2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第十一章 立體幾何初步 11.2 平面的基本事實(shí)與推論學(xué)案 新人教B版必修第四冊(cè)

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第十一章 立體幾何初步 11.2 平面的基本事實(shí)與推論學(xué)案 新人教b版必修第四冊(cè)2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第十一章 立體幾何初步 11.2 平面的基本事實(shí)與推論學(xué)案 新人教b版必修第四冊(cè)年級(jí)：姓名：11.2平面的基本事實(shí)與推論必備知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.平面的基本事實(shí)(1)基本事實(shí)1的作用是什么?提示:基本事實(shí)1的作用是揭示確定平面的條件.(2)基本事實(shí)2的作用是什么?提示:基本事實(shí)2的作用是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù).2.平面基本事實(shí)的推論推論1:經(jīng)過一條直線與直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只

2、有一個(gè)平面.三個(gè)推論與基本事實(shí)1是一回事,對(duì)嗎?提示:三個(gè)推論與基本事實(shí)1是一回事,這三個(gè)推論都可以轉(zhuǎn)化成經(jīng)過不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面的基本事實(shí).1.辨析記憶(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1)幾何里的平面是有厚度的,有邊界的.()(2)若線段ab在平面內(nèi),則直線ab在平面內(nèi).()(3)平面與平面相交,它們只有有限個(gè)公共點(diǎn).()(4)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合.()提示:(1). 幾何里的平面是沒有厚度,無限延展而沒有邊界的.(2).直線ab在平面內(nèi),因?yàn)榫€段ab在平面內(nèi),所以線段ab上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi),故線段ab上a,b兩點(diǎn)一定在平面內(nèi),由公理1可知直線ab在平面

3、內(nèi).(3). 平面與平面相交,它們有無限個(gè)公共點(diǎn),這些點(diǎn)都在同一條直線上.(4).如三點(diǎn)共線,這兩個(gè)平面有可能相交,也可能重合,所以該命題錯(cuò)誤.2.能確定一個(gè)平面的條件是()a.空間三個(gè)點(diǎn)b.一個(gè)點(diǎn)和一條直線c.無數(shù)個(gè)點(diǎn)d.兩條相交直線【解析】選d.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面,a,b,c中的條件不能保證有不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn),故不正確.3.(教材二次開發(fā):例題改編)在棱長(zhǎng)為1的正方體abcd-a1b1c1d1中,m是bb1的中點(diǎn),直線d1m與平面abcd交于點(diǎn)n,則線段an的長(zhǎng)度為_.【解析】連接bd,在正方體abcd-a1b1c1d1中,bb1=dd1,bb1dd1,dd1b

4、d,所以四邊形bb1d1d為矩形,bd,d1m相交,其交點(diǎn)為d1m與平面abcd的交點(diǎn)n,因?yàn)閙是bb1的中點(diǎn),所以bm=dd1,bmdd1,bm為dd1n的中位線,b為dn的中點(diǎn),正方體各棱長(zhǎng)為1,所以bn=bd=,在abn中,ab=1,bn=,abn=135,an2=ab2+bn2-2abbncosabn=3+21=5,所以an=.答案:關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)類型一符號(hào)語言與圖形語言間的轉(zhuǎn)化(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)1.若點(diǎn)a在平面內(nèi),直線a在平面內(nèi),點(diǎn)a不在直線a上,用符號(hào)語言可表示為()a.a,a,aab.a,a,aac.a,a,aad.a,a,aa【解析】選a.點(diǎn)與線、面的關(guān)系用、;線與面的關(guān)

5、系用、.b項(xiàng)中,“a”錯(cuò);c項(xiàng)中“a”錯(cuò);d項(xiàng)中“aa”錯(cuò).2.如圖所示,用符號(hào)語言可表達(dá)為()a.=m,n,am,anb.=m,n,am,anc.=m,n,mn=ad.=m,n,mn=a【解析】選c.結(jié)合圖形可以得出平面,相交于一條直線m,直線n在平面內(nèi),直線m,n相交于點(diǎn)a,點(diǎn)a在直線m,n上,結(jié)合選項(xiàng)可得c正確.3.如圖所示,根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.(1)點(diǎn)p與直線ab.(2)點(diǎn)c與直線ab.(3)點(diǎn)a1與平面ac.(4)直線ab與直線bc.(5)直線ab與平面ac.(6)平面a1b與平面ac.【解析】(1)點(diǎn)p直線ab.(2)點(diǎn)c直線ab.(3)點(diǎn)a1平面ac.

