不等式與線性規(guī)劃含答案.

1、不等式與線性規(guī)劃考情解讀 (1)在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的 解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題基本不等式主要考查求最值問題，線性規(guī)劃主要考查直 接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問題(2)多與集合、函數(shù)等知識交匯命題，以填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題1四類不等式的解法(1) 一元二次不等式的解法先化為一般形式 ax2bxc0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程 ax2bxc0(a 0)的根， 最后 根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與 x 軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(2) 簡單分式不等式的解法變形? gfxx0(0(1時， af(x)ag(x)? f(x)g(

2、x)；當(dāng) 0aag(x)? f(x)1 時， logaf(x)logag(x)? f(x)g(x)且 f( x)0 ， g(x )0；當(dāng) 0alog ag(x)? f(x)0，g(x)0. 2五個重要不等式2(1) |a|0，a20(aR)(2) a2b22ab(a、bR)(3) a2 b ab(a0，b0) a b 2(5)(4) ab ( 2 )2(a，b R) a b2ab2 abab(a0，b0)3二元一次不等式 (組 )和簡單的線性規(guī)劃 (1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等 (2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可行域；根據(jù)線性目標(biāo)函

3、數(shù)的幾何 意義確定最優(yōu)解；求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值4兩個常用結(jié)論a0，(1) ax2 bx c0( a 0)恒成立的條件是 0.a0，(2) ax2bxc0(a0)恒成立的條件是0.熱點一 一元二次不等式的解法1x例 1 (1)(2013 安徽 )已知一元二次不等式 f(x)0 的解集為 x|x2 ，則 f(10x)0 的解集 為(2)已知函數(shù) f(x)(x2)(axb)為偶函數(shù)，且在 (0， )單調(diào)遞增，則 f(2x)0 的解集為思維啟迪 (1)利用換元思想，設(shè) 10xt，先解 f(t)0.(2) 利用 f(x)是偶函數(shù)求 b，再解 f(2x)0. 答案 (1) x|xlg 2 (2)

4、 x|x41解析 (1) 由已知條件 010x2，解得 x0.f(2 x)0 即 ax(x 4)0 ，解得 x4.思維升華 二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是高考的熱點，“ 三個二次 ”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法(1)不等式 x10的解集為 2x1(2)已知 p：? x0R，mx2010，q：? xR，x2mx10.若 pq 為真命題，則實數(shù) m 的 取值范圍是 1答案 (1)(2，1 (2)( 2,0)1解析 (1)原不等式等價于 (x1)(2x1)0 或 x10，即 2x1或 x 1，所以不等式的解集1為 (2， 12(2)p q 為真命題，等價于 p，q 均為真

5、命題命題 p 為真時， m0；命題 q 為真時， m2 40，解得 2m2.故 p q 為真時， 2m0，且 m3 n4 1.所以 mn 的最大值為 3.22(2)2x2(xa) 2ax axa 2 2 xa x2a2a 42a，3由題意可知 4 2a7，得 a2，即實數(shù) a 的最小值為 32.熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題例 3 (2013 湖北)某旅行社租用 A、B兩種型號的客車安排 900名客人旅行， A、B 兩種車輛的載客量分別為 36 人和 60人，租金分別為 1 600元/輛和 2 400 元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過 21 輛，且 B 型車不多于 A 型車 7 輛，則租金最少為

6、元思維啟迪 通過設(shè)變量將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題答案 36 800解析 設(shè)租 A型車 x輛，B 型車 y輛時，租金為 z元，y 滿足 y x 7則 z1 600x 2 400y，且 x，xy21 36x60y900，x，y 0，x，yN畫出可行域如圖，2z直線 y32x2 4z00過點A(5,12)時縱截距最小，所以 zmin51 6002 4001236 800，故租金最少為 36 800 元思維升華 (1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo) 函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍 (2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所 表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合

