r , r ）、（- r , r 、- r , r 之一。冪級數(shù)具有以下性質：（ l ）冪級數(shù)a xnn的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)；n =0（ 2 ）冪級數(shù)a xnn的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內可導

24、，且有逐項求導、逐項積分公n =0式逐項求導、逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。 4.泰勒級數(shù)(1 )泰勒級數(shù)的概念若 f （ x ）在點 x 處具有各階導數(shù)，則冪級數(shù)0n =01n!f ( n ) ( x )( x -x ) 0 0n稱為函數(shù) f（ x ）在點 x 處的泰勒級數(shù)，特別當 x = 0 時，級數(shù)0 0n =01n!f ( n ) (0)( x )n稱為函數(shù) f（ a ）的麥克勞林級數(shù)。(2 )函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的條件-n設函數(shù) f （x）在點 x 的某鄰域 u （ x ）內具有各階導數(shù)，則 f （ x）在該鄰0 0域內能展開成泰勒級數(shù)（即 f （ x ）的泰勒級數(shù)

25、收斂于 f （ x ）本身）的充分必要 條件是 f （ x ） 的泰勒公式中的余項（其中x=x +q(x -x ),0 q1 0 0）(3) 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式【例】 冪級數(shù)的收斂域是（ a ） （- 1 ,l ）（ b ）（- l , 1 ）（ c ） （- l , l ） （ d ） （- l , 1 【 解 】 易知級數(shù)收斂半徑 r = l ，當 x - 1 時，級數(shù)1收斂，故應選（ d ）。時，級數(shù) ( -1)n -1nn =1n =1 1 ，當 x = 1（ a ）條件收斂 （ b ）絕對收斂 （ c ）發(fā)散 （ d ）收斂性不能確定【 解 】 由a ( x -1)n n的結構知

26、其收斂區(qū)間的中心為 x = 1，已知 x = -1 為此n =1級數(shù)的一個收斂點，設其收斂半徑為 r ，則 r ( -1) -1 =2，而 x = 2 與收斂區(qū)間中心 x 1 的距離為 1 , 1 r ，由冪級數(shù)的收斂性（阿貝爾定理）知，此級數(shù)在 x = 2 處絕對收斂，故應選（ b ）?！?例】將函數(shù)【 解 】 因為1x展開成（x 3 ）的冪級數(shù)。而因此5、傅立葉級數(shù)1 傅立葉系數(shù)和傅立葉級數(shù)設 f （ x ）是周期為 2 的周期函數(shù)，則下面公式中出現(xiàn)的積分都存在，則系數(shù) a ，a , ,b 叫做函數(shù) f （ x ）的傅立葉系數(shù)，級數(shù)0 1 l叫做函數(shù) f （ x ）的傅立葉級數(shù)。2 狄利克

27、雷收斂定理設 f （ x ）是周期為 2 的周期函數(shù)，如果它滿足條件：（1） 在一個周期內連續(xù)，或只有有限個第一類間斷點；（2） 在一個周期內至多只有有限個極值點，則 f （ x ）的傅立葉級數(shù)收斂， 且當 x 是 f （ x ）的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于 f（ x ） ；當 x 是 f（ x ）的間斷點1時，級數(shù)收斂于 f ( x +) + f ( x -)2（二）正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1 正弦級數(shù)若 f （ x ）是周期為 2 的奇函數(shù)，則它的傅立葉系數(shù)為它的傅立葉級數(shù)是只含有正弦項的正弦級數(shù)2 余弦級數(shù)若 f （ x ）是周期為 2 的偶函數(shù)，則它的傅立葉系數(shù)為它的傅立葉級數(shù)是只含有常數(shù)項和余弦

28、項的余弦級數(shù)（三）周期為 2l 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)設 f （ x ）是周期為 2l 的周期函數(shù)，則它的傅立葉系數(shù)為而它的傅立葉級數(shù)為（四）例題【 例 1 - 4 14 】 設 f（ x ）是周期為 2 的周期函數(shù)，它在 - ， ）， 上的表達式為問 f （ x ）的傅立葉級數(shù)在 x - 處收斂于何值?！?解】所給函數(shù)滿足狄利克雷收斂定理的條件，x - 是函數(shù)的間斷點，按收斂 定理它的傅立葉級數(shù)在 x - 處收斂于【 例 1- 4 15】 將函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)?！?解 】 將函數(shù) f ( x) =p2 -x 2在 -p,p外作周期延拓，注意到 f （ x ）是偶函數(shù)，故由于 f 在區(qū)間-

29、， 滿足收斂定理的條件，在 - ， 上連續(xù)，且 f （ ） = f -（ ），因此在區(qū)間- ， 上，有第五節(jié) 微分方程1.微分方程的解、通解微分方程的解是一個函數(shù)，把這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式。確切地 說，對于 n 階微分方程那么函數(shù) y =j( x )就稱為微分方程（ 1 - 5 - l ）在區(qū)間 i 上的解。如果二元代數(shù)方程 f( x , y) =0稱為該微分方程的隱式解。所確定的隱函數(shù)是某微分方程的解，那么 f( x, y ) =0含有 n 個獨立的任意常數(shù)的微分方程的解，稱為 n 階微分方程的通解。2.初始條件與特解能用來確定通解中的任意常數(shù)的條件稱為初始條件。通常一階微分

30、方程的初始條件為 y |x =x0=y0；二階微分方程的初始條件為 y |x =x0=y ， y0|x =x0=y0。通解中的任意常數(shù)全都確定后，就得到一個確定的解，稱為微分方程的特解?！?例】驗證函數(shù) y =c e1-x+c e22 x是微分方程 y-y-2y =0的通解?！?證 】代入方程有所 給 方 程 是 二 階 的 ， 所 給 函 數(shù) 中 恰 好 含 c 、 c 兩 個 任 意 常 數(shù) ， 且 因l 2e 2 x / e -x =e 3 x 常數(shù)，故這兩個任意常數(shù)不能合并成一個，即它們是相互獨立的，因此所給函數(shù)是所給方程的通解。二、可分離變量的方程一階微分方程稱為可分離變量的方程。把

31、式中的 y 和 dy 歸入方程的一端， x 和 dx 歸入另一端， 成為這一步驟稱為分離變量。分離變量后，兩端可分別積分設 g （y）、 f （ x ）的原函數(shù)依次為 g （y）與 f（x），即得方程（ 1-5 - 2 ）的 通解【 例】xoy 平面上一條曲線通過點（ 2, 3 ） ，它在兩坐標軸間的任一切線段均 被切點所平分，求它的方程。【 解 】 設曲線上任一點為（ x ，y），依題意，曲線在點（x，y）的切線在兩坐標軸上的截距應為 2x 及 2y , （圖 1-5-1 ） ，切線斜率為初始條件為 x 2 時 y = 3 。分離變量得積分得dydx，因此有以初始條件代入得 c = 6 ，故所求曲線方程為13.齊次方程4、一階線性方程方程 （1-53）稱為一階線性方程。當 q ( x ) 0時，式（ 1 - 53 ）稱為線性齊次方程；當 q (