6、(4)直線ab直線bc=點(diǎn)b.(5)直線ab平面ac.(6)平面a1b平面ac=直線ab.三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示,再用符號(hào)語言表示.(2)要注意符號(hào)語言的意義. 如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“”或“”,直線與平面的位置關(guān)系只能用“”或“”.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,用符號(hào)語言可表示為()a.=lb.,lc.l,ld.,l【解析】選d.顯然題干圖中,且l.類型二點(diǎn)、線的共面問題(邏輯推理、直觀想象)【典例】1.若空間中有四個(gè)點(diǎn),則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上

7、”的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件2.已知四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),求證:這四條直線在同一平面內(nèi).【思路導(dǎo)引】1.由題意,根據(jù)直線和直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面和充要條件的判定方法,即可求解.2.四條直線兩兩相交且不共點(diǎn),可能有兩種情況:一是有三條直線共點(diǎn);二是任意三條直線都不共點(diǎn),故要分兩種情況.【解析】1.選a.由題意,根據(jù)直線和直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,所以“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”,則“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”,反之不一定成立,所以“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的充分不必要條件.2.已知:a,b,c

8、,d四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),求證:a,b,c,d共面.證明:(1)若a,b,c三線共點(diǎn)于o,如圖所示,因?yàn)閛d,所以經(jīng)過d與點(diǎn)o有且只有一個(gè)平面.因?yàn)閍,b,c分別是d與a,b,c的交點(diǎn),所以a,b,c三點(diǎn)在平面內(nèi).由基本事實(shí)2知a,b,c都在平面內(nèi),故a,b,c,d共面.(2)若a,b,c,d無三線共點(diǎn),如圖所示,因?yàn)閍b=a,所以經(jīng)過a,b有且僅有一個(gè)平面,所以b,c.由基本事實(shí)2知c.同理,d,從而有a,b,c,d共面.綜上所述,四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),這四條直線在同一平面內(nèi).證明點(diǎn)、線共面問題的常用方法(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面,再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi),即用“納入法

9、”.(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面,其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面,再證平面與重合,即用“同一法”.(3)假設(shè)不共面,結(jié)合題設(shè)推出矛盾,即用“反證法”.1.空間兩兩相交的三條直線,可以確定的平面數(shù)是()a.1b.2c.3d.1或3【解析】選d.若三條直線兩兩相交共有三個(gè)交點(diǎn),則確定1個(gè)平面;若三條直線兩兩相交且交于同一點(diǎn)時(shí),若三條直線共面,則能確定1個(gè)平面,若三條直線不共面,則能確定3個(gè)平面.2.如圖所示,在正方體abcd-a1b1c1d1中.(1)aa1與cc1是否在同一平面內(nèi)?(2)點(diǎn)b,c1,d是否在同一平面內(nèi)?(3)畫出平面ac1與平面bc1d及平面acd1與平面bdc1的交線.【解

10、析】(1)在正方體abcd-a1b1c1d1中,因?yàn)閍a1cc1,所以aa1與cc1可確定平面ac1,所以aa1與cc1在同一平面內(nèi).(2)因?yàn)辄c(diǎn)b,c1,d不共線,所以點(diǎn)b,c1,d可確定平面bc1d,所以點(diǎn)b,c1,d在同一平面內(nèi).(3)如圖,因?yàn)閍cbd=o,d1cdc1=e,所以o平面ac1,o平面bc1d.又c1平面ac1,c1平面bc1d.所以平面ac1平面bc1d=oc1.同理平面acd1平面bdc1=oe.【補(bǔ)償訓(xùn)練】求證:如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交,那么這四條直線共面.【解析】已知:abc,la=a,lb=b,lc=c.求證:直線a,b,c和l共面.證明:如圖所