7、找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解(3)對于應(yīng)用問題，要準(zhǔn)確地設(shè)出變量，確定可行域和目標(biāo)函數(shù)x0，(1)已知實數(shù) x，y 滿足約束條件 4x3y4 ，則 wyx 1的最小值是 xy02xy 10 ，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點 P(x0， y0)，(2)(2013 北京)設(shè)關(guān)于 x，y 的不等式組 xm0滿足 x02y02，求得 m 的取值范圍是 答案(1)1 (2) ， 23解析 (1) 畫出可行域，如圖所示wy 1y 1 表示可行域內(nèi)的點x為10(x，y)與定點 P(0， 1)連線的斜率，觀察圖形可知PA 的斜率最小(2)當(dāng) m 0 時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點 P(

8、x0， y0)滿足 x0 2y0 2，因此 m0. 如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域1要使可行域內(nèi)包含 y12x1 上的點，只需可行域邊界點1 1 2(m，m)在直線 y2x1 的下方即可，即 m 2m 1，解得 m3.1幾類不等式的解法 一元二次不等式解集的端點值是相應(yīng)一元二次方程的根， 也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與 x 軸交點 的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式（組 ）來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化2基本不等式的作用 二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能， 常常用于比較數(shù) （式 ）的大小或證明不等式

9、或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題解決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入 點，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過“代換” 、“拆項”、“湊項”等技巧，改變原式的 結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相 等”的條件，三個條件缺一不可3線性規(guī)劃問題的基本步驟（1）定域 畫出不等式 （組）所表示的平面區(qū)域， 注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對 應(yīng)；（2）平移 畫出目標(biāo)函數(shù)等于 0時所表示的直線 l，平行移動直線， 讓其與平面區(qū)域有公共點， 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標(biāo)

10、函數(shù)的幾何意義；（3）求值 利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值 . 真題感悟1（2014 山東改編 ）已知實數(shù) x，y滿足 axay（0ay21 1； ln（x21）ln（y21）； sin xsin y; x3y3.答案 1解析 因為 0a1，axy.采用賦值法判斷，中，當(dāng) x 1，y 0 時， 211 ，不成 立中，當(dāng) x0，y1時，ln 10，數(shù)形結(jié)合知，滿足12a14，1a433 即可，解得 1a2.所以 a 的取值范圍是 1a2.押題精練1為了迎接 2015 年 3 月 8 日的到來，某商場舉行了促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品的銷售量 P 萬 2件（生產(chǎn)量與銷售

11、量相等 ）與促銷費用 x 萬元滿足 P3 2 ，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本 （10x 12P）萬元（不含促銷費用 ），產(chǎn)品的銷售價格定為 （4 P ）萬元/萬件，則促銷費用投入 2（10P2P）萬元，所以 y 2萬元時，廠家的利潤最大？ 答案 1解析 設(shè)該產(chǎn)品的利潤為 y 萬元，由題意知，該產(chǎn)品售價為（102P）P102P x 16 4 x（x0）， 所以 y17 （ 4 x1）17 Px1x 124 x1 13（當(dāng)且僅當(dāng) 4 x1，即 x 1時取等號 ），所以促銷費用投入 1 萬元時，廠家的利潤最大3xy0，2若點 P（x，y）滿足線性約束條件x 3y20， 點 A（3， 3），O 為坐標(biāo)原

12、點， 則OAOPy0，的最大值為 答案 6解析 由題意，知 OA （3， 3），OP（x，y），則 OAOP3x 3y.令 z 3x 3y， 如圖畫出不等式組所表示的可行域，可知當(dāng)直線 y 3x 33 z 經(jīng)過點 B 時， z 取得最大值3x y 0 ，x 1 ，由 解得即 B（1， 3），故 z 的最大值為 31 3 36.x 3y 20，y 3，即 OAOP的最大值為 6.113如果關(guān)于 x的不等式 f（x）0和 g（x）0 的解集分別為 （a，b），（b，a），那么稱這兩個不等式為 “對偶不等式” ，如果不等式 x24 3xcos 220 與不等式 2x24xsin 210為“對偶不等

13、式”，且 （2， ，）則 .答案 56解析 由題意可知 ab 2，a b 4 3cos 2，11 2sin 2 ，baa b即a b 2sin 2，ab 2 3cos 2 2sin 2 ， tan 2 3. （2，）5 5 2（ ，2，）2 . .36（推薦時間： 50 分鐘 ）一、填空題 x 1 ， x0 ，1函數(shù) f（x）則不等式 x （x 1）f（x1）1 的解集是 x1， x 0 ，答案 x|x 21解析 當(dāng) x1 時，原不等式可化為x （x 1） （x）1，解得 x2 1恒成立，所以 xlg x（x0）；1 sin x 2（xk， k Z）；sin x x212|x|（xR）； 21

