專題三第二講三角變換與解三角形

1、第二講 三角變換與解三角形考點整合兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1) sin( a3 = sin acos Bjos asin(2) cos( a3 = cos acos 3?sin asintan aan 3(3) tan( a3 =.1?tan otan 3二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 2 a= 2sin acos a2 2 2(2) cos 2 a= COS a Sin a= 2cos a_、.-2ta n a(3) tan 2 a=廠.1 tan a3. 三角恒等變換的基本思路(1) “化異為同”，“切化弦”，“1”的代換是三角恒等變換的常用技巧.“化異為同”是指“化

2、異名為同名”，“化異次為同次”，“化異角為同角”.(2) 角的變換是三角變換的核心，如3= (a+ 3 a, 2a= ( a+ 3)+ ( a 3)等.4. 正弦定理匕=光 =-； = 2R(2RABC外接圓的直徑).sin A sin B sin C變形：a= 2Rsin A, b= 2Rsin B, c= 2Rsin C.sin A=是,sin B=g, sin C=；2R2R2Ra : b : c= sin A : sin B : sin C.5. 余弦定理2 2 2 2 2 2a = b + c 2bccos A, b = a + c 2accos B, c?= a?+ b? 2abc

3、os C.推論：b2+ c2 a2a2+ c2 b2cOs A= 2bc ，cOs B= 2ac ， a2 + b2 c2cOs C=6. 面積公式111S abc= ?bcs in A = acs in B= abs in C.7. 三角形中的常用結論(1) 三角形內角和定理：A+ B + C= n.(2) ABC? abc? sin Asin Bsin C.(3) a= bcos C + ccos B.真題感悟(2018 浙江)已知 a R, sin a+ 2cos a=A.|B.3C.2答案 C解析 t sin a+ 2cos a= 2,.2 .sin a+ 4sin25a cos a+

4、 4cos a=.3 .故選C.4用降幕公式化簡得：4sin 2 a= 3cos 2 a ,二 tan 2 a= sin 2 acos 2 a（2018 寧）在厶ABC中，內角A ,1A =尹，且a b,貝U B的大小為nA.6B, C的對邊分別為a, b,c.若 asin Bcos C+ csin Bcos答案 AnB.32 nCE5 nDEac1解析由條件得 bsin Bcos C + bsin Bcos A= 112，1 1 由正弦定理,得 sin Acos C+ sin Ccos A= ? , si n(A + C) = q ,1從而 sin B = ,又 ab,且 B (0 , n)

5、因此 B=n.6(2018陜西)設厶ABC的內角 A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,若bcos C + ccos B = asinA，則 ABC的形狀為A .銳角三角形B 直角三角形C 鈍角三角形D .不確定答案 B解析 由 bcos C+ ccos B = asin A,得所以 sin A= 1,由 0A n ,得 A=寸,2 2sin Bcos C+ sin Ccos B= sin a,即 sin(B+ C) = sin A,所以 ABC為直角三角形.(2012 廣東)在厶 ABC 中，若/ A = 60 / B = 45 A . 4 3B . 2 .3C. . 3BC= 3.

6、2,貝U AC 等于()答案 B解析 利用正弦定理解三角形.在厶 ABC 中，伴=, AC = BC * Bsin B sin Asin A（2018安徽）設厶ABC的內角A, B, C所對邊的長分別為a , b , c.若b + c= 2a,3sin A= 5sinB，則角C =答案3解析 由已知條件和正弦定理得：3a = 5b，且b+ c = 2a,則a= 5b, c= 2a b= 73b33a2 + b2 c212 n2，又 0C易得 COS( a+ 3 = 5.，易得COS又n 3- ；3f,所以4=cOs( a+3 (3 4)】4.廠13.故COS=cos( a+ 0COSsin(

7、a+ sin=4131365常用切反思歸納 (1)公式應用技巧：直接應用公式，包括公式的正用、逆用和變形用;化弦、異名化同名、異角化同角等.(2)化簡常用技巧：注意特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化；注意利用角與角之間的隱含 關系，如2 a= ( a+ 3 + ( a 3 , = ( 0 4) + 0等；注意利用“1 ”的恒等變形，如tan 45=1 , Sin a+ COS a= 1 等.變式訓練1,3(1)若 0 an 2 30 , cosf+a戶 1 , cosf (= 則D.6C3C. 9答案解析 COS n+ a = 3, 0 弓( )八cosG-界當-n網(wǎng)， nJ =_4 2丿 3，