11、示,因?yàn)閍b,由推論3可知直線a與b確定一個(gè)平面,設(shè)為.因?yàn)閘a=a,lb=b,所以aa,bb,則a,b.又因?yàn)閍l,bl,所以由基本事實(shí)2可知l.因?yàn)閎c,所以由推論3可知直線b與c確定一個(gè)平面,同理可知l.因?yàn)槠矫婧推矫娑及本€b與l,且lb=b,而由推論2知:平面與平面重合,所以直線a,b,c和l共面.類型三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題(邏輯推理、直觀想象)【典例】1.不共線三點(diǎn)a,b,p且p平面,ap=a1,bp=b1,ab=o,當(dāng)點(diǎn)p在空間中變動(dòng)時(shí),定點(diǎn)o與動(dòng)直線a1b1的位置關(guān)系是_.2.如圖所示,已知空間四邊形abcd,e,h分別是ab,ad的中點(diǎn),f,g分別是邊bc,cd上的點(diǎn),且=

12、,求證:直線ef,gh,ac交于一點(diǎn).【思路導(dǎo)引】1.注意三點(diǎn)a1,b1,o所在的平面,利用基本事實(shí)3即可得出結(jié)論.2.可先判斷出某兩條直線相交,再證明第三條直線也通過這兩條直線的交點(diǎn).【解析】1.由題意知平面abp=a1b1,ab=o,所以o平面abp,且o,所以oa1b1.答案:oa1b12.因?yàn)閍e=eb,ah=hd,所以ehbd,且eh=bd.因?yàn)?,所以fgbd,且fg=bd.所以ehfg,且ehfg,故四邊形efgh為梯形,則ef與gh必相交,設(shè)交點(diǎn)為p,p平面abc,又p平面dac,又平面abc平面dac=ac,故pac,即ef,gh,ac交于一點(diǎn).將本例2改為:在空間四邊形ab

13、cd中,h,g分別是ad,cd的中點(diǎn),e,f分別為邊ab,bc上的點(diǎn),且=.求證:(1)點(diǎn)e,f,g,h四點(diǎn)共面;(2)直線eh,bd,fg相交于同一點(diǎn).【證明】(1)如圖所示,連接ef,hg,在空間四邊形abcd中,h,g分別是ad,cd的中點(diǎn),所以hgac且hg=ac.又=,所以efac且ef=ac.故efhg,即e,f,g,h四點(diǎn)共面.(2)由(1)知efhg且efhg,所以設(shè)eh與fg交于點(diǎn)p,因?yàn)閑h平面abd,所以p在平面abd內(nèi),同理p在平面bcd內(nèi),且平面abd平面bcd=bd,所以點(diǎn)p在直線bd上,所以直線eh,bd,fg相交于一點(diǎn).1.證明線共點(diǎn)問題的方法方法一:可把其中一

14、條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線,然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上.方法二:先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線,證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn),再證點(diǎn)重合,從而得三線共點(diǎn).2.證明點(diǎn)共線的問題方法方法一:證明多點(diǎn)共線通常利用基本事實(shí)3,即兩相交平面交線的唯一性,通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi),證明點(diǎn)在相交平面的交線上.方法二:選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其他點(diǎn)也在此直線上.1.如圖,在四面體abcd中作截面pqr,若pq與cb的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)m,rq與db的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)n,rp與dc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)k.(1)求證:直線mn平面pqr;(2)求證:點(diǎn)k在直線mn上.【證明】(1)因?yàn)?/p>

15、pq平面pqr,m直線pq,所以m平面pqr,因?yàn)閞q平面pqr,n直線rq,所以n平面pqr,所以直線mn平面pqr.(2)因?yàn)閙直線cb,cb平面bcd,所以m平面bcd.由(1)知,m平面pqr,所以m在平面pqr與平面bcd的交線上,同理可知n,k也在平面pqr與平面bcd的交線上,所以由基本事實(shí)3知,m,n,k三點(diǎn)共線,所以點(diǎn)k在直線mn上.2.在正方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別是aa1,ab的中點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)e,f,c,d1共面;(2)證明:d1e,da,cf三線交于一點(diǎn).【證明】(1)連接a1b,根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知a1bcd1.由于e,f分別是aa1,ab

16、的中點(diǎn),所以efa1b,所以efcd1,所以e,f,c,d1四點(diǎn)共面.(2)由于efcd1,efcd1,所以d1e與cf延長(zhǎng)后必相交,設(shè)交點(diǎn)為p,由于pd1e,d1e平面add1a1,pcf,cf平面abcd,根據(jù)基本事實(shí)3可知p在平面add1a1與平面abcd的交線da上,所以d1e,da,cf三線交于一點(diǎn).【補(bǔ)償訓(xùn)練】在正方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別為b1c1,a1d1的中點(diǎn).求證:平面abb1a1與平面cdfe相交.【證明】在正方體abcd-a1b1c1d1中,e為b1c1的中點(diǎn),所以ec與b1b不平行,延長(zhǎng)ce與bb1,延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)h,所以hec,hb1b,又知b1

