恒成立問題基本題型及解題方法

1、恒成立問題基本題型及解題方法恒成立問題一直以來都有是數(shù)學中的一個重點、難點，這類問題也沒有一個固定的思想方法去處理， 各類考試以及高考中都屢見不鮮。如何更好地簡單，準確，快速解決這類問題并更好地認識把握，本文通 過舉例說明這類問題的一些常規(guī)解題方法。一轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用分類討論思想解題例1. 已知函數(shù)f(x)=x 2-2ax+4在區(qū)間-1 , 2上都不小于2，求a的值。解：由函數(shù)f(x)=x 2-2ax+4的對稱軸為x=a 所以必須考察a與-1, 2的大小，顯然要進行三種分類討論1.當a _2時f(x)在-1 , 2上是減函數(shù)此時3f (x)min= f(2)=4-4a+4 - 2 即ad

2、? 結(jié)合a亠2,所以a的解集為2 .當a _ -1時f(x)在-1 , 2上是增函數(shù)，3f (x) min= f(-1)=1+2a+4 2 結(jié)合 a -1 即a _ 122 23.當-1a4x+a-3都成立的x的取值范圍。解：不等式變形為 x2+(x-1)a-4x+30設(shè)f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，則其是關(guān)于 a的一個一次函數(shù)：是單調(diào)函數(shù) 結(jié)合題意有f(0) 0即Cx2-4x3.0 得x ： -1或x 3f(4) 0x2-1 0三利用不等式性質(zhì)解題例3若關(guān)于x的不等式|x-2|+|x+3| _a恒成立，試求a的范圍解：由題意知只須 a蘭(x-2+|x+3)min由 x 2 +|

3、x+3 詡x2(x+3) =5 所以 a5四 構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求最值：1例 4已知 f(x) lg(x 1) g(x)=lg(2x t)若當 x 0,1時 f(x) g(x)在0, 1恒成立，求實數(shù) t 2的取值范圍。解：f(x)乞g(x)在0, 1上恒成立，即.x，1-2x-t0在0, 1上恒成立令F(x；:-x 1 -2x -t 則須F(x)在0, 1上的最大值小于或等于0所以F(x)=1-2x 12Px+1又0,1所以F (x)：0即F(x)在0, 1上單調(diào)遞減所以 F(x)max 二 F(0) 即 F (x)乞 F (0) = 1-t 乞 0 得(說明：若將恒成立改成有解，即f(X)乞g(X)在0， 1上有解，則應(yīng)F(X)min乞0。)分離參變量，變換成函數(shù)問題已知二次函數(shù)f(xax2 x 1對x0,21恒有f (x) . 0，求a的取值范圍。解:對 x 0,2 恒有 f (x) 0 即 ax2 x 10 變形為 ax2 乜一(x 1)當x=0時對任意的a都滿足f(x) 0只須考慮x = 0的情況八(x+嘰一 11a2 即 a - -2xx x要滿足題意只要保證 a比右邊的最大值大。1 1現(xiàn)求-_ - 2在xx x0,21上的最大值。令1 2 1 g(t) 一t -t 一(t)413g(t)max =g(；)所以 a4(tttx1)22又f(x)=ax x 1是二次