8、cos 1+ =祇+C- 0 Sin# +a咖n- J=洱+普耆=攀 則COS 2a的值為.Sin a n=COS n+ a COS7t已知 sin a= 2+ COS a,且 a m,n，答案COS 2 a2 . 2 COS a Sin a解析i ( n並Sin 嚴一4 丿(Sin a cos aCOS a+ Sin a COS a Sin a i= := 2(cos a+ sin a| Sin a COS a1 . 1-Sin a= + COS a, COS a Sin a= 一 ,2 2、 1兩邊平方得 1 2sin acoS a=-， 2sin acoS43a= _4- a 0, n，

9、 COS a+ sin a=7(COS a+ Sin a$=寸匚= 2 .COS 2 a(n=Sin a 4題型二解三角形【例2】 ABC的三個內角 A, B, C所對的邊分別為 a, b , c , asin Asin B + bcos2A=U2a. 土 b（1）求 a；（2）若 c2= b2+ .3a2 ,求 B.審題破題 （1）利用正弦定理，化去角 B的三角函數(shù)，再化簡求值；（2）由條件結構特征,聯(lián)想到余弦定理，求 cos B的值，進而求出角 B.解 （1）由正弦定理，得 asin B = bsin A ,又 asin Asin B + bcos2A= . 2a ,所以 bsin2A +

10、 bcos2A= . 2a ,即 b = . 2a.所以b . 2.a(2)由余弦定理和c求AB的長度； 若建造環(huán)境標志的費用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使 建造費用較低，請說明理由. = b2 + 3a2,又 0B0，故 cos B = ，又 0B180,所以 B= 45反思歸納關于解三角形問題，一般要用到三角形的內角和定理，正、余弦定理及有關三角形的性質，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結構”，這是使問題獲得解決的突破口.變式訓練2 (2018 山東)設厶ABC的內角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,且a +

11、 c= 6, bc o 7=2, cos B =：9(1)求a, c的值;a + c= 6,由彳得a = c= 3.ac= 9在 ABC 中，cos B= 9, sin B=1 cos2B =429由正弦定理得:ab_sin A sin B sin A =型衛(wèi)=b3X石4/2-9 = 92 23 .求sin(A - B)的值.解(1)由余弦定理得：2 ,222 | 影a +c b a +c 審題破題 首先借助余弦定理列式， 通過等量關系求出角 C的大小，進而求AB的長度;722,14cos B= c，即卩 a + c 4= ac.2ac2ac99(a+ c)2 - 2ac-4= ac,ac=

12、9. A又 A= C, 0A ABD，經(jīng)測量 AD = BD = 14,BC = 10, AC = 16,/ C = Z D.然后借助正弦定理比較三角形的面積大小，并作出判斷.解(1)在厶ABC中，由余弦定理得，AB2= AC2+ BC2 2AC BCcos C = 162+ 102-2X 16X 10cos C.在厶ABD中，由余弦定理及 / C = Z D整理得，AB2= AD2+ BD2 2AD BDcos D = 142+ 142 2 X 142cos C.由得：142+ 142 2X 142cos C= 162+ 102 2 X 16X 10cos C,整理可得cos C = 2又Z

13、 C為三角形的內角，所以 Z C= 60又Z C= Z D, AD = BD，所以 ABD是等邊三角形，即AB的長度是14.1 1(2)小李的設計符合要求.理由如下：0ABD = 2AD BDsin D, Sabc = AC BCsin C,因為 AD BDAC BC, Z C=Z D，所以 Sbd0abc.又已知建造費用與用地面積成正比，故選擇 ABC建造環(huán)境標志費用較低.即小李的設計使建造費用較低.反思歸納應用解三角形知識解決實際問題需要下列四步：(1) 分析題意，準確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等；(2) 根據(jù)題意畫出示意圖，

14、并將已知條件在圖形中標出；(3) 將所求問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正、余弦定理等有關知識正確求解；(4) 檢驗解出的結果是否具有實際意義，對結果進行取舍，得出正確答案.變式訓練3 (2018江蘇)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到 C,另一種是先從 A沿索道乘纜車到 B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從 A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線12 3運動的速度為 130 m/ min，山路 AC長為1 260 m，

15、經(jīng)測量 cos A = _, cos C = -.13 5(1)求索道AB的長；問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內?12 3解(1)在厶ABC 中，因為 cos A = , cos C = 5,13 5所以 sin A13, sin C= 5.5 3 12 4 63從而 sin B= sin n (A + C) = sin(A + C)= sin Acos C+ cos Asin C= 3X- +-5 = -5.65I3 5I3 5 65+ sin 2wx = sin 2wx+2 wx+ - .3