17、b平面abb1a1,ce平面cdfe,所以h平面abb1a1,h平面cdfe,故平面abb1a1與平面cdfe相交.備選類型幾何體的截面問題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】正三棱柱abc-a1b1c1中所有棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)e,f分別為棱bb1,a1c1的中點(diǎn),若過點(diǎn)a,e,f作一截面,則截面的周長(zhǎng)為()a.2+b.2+c.2+d.2+【思路導(dǎo)引】在正三棱柱abc-a1b1c1中,延長(zhǎng)af和cc1交于點(diǎn)m,連接em,交b1c1于點(diǎn)p,連接fp,則過點(diǎn)a,e,f的截面為四邊形aepf,利用正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征,分別利用勾股定理和余弦定理,即可求解.【解析】選b.在正三棱柱abc-a1b1c1中,過點(diǎn)e作

18、encc1于點(diǎn)n,延長(zhǎng)af和cc1交于點(diǎn)m,連接em,交b1c1于點(diǎn)p,連接fp,則過點(diǎn)a,e,f的截面為四邊形aepf,如圖所示,由mfc1mac,可得mc1=2,由mpc1men,可得=,解得pc1=,則b1p=,在直角aa1f中,aa1=2,a1f=1,則af=,在直角abe中,ab=2,be=1,則ae=,在直角b1ep中,b1e=1,b1p=,則pe=,在c1fp中c1f=1,c1p=,fc1p=60,由余弦定理可得pf2=c1f2+c1p2-2c1fc1pcospc1f=12+-21cos60=,即pf=,所以截面的周長(zhǎng)為+=2+.解決幾何體的截面問題的基本方法(1)直接法用直接法

19、解決截面問題的關(guān)鍵是:截面上的點(diǎn)在幾何體的棱上,且兩兩在一個(gè)平面內(nèi),我們可以借助于基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi),直接解決這類問題.(2)延長(zhǎng)線法用延長(zhǎng)線法解決截面問題的關(guān)鍵是:截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)幾何體的一個(gè)表面上,我們可以借助于基本事實(shí)2,如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).直接解決這類問題.正方體abcd-a1b1c1d1中,點(diǎn)q是棱dd1上的動(dòng)點(diǎn),則過a,q,b1三點(diǎn)的截面的形狀為_.【解析】點(diǎn)q在棱dd1上移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)q與點(diǎn)d1重合時(shí)截面為等邊三角形ab1d1,如圖(1)所示;當(dāng)點(diǎn)q與點(diǎn)d重合時(shí),截面為矩形a

20、b1c1d,如圖(2)所示;當(dāng)點(diǎn)q不與點(diǎn)d,d1重合時(shí),截面為等腰梯形aqrb1,如圖(3)所示.答案:等邊三角形或矩形或等腰梯形課堂檢測(cè)素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若點(diǎn)q在直線b上,b在平面內(nèi),則q,b,之間的關(guān)系可記作()a.qbb.qbc.qbd.qb【解析】選b.因?yàn)辄c(diǎn)q在直線b上,所以qb.又因?yàn)橹本€b在平面內(nèi),所以b.所以qb.2.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)下列說法正確的是()a.兩個(gè)平面可以有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)b.梯形一定是平面圖形c.平面和有不同在一條直線上的三個(gè)交點(diǎn)d.一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面【解析】選b.a選項(xiàng),根據(jù)基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)

21、的公共直線,故a錯(cuò).c選項(xiàng),兩個(gè)平面有公共點(diǎn),則有一條過該公共點(diǎn)的公共直線,如果沒有公共點(diǎn),則兩平面平行,c錯(cuò).d選項(xiàng),一條直線和直線外的一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.b選項(xiàng),兩條平行直線,確定一個(gè)平面,梯形中有一組對(duì)邊平行,故b對(duì).3.給出以下命題“已知點(diǎn)a,b都在直線l上,若a,b都在平面上,則直線l在平面上”,試用符號(hào)語言表述這個(gè)命題.【解析】用符號(hào)語言表述這個(gè)命題為:已知al,bl,若a,b,則l.答案:已知al,bl,若a,b,則l4.設(shè)平面與平面交于直線l,a,b,且直線abl=c,則直線ab=_.【解析】因?yàn)?l,abl=c,所以c,cab,所以ab=c.答案:c5.如圖,三個(gè)平面,兩兩

