第三章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)矩陣的初等變換與線性方程組

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第三章矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié)矩陣的初等變換初等行變換1對(duì)調(diào)兩行，記作（r rj）。2以數(shù)k=0乘以某一行的所有元素，記作（n k）。3把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去，記作（n krj）。初等列變換：把初等行變換中的行變?yōu)榱校礊槌醯攘凶儞Q， 所用記號(hào)是把“ r”換成“ c”。擴(kuò)展矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換，初等變換的逆變換仍為初等變換且類型相同。矩陣等價(jià)如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣 B,就稱矩陣A與B等價(jià)。等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)（1）反身性 AA（2）對(duì)稱性若A B，則B A;（3）傳遞性 若 AB,BC,則 AC。（課本P59）行階梯

2、形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零， 每個(gè)臺(tái)階只有一行， 臺(tái)階數(shù)即是非零 行的行數(shù)階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也是非零行 的第一個(gè)非零元。行最簡(jiǎn)形矩陣：行階梯矩陣中非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0.E O）標(biāo)準(zhǔn)型：對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣再施以初等列變換，可以變換為形如F = r的矩陣，稱I。丿m漏為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是所有與矩陣A等價(jià)的矩陣中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣。初等變換的性質(zhì)設(shè)A與B為m x n矩陣，那么r(1) ALB=存在m階可逆矩陣P,使PA = B;c(2) AB：=存在n階可逆矩陣Q,使AQ二B;(3) ALB=存在m階可逆

3、矩陣P,及n階可逆矩陣Q,使PAQ = B;初等矩陣：由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣。初等矩陣的性質(zhì)設(shè)A是一個(gè)mxn矩陣，則(1) 對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的 m階初等矩陣;r 即AB= 存在m階可逆矩陣P,使PA = B;(2) 對(duì) A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的 n階初等矩陣；c 即AB= 存在n階可逆矩陣Q,使AQ二B；(3) AB=存在m階可逆矩陣P,及n階可逆矩陣Q,使PAQ二B;(4) 方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等方陣R, P2,川，P,使A = RP2H| P亠(5) A可逆的充分必要條件是A Eo (課本P

4、?)初等變換的應(yīng)用(1)求逆矩陣:(A|E)初等行變換,e|A4或IE丿初等列變換(2)求 A-1b : A(代B)(E,P),即(A| B)行一；：.E | AB ,則 P=A-1b?；虺醯攘凶儞Qt第二節(jié)矩陣的秩矩陣的秩 任何矩陣Amn，總可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換把它變?yōu)樾须A梯形，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的。(非零行的行數(shù)即為矩陣的秩)矩陣的秩 在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D,且所有r + 1階子式(如果存在的話) 全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式。 數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)規(guī) 定零矩陣的秩，R(0)=0.說(shuō)明1. 矩陣 Amxn,則 R(A) w min,

5、n;2. R(A) = R(AT);3. R(A) 的充分必要條件是至少有一個(gè)r階子式不為零；4. R(A) W的充分必要條件是所有r + 1階子式都為零.滿秩和滿秩矩陣矩陣人=佝)咖，若R(A)=m，稱A為行滿秩矩陣；若R(A) = n ,稱A為列滿秩矩陣；若A為n階方陣,且R(A)二n,則稱A為滿秩矩陣。若n階方陣A滿秩，即R(A)二n=A = 0；A，必存在；=A為非奇異陣；=A必能化為單位陣En,即A En.矩陣秩的求法定理1 矩陣A經(jīng)過(guò)有限次行(列)初等變換后其秩不變。即若AB,則R(A)=R(B)。矩陣Am x n,經(jīng)過(guò)有限次初等行變換可變?yōu)樾须A梯形，則非零行的行數(shù)就是A的秩。(證

6、明課本P?) 推論 若P、Q可逆，則R(PAQ)=R(A)(課本P?)矩陣秩的性質(zhì)總結(jié)(1) 0R(Amn)Emi nm, n (2) R A 刁 RA (3)若 A B,則 RA=RB 若P、Q可逆，則R(PAQ)二R(A)(5) maxR(A), R(B) R(A, B)豈 R(A) R(B)特別當(dāng)B二b為非零列向量時(shí)，有 R(A)乞R(A,b) R(A) 1.(6) R(A B)乞 R(A) R(B)(7) R(AB)乞 min R(A), R(B).(8) 若AmnBni=O,則 R(A) R(B)豈 n.(9) 設(shè)AB=O，若A為列滿秩矩陣，則B=O (矩陣乘法的消去率)。(課本P7

7、1)第三節(jié)線性方程組的解a11x1 + a12x2 11 +a1nx bl線性方程組吐必+a22X2 +川+釘人電如果有解，則稱其為相容的，否則稱為不相容mill min ihhi minamM +am2X2 +川 +amnx =bm定理2 n元齊次線性方程組 Ax=0(1) R(A) = n 二 Ax=0 有唯一解，零解(2) R(A) n 二 Ax=0 有非零解.定理3 n元非齊次線性方程組 Ax = b(1) 無(wú)解的充分必要條件是R(A) :：: R(A, b)(2) 有唯一解的充分必要條件是R(A) =R( Rb) =n(3) 有無(wú)限多接的充分必要條件是R(A) =R(代b) n (證

8、明課本P71)基礎(chǔ)解系齊次線性方程組 Ax = 0的通解具有形式x = c, 1 c2 2(c1, C2為任意常數(shù))，稱通解式x二c, 1 C22 G,C2為任意常數(shù) 中向量 仆；構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。 線性方程組的解法齊次線性方程組：將系數(shù)矩陣A化成行階梯形矩陣，判斷是否有非零解 .若有非零解，化成 行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出其解；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有的向量個(gè)數(shù)為n-R(A),齊次線性方程組的通解可以表成基礎(chǔ)解系的線性組合”。非齊次線性方程組：將增廣矩陣B=(A,b)化成行階梯形矩陣，判斷其是否有解若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出其解；在求解過(guò)程中，一般取行最簡(jiǎn)形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元 對(duì)應(yīng)的未知量為非自由的。非齊次線性方程組解的通解具有形式1 c2*