14、 1（xR）x 1答案 解析 應(yīng)用基本不等式： x， y0， x2 y xy（當(dāng)且僅當(dāng) xy 時取等號 ） 逐個分析，注意基本不 等式的應(yīng)用條件及取等號的條件2 1 1當(dāng) x0 時， x2 4 2x2 x，所以 lg x2 14 lg x（x0），故不正確； 運用基本不等式時需保證 “ 一正、二定、三相等 ”， 而當(dāng) xk，kZ 時，sin x的正負(fù)不定，故不正確； 由基本不等式可知，正確；1當(dāng) x 0 時，有 21 1，故不正確x 13 （2013 重慶改編 ）關(guān)于 x 的不等式 x22ax 8a20）的解集為 （x1，x2），且 x2x115，則a .答案 52解析 由 x22ax8a20

15、，得 （x2a）（x4a）0，所以不等式的解集為 （2a,4a），即5x24a，x1 2a，由 x2 x1 15，得 4a（2a）15，解得 a2.4 （2014 重慶改編 ）若 log4（3a4b）log2 ab，則 ab 的最小值是 答案 7 4 3ab0，a0，解析 由題意得 ab 0，所以 ，b0.3a 4b0，又 log 4（3a 4b） log 2 ab， 所以 log4（3a4b） log4ab， 所以 3a4bab，故 431.ab所以 ab（ab）（4a3b）73ba4ab72 3ba4ab 74 3，當(dāng)且僅當(dāng) 3a 4b時取等號 bax y 50，5已知 變量 x，y 滿足

16、約束條件 x2y10， 則 z x2y1 的最大 值為x 1 0答案 8xy5 0，解析 約束條件 x2y 10， 所表示的區(qū)域如圖，x10由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過 A(1,4)時取得最大值，故 z x 2y 1的最大值為 124 18.6已知 f(x)是 R 上的減函數(shù)， A(3，1)，B(0,1)是其圖象上兩點，則不等式 |f(1ln x)|1 的解 集是 答案 （1，e2） e解析 |f（1 ln x）|1， 1f（1 ln x）1， f（3） f（1 ln x）f（0），又 f（x）在R 上為減函數(shù)， 01 ln x3， 1ln x2， 12 x0，則 m n的最小值為 答案 32 2解

17、析 點 A（1,1）在直線 2mxny20 上， 2m n 2，又 mn0， m0 且 n0.1 2m n12（22nmmn1）m1n1（m11n）2m2nm n m n 21 2m n 312（3 2 2nmmn）23 2，當(dāng)且僅當(dāng) 2mn，即 n 2m 時取等號， nm1 13 1 1的最小值為 3 2.m n2二、解答題219設(shè)集合 A 為函數(shù) yln（x22x8）的定義域，集合 B 為函數(shù) yxx1的值域，集合 C 1為不等式 （axa1）（x 4）0 的解集（1）求 A B；（2） 若 C? ?RA，求 a 的取值范圍解 （1）由 x2 2x80，得 4x0，即 x1時， y211，

18、此時 x0，符合要求；當(dāng) x10，即 x0 時，C x| 4xa2 ，不可能 C? ?R A；當(dāng) a0 時，C x|x 4或 xa2，若 C? ?RA，則 a122，a221， 22 a0.故 a 的取值范圍為 22，0)110已知函數(shù) f(x)3ax3bx2(2b)x1 在 xx1 處取得極大值，在 x x2處取得極小值， 0x11x20；(2)若 za2b，求 z 的取值范圍(1) 證明 求函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù) f(x)ax22bx 2b.由函數(shù) f(x)在 xx1 處取得極大值， 在 xx2 處取得極小值， 知 x1，x2是 f (x) 0 的兩個根， 所以 f (x) a(xx1)(xx2)當(dāng) x0 ， 由 x x10，x