22、相交于三條直線,即=c,=a,=b,若直線a和b不平行.求證:a,b,c三條直線必過同一點(diǎn).【證明】因?yàn)?b,=a,所以a,b.由于直線a和b不平行,所以a,b必相交.設(shè)ab=p,如圖,則pa,pb.因?yàn)閍,b,所以p,p.又=c,所以pc,即交線c經(jīng)過點(diǎn)p.所以a,b,c三條直線相交于同一點(diǎn).十四平面的基本事實(shí)與推論(15分鐘30分)1.下列敘述中錯(cuò)誤的是()a.若點(diǎn)p,p且=l,則plb.空間中任意三點(diǎn)a,b,c能確定一個(gè)平面c.若直線ab=a,則直線a與b能夠確定一個(gè)平面d.若點(diǎn)al,bl,且a,b,則l【解析】選b.選項(xiàng)a:由平面的基本事實(shí)3知:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它

23、們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線,所以選項(xiàng)a正確;選項(xiàng)b:由平面的基本事實(shí)1知,經(jīng)過不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,即當(dāng)三點(diǎn)a,b,c不共線時(shí),能確定一個(gè)平面,所以選項(xiàng)b錯(cuò)誤;選項(xiàng)c:由平面的推論2知,兩條相交直線,確定一個(gè)平面,所以選項(xiàng)c正確;選項(xiàng)d:由平面的基本事實(shí)2知,如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),則這條直線在此平面內(nèi),所以選項(xiàng)d正確.2.如果兩個(gè)不重合平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面()a.沒有其他公共點(diǎn)b.僅有這一個(gè)公共點(diǎn)c.僅有兩個(gè)公共點(diǎn)d.有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)【解析】選d.由基本事實(shí)3可知,兩個(gè)不重合平面有一個(gè)公共點(diǎn),它們有且只有一條過該公共點(diǎn)的公共直線,則有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

24、3.(2020哈爾濱高一檢測(cè))如圖,四棱錐p-abcd,acbd=o,m是pc的中點(diǎn),直線am交平面pbd于點(diǎn)n,則下列結(jié)論正確的是()a.o,n,p,m四點(diǎn)不共面b.o,n,m,d四點(diǎn)共面c.o,n,m三點(diǎn)共線d.p,n,o三點(diǎn)共線【解析】選d.直線ac與直線po交于點(diǎn)o,所以平面pca與平面pbd交于點(diǎn)o,所以必相交于直線po,直線am在平面pac內(nèi),點(diǎn)nam,故n平面pac,故o,n,p,m四點(diǎn)共面,所以a錯(cuò).若點(diǎn)d與o,m,n共面,則直線bd在平面pac內(nèi),與題目矛盾,故b錯(cuò).o,m分別為ac,pc中點(diǎn),所以ompa,onpa=p,故onom=o,故c錯(cuò).4.設(shè)平面與平面相交于l,直線

25、a,直線b,ab=m,則ml.【解析】因?yàn)閍b=m,a,b,所以m,m.又因?yàn)?l,所以ml.答案:5.已知平面平面=l,點(diǎn)m,n,p,pl,且mnl=r,過m,n,p三點(diǎn)所確定的平面記為,則=.【解析】如圖,mn,rmn,所以r.又rl,所以r.又p,p,所以=直線pr.答案:直線pr6.如圖所示,ab=p,cd=p,點(diǎn)a,d與點(diǎn)b,c分別在平面的兩側(cè),ac=q,bd=r.求證:p,q,r三點(diǎn)共線.【證明】因?yàn)閍b=p,cd=p,所以abcd=p,所以ab,cd可確定一個(gè)平面,設(shè)為.因?yàn)閍ab,ccd,bab,dcd,所以a,c,b,d,所以ac,bd.因?yàn)閍c=q,所以q,q.同理,p且p