16、分sin佇+即爭n= “ n，歩z .所以索道AB的長為1 040 m.假設乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d,此時，甲行走了 (100 + 50t)m，乙距離A 處 130t m，所以由余弦定理得2 2 2 12 2d【典例】(12分)已知向量a = (cos ax, sin wx), b= (cos wx,寸3cos 3，其中0 w2.函數(shù)f(x) =a b 1，其圖象的一條對稱軸為x= n.2 6 求函數(shù)f(x)的表達式及單調遞增區(qū)間； 在厶ABC中，a, b, c分別為角A, B, C的對邊，S為其面積，若fA = 1,b = 1, Sbc =3,求a的值.規(guī)范解答1 1解(1)f(

17、x) = a b1 = cos2wx+ 3sin wxcos wx ? = (100 + 50t)2 + (130t)2 2 x 130t x (100 + 50t)x -3= 200(37t2 70t+ 50),131 040由于 0w tw 130，即 0w tw 8,35故當t=min時，甲、乙兩游客距離最短.BC Ac由正弦定理sBCA=sACB，得 BC= sACBX sin A =詈 x H= 500(m)-65乙從B出發(fā)時，甲已走了 50x (2 + 8+ 1) = 550(m)，還需走710 m才能到達C.設乙步行的速度為 v m/min，由題意得一3w 500 3,解得1w

18、v625，v 504314所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應控制在.詈，箒單位：m/min)范圍內.閱卷評析T 0 w2 ,二 w= 1.5 分 f(x)= sin 2x+令- n+ 2kn2x+ 詐扌+ 2kn 歩 z.nn- k n 二w xw k n , k Z,36函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為k n n k 7t+nj, k Z.7分36(2)fj| 卜 sin A+ 汗 1,在 ABC 中,0An , 6 3 , b = 1,得 c= 4.9 分由余弦定理得 a2= 42 + 12 2X 4X 1 x cos n= 13 ,故 a= J3.12 分3

19、評分細則(1)f(x)沒有化成sin 2+ n的得1分；(2)k Z沒寫的扣1分；得出A= n的給1 分.閱卷老師提醒(1)三角形和三角函數(shù)的結合是高考命題的熱點，靈活考查分析、解決問題的能力.此類問題的一般解法是先將三角函數(shù)化成y= Asi nx+妨的形式，利用三角函數(shù)求值確定三角形的一個角，然后和正、余弦定理相結合解題.(3)解題中要充分注意在三角形中這個條件，重視角的范圍.小題沖關已知 Cs n 2 a =乎,貝y sin a+ cos a 等于 n 2sin a 422b1C.?答案. nsin 2 a 2cos n 2 a _ COS 2 a. n . n . nsin a 4 is

20、in a 4 sin a 4=2cos( a 4) = . 2cos a+ . 2sin a= 2，1 sin a+ cos a= ,故選 D.解析若 a = f(lg 5), b= f lg 1 ,則B. a b= 0D . ab= 1A . a+ b= 0C. a + b = 1答案 C解析 將函數(shù)整理，利用奇函數(shù)性質求解.i n ,1 cos2x + 21+ sin 2x2 = ,由題意知 f(x) = sin2 x + 4 =221 1 令 g(x) = sin 2x,則 g(x)為奇函數(shù)，且 f(x) = g(x) + ， g5g 5)+2a= f(lg 5) = g(lg 5) +

21、 2, b =f lglg 5 +1 = g(lg 5) + g( lg 5) + 1 = 1,則 a+ b = g(lg 5) + g故 a + b = 1.nj-(2018 天津)在厶 ABC 中，/ ABC = 4, AB = 2, BC = 3, A血B血A. 10B. 5則sin / BAC等于 （）答案 C解析 在厶ABC中，由余弦定理得2X ,2X 3cos 4= 5. AC = 5,由正弦定理BCC. 10AC2= BA2 + BC2 2BA BCcosZ ABC = ( 2)2 + 32 -AC得sin / BAC sin / ABC .n2 BC sin/ABC 3X si

22、n 4 3X 20sin / BAC=-=.AC/5103均為銳角，且 cos( a+ 3)= sin( a 3，貝U tan a的值為B. ,3C. 1D.于C. 1答案解析由已知得cos ocos 3- sin sin 3= sin acos 3 cos ain 伏即 cos o(cos 3+ sin = sin3為銳角，a(s in 3+ cos 3), cos 3+ sin 3工 0，因此有 cos a= sin a, 從而 tan a= 1.在厶ABC中，角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,若(a2 + c2 b2)tan B= . 3ac,則角B 的值為()nB.3D.3