26、,r且r.所以p,q,r在與的交線上,故p,q,r三點(diǎn)共線.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.空間四點(diǎn)a,b,c,d共面而不共線,那么這四點(diǎn)中()a.必有三點(diǎn)共線b.必有三點(diǎn)不共線c.至少有三點(diǎn)共線d.不可能有三點(diǎn)共線【解析】選b.如圖(1)(2)所示,a,c,d均不正確,只有b正確.2.如圖所示,在正方體abcd-a1b1c1d1中,o是b1d1的中點(diǎn),直線a1c交平面ab1d1于點(diǎn)m,則下列結(jié)論正確的是()a.a,m,o三點(diǎn)共線b.a,m,o,a1不共面c.a,m,c,o不共面d.b,b1,o,m共面【解析】選a.連接a1c1,ac,則a1c1ac,所以a1,c1,c

27、,a四點(diǎn)共面.所以a1c平面acc1a1.因?yàn)閙a1c,所以m平面acc1a1.又因?yàn)閙平面ab1d1,所以點(diǎn)m在平面acc1a1與平面ab1d1的交線上.同理點(diǎn)o在平面acc1a1與平面ab1d1的交線上,所以a,m,o三點(diǎn)共線.3.如圖,正方體abcd-a1b1c1d1,e,f分別為棱a1b1,bb1的中點(diǎn),則d1e與cf的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn),此點(diǎn)在直線()a.ad上b.b1c1上c.a1d1上d.bc上【解析】選b.由平面基本性質(zhì)知:d1e與cf的交點(diǎn)在平面a1b1c1d1上,也在平面bb1c1c上,故交點(diǎn)在兩平面的交線b1c1上.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.如圖,四棱錐p-abcd的底面abcd是梯形

28、,abcd,若平面pad平面pbc=l,則()a.lcdb.lbcc.l與直線ab相交d.l與直線da相交【解析】選d.因?yàn)樗睦忮Fp-abcd的底面abcd是梯形,abcd,所以ad與cb必相交于點(diǎn)m,且p是平面pad和平面pbc的公共點(diǎn),又平面pad平面pbc=l,所以pl,l與直線da相交.2.在空間四邊形abcd各邊ab,bc,cd,da上分別取點(diǎn)e,f,g,h,若直線ef,gh相交于點(diǎn)p,則()a.點(diǎn)p必在直線ac上b.點(diǎn)p必在直線bd上c.點(diǎn)p必在平面abd內(nèi)d.點(diǎn)p必在平面bcd內(nèi)【解析】選a.因?yàn)閑f在平面abc上,而gh在平面adc上,且ef,gh相交于點(diǎn)p,所以p在平面abc

29、與平面adc的交線上,因?yàn)閍c是平面abc與平面adc的交線,所以點(diǎn)p必在直線ac上.4.在正方體abcd-a1b1c1d1中,f為ad的中點(diǎn),e為棱d1d上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),過點(diǎn)b,e,f的平面截正方體所得的截面的形狀不可能是()a.四邊形b.等腰梯形c.五邊形d.六邊形【解析】選d.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,當(dāng)0de時(shí),截面為四邊形bmef,如圖;特別地,當(dāng)de=時(shí),截面為等腰梯形bfec1,如圖;當(dāng)de1時(shí),截面為五邊形bfenm,不可能為六邊形,如圖.【補(bǔ)償訓(xùn)練】正方體abcd-a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)m為cc1的中點(diǎn),點(diǎn)n為線段dd1上靠近d1的三等分點(diǎn),平面bmn交aa1于

30、點(diǎn)q,則aq的長(zhǎng)為()a.b.c.d.【解析】選d.根據(jù)題意,畫出圖像如圖所示,過點(diǎn)b作bqmn,且交aa1于點(diǎn)q,易知bq=nm,因?yàn)閎qmn,所以點(diǎn)b,q,m,n共面,四邊形bqnm是平行四邊形,所以此點(diǎn)q的位置即平面bmn與aa1的交點(diǎn),過點(diǎn)n作nncc1且交cc1于點(diǎn)n,因?yàn)閍b=nn,bq=mn,baq=nnm=90,所以baq和nnm全等,所以aq=nm,點(diǎn)n為線段dd1上靠近d1的三等分點(diǎn),所以點(diǎn)n為線段cc1上靠近c(diǎn)1的三等分點(diǎn),又點(diǎn)m為cc1的中點(diǎn),所以nm=cc1,又正方體abcd-a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為4,所以nm=,即aq=.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)

31、得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.給出以下說法,其中正確的是()a.不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線b.若點(diǎn)a,b,c,d共面,點(diǎn)a,b,c,e共面,則點(diǎn)a,b,c,d,e共面c.若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面d.過直線外一點(diǎn)和直線上三點(diǎn)的三條直線共面【解析】選ad.在a中假設(shè)其中有三點(diǎn)共線,則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面,這與四點(diǎn)不共面矛盾,故其中任意三點(diǎn)不共線,所以a正確;如圖,兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)a,b,c,且點(diǎn)a,b,c,d共面,點(diǎn)a,b,c,e共面,但a,b,c,d,e不共面,b不正確;選項(xiàng)c顯然不正確;在d中,過直線與直線外一點(diǎn)可確定一

32、個(gè)一個(gè)平面,設(shè)為,因此這三條直線都在平面內(nèi),即三條直線共面,d正確.6.已知a,b表示不同的點(diǎn),l表示直線,表示不同的平面,則下列推理正確的是()a.al,a,bl,blb.a,a,b,b=abc.l,alad.a,al,ll=a【解析】選abd.對(duì)于選項(xiàng)a,由基本事實(shí)2知,l,故選項(xiàng)a正確;對(duì)于選項(xiàng)b,因?yàn)?表示不同的平面,由基本事實(shí)3知,平面,相交,且=ab,故選項(xiàng)b正確;對(duì)于選項(xiàng)c,l分兩種情況:l與相交或l.當(dāng)l與相交時(shí),若交點(diǎn)為a,則a,故選項(xiàng)c錯(cuò)誤;由畫圖可知選項(xiàng)d成立.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)p表示一個(gè)點(diǎn),a,b表示兩條直線,表示兩個(gè)平面,下列說法中正確的是()a.若pa,p,則ab.若a

33、b=p,b,則ac.若ab,a,pb,p,則bd.若=b,p,p,則pb【解析】選cd.當(dāng)a=p時(shí),pa,p,但a,故a錯(cuò);當(dāng)a=p時(shí),b錯(cuò);如圖:因?yàn)閍b,pb,所以pa,所以由直線a與點(diǎn)p確定唯一平面,又ab,由a與b確定唯一平面,但經(jīng)過直線a與點(diǎn)p,所以與重合,所以b,故c正確;兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上,故d正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖所示,a,b,c,d為不共面的四點(diǎn),e,f,g,h分別在線段ab,bc,cd,da上.(1)如果ehfg=p,那么點(diǎn)p在直線上;(2)如果efgh=q,那么點(diǎn)q在直線上.【解析】(1)若ehfg=p,則點(diǎn)p平面abd,p平面bcd,

34、而平面abd平面bcd=bd,所以pbd.(2)若efgh=q,則q平面abc,q平面acd,而平面abc平面acd=ac,所以qac.答案:(1)bd(2)ac8.已知abc三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離分別是3,3,6,則其重心到平面的距離為.(寫出所有可能值)【解析】設(shè)a,b到平面的距離為3;c到平面的距離為6.若a,b在平面同側(cè),且c在平面另一側(cè),則ab,取ab中點(diǎn)d,連接cd,設(shè)重心為g.又d到平面的距離d1=3,c到平面的距離d2=6,由重心性質(zhì)可知:=2,所以=,所以g,所以g到平面的距離為0.若b,c位于平面同側(cè),a在平面另一側(cè),取ac中點(diǎn)d,連接bd,設(shè)重心為g,b,g,d在平面內(nèi)的射

35、影分別為:b,g,d,如圖所示:dd=-3=,bb=3,又bg=2gd,所以gg=2,即g到平面距離為2.若a,b,c在平面同側(cè),則ab,取ab中點(diǎn)d,連接cd,設(shè)重心為g,c,d,g在平面內(nèi)的射影分別為c,d,g,如圖所示:dd=3,cc=6,又cg=2gd,所以gg=4,即g到平面的距離為4.綜上所述,重心到平面的距離為0,2,4.答案:0,2,4四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,g是正方體abcd-a1b1c1d1的棱dd1延長(zhǎng)線上一點(diǎn),e,f是棱ab,bc的中點(diǎn).試分別畫出過下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線.(1)過點(diǎn)g及ac.(2)過三點(diǎn)e,f,d1.【解析】(1)畫法:連接ga,交a1d1于點(diǎn)m;連接gc,交c1d1于點(diǎn)n;連接mn,ac,則ma,cn,mn,ac為所求平面與正方體表面的交線.如圖所示.(2)畫法:連接e