23、或 3nA. 6C.n或6 6答案 D解析 由(a2+ c2 b2)tan B = 3ac,得 / + ； b = csB，即 cos b=妙,2ac 2 sin B2 sin B sin B=又0 v Bv n 角B為才或臺5故選D.6. 在厶ABC中，角 A, B, C所對的邊分別為 a, b, c且滿足csin A= acos C.當.3sin A cos B+ j取最大值時，A的大小為()nA.3nB.4nC.6答案解析由正弦定理得 sin Csin A = sin Acos C.因為0A0，從而 sin C= cos C.n3 n又 cos Cm 0,所以 tan C= 1，貝V C

24、=，所以 B= A.44解析由題意知,2 X 4 X 3 X sin C= 3,3, sin C =于于是 3sin A cos B+丁B+= 3sin A cos( A)6/n n 11n n 6a+ 6莎 從而當 A+6=22sin A + 6取最大值2.故選A.= 3s in A+ cos A = 2si nA +c A 3 n/ 0A,4，即A=已知cos2,3545asin a=牛3,貝U sin專題限時規(guī)范訓練、選擇題a+ 的值是23B. 寸4答案解析所以4/3? 3 . a=5? gSin +n= 4 a+ 6 =3心a+ 2 cos a= 5? sin a+ 6 = 4，5(2

25、018 四川改編)設 sin 2 a= sina,an n,貝U tan 2 a的值是( )A. ,3B . 2,31D.2答案解析fn 、/ sin 2 a= sin a, / sin a(2cos a+ 1) = 0，又 a - , n , /. sin a 0,2cos a+ 1 =1cos a= 2,2ta n a.22.3sin a=:tan a= 3，：tan 2 a= ?sa= 1=空已知銳角厶ABCA . 75 B . 60 C. 45D. 30 答案 B又 0C90 C = 604. 在厶 ABC 中，若 0ta n Ata n B1，那么 ABC 一定是()A .銳角三角形

26、B .鈍角三角形C .直角三角形D .形狀不確定答案 B解析 由 0tan A tan B0 , tan B0,即卩 A, B 為銳角，tan(A+ B)= tan A_l tan B“ + : 0，即卩 tan( nC)= tan C0,所以 tan C0，所以 C 為鈍角，所以 ABC1 tan Ata n B為鈍角三角形，選 B.已知tann 1 n4 = 2,且一2 a0，則答案2、553 .101022sin a+ sin 2 a7 等于cos a 4B 鉅B. 10D .罕5tan a+ 1 _ 11 tan a 2,I 又一2 a0 ,可得 sin a= 10 .2丄，2sin

27、a+ sin 2 a 2sin a sin a+ cos 故解析由 tan a+1得 tan a=-.n 返cos a 4sin a+ cos a=2 謔sin a= 255.在厶ABC中，內角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,已知3C= 2A, cos A= 4,b= 5，則 ABC的面積為A.15 7C. 4B答案 A3 1解析cos A= ;, cos C= 2cos2A 1 =：,4 8sin C= , tan C= 3 7,如圖，設 AD = 3x, AB = 4x, CD = 5 3x, BD =7x. 在 Rt DBC 中，tan C= -BD =亠仝=3 7,CD

28、5 3x 彳解之得：BD = 7x= 3 7, Gabc= ?BD AC= 5.37. 函數(shù)f(x) = sin 2x 4sin xcos x(x R)的最小正周期為nA.8nB.4nC.2答案2f(x) = sin 2x 2sin 2xsin x2=sin 2x(1 2sin x)1=sin 2xcos 2x= sin 4x,解析所以函數(shù)的周期為t=2n= 2n=n，342選C.8. 在厶ABC中，AC =甫,BC= 2, B= 60 貝U BC邊上的高等于3A込 CW+V6B竝B. 23+ 39D答案 B解析 設 AB = a,則由 AC2= AB2+ BC2 2AB BCcos B 知 7= a2+ 4 2a,即卩 a2 2a 3 =0,a = 3(負值舍去). BC 邊上的高為 AB sin B= 3 x -3 = 33.二、填空題n I9.在銳角ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b = 2,B= 3且sin 2A+ sin(AC) = sin B，則 ABC的面積為 .答案 ，3解析/ sin 2A= sin B sin(A C), 2si