機械設(shè)計中病態(tài)問題求解方法(在機構(gòu)綜合中應(yīng)用)

1、機械設(shè)計中病態(tài)問題求解方法(在機構(gòu)綜合中應(yīng)用) 摘要本文應(yīng)用矩陣的“偽秩”概念，求解病態(tài)位置的機械設(shè)計問題。該方法計算穩(wěn)定性、收斂性好。 關(guān)鍵詞矩陣 偽秩 求解 病態(tài) 中圖分類號TH122 文獻標(biāo)識碼A文章編號1009-5349（2011）01-0080-03 引言 在機構(gòu)綜合、機器人運動學(xué)計算中，常常出現(xiàn)線性方程組的求解問題，由于機構(gòu)參數(shù)、機器人逆運動學(xué)計算不同位置以及非線性方程迭代的初始值選擇等會使要求解的方程組本身出現(xiàn)病態(tài)（奇異）或近病態(tài)（奇異）方程組。同時由于問題中的數(shù)據(jù)本身具有一定的誤差，加上計算機進行計算的過程中，由于計算機的字長有限，不可避免地要產(chǎn)生舍入誤差，這兩種誤差都會使現(xiàn)行

2、方程組出現(xiàn)病態(tài)（奇異）和近奇異問題。如對奇異位置和近病態(tài)位置問題求解不當(dāng)，所得到的計算結(jié)果并不是原始問題的解。本論文應(yīng)用矩陣“偽秩”概念求解病態(tài)（奇異）方程，該方法計算穩(wěn)定性、收斂性好，計算速度快。 一、計算問題的良態(tài)、病態(tài) 線性方程組Ax=b 式中：x是含n個未知量的n維向量。 b是一個m維向量。 A是mn階矩陣。 線性方程組的求解問題有兩種。一種是相容方程組的求解，它是指存在向量xR滿足方程組。另一種是不相容方程組的求解，方程組，當(dāng)mn或mn但矩陣A的秩小于m時，它是指不存在一般意義下的xR滿足方程組。這種方程又稱為矛盾方程組。 不論是相容方程組還是矛盾方程組，方程組的解為： x=A+b

3、式中：A+是矩陣A的廣義逆矩陣。當(dāng)矩陣A是一個nn階矩陣，且矩陣A秩等于n時，A+=A-，A-是矩陣A的逆矩陣。 在求解方程時，由于實際問題的數(shù)據(jù)誤差及計算機的舍入誤差，使得在應(yīng)用計算機求解方程組時，實際上是求解一個攝動方程： (A+A)(x+x)=b+b 式中A、x和b方程式矩陣A，常數(shù)變量b和未知變量x的攝動量，根據(jù)Banach引理的推論可知，從理論上講只要A-A1且當(dāng)b、A都趨于零時， lim(x+x)=lim(A+A)-1(b+b)=A-b=x A0A0 x0b0 就是說只要A和b足夠小，總可以使解的攝動量x小到任意規(guī)定的程度，而逆矩陣(A+A)-1也可以逼近到A-到任意的精確程度。實

4、際上它僅僅是一種純理論的結(jié)果，實際并非如此。其原因一方面是攝動量是不可避免的。因?qū)嶋H問題中數(shù)據(jù)往往是由于實驗測定或計算所得到的，數(shù)據(jù)誤差是不可避免的，另外計算機的字長限制不可避免地有舍入誤差存在；另一方面從計算機字長有限這一觀點來看，攝動量的相對精度如A/A或b/b是有一定局限的，它們并不能任意小。 由上分析可知，對于一個給定的計算問題所必須研究的一個重要問題是：問題中參數(shù)的微小變動，對問題的解會產(chǎn)生什么樣的影響。這就是問題（理論）解對于參數(shù)變動的敏感性問題。如果問題中參數(shù)的微小攝動能所引起的相對攝動不大，稱這種計算問題為良態(tài)問題。但是若問題中參數(shù)有微小的相對攝動時，解會引起“巨大”的相對攝動

5、，這種問題稱之為病態(tài)問題或是奇異問題。病態(tài)問題是計算數(shù)學(xué)領(lǐng)域中普遍存在的問題。因此，在進行實際計算時，如何判別問題的良態(tài)、病態(tài)、病態(tài)程度以及如何解決病態(tài)問題的求解是十分重要的。 二、病態(tài)程度的度量 對廣義逆矩陣的計算問題以及與其相關(guān)聯(lián)的最小二乘問題的病態(tài)程度，可用相應(yīng)的矩陣條件數(shù)k(A)來度量。 k(A)=A+A k(A)越大，“病態(tài)”越嚴(yán)重，k(A)越小，“良態(tài)”越好。 三、病態(tài)問題的處理方法 在許多實際計算問題中，所遇到的參數(shù)矩陣A常常是滿秩的（理論證明是滿秩的），但如果按滿秩進行計算，不僅得不到好的計算結(jié)果，甚至?xí)褂嬎悴荒苓M行下去。為解決此問題常采用降秩方法，引用矩陣的“偽秩”概念解決

6、病態(tài)問題。 設(shè)矩陣A是一個mn實矩陣，A=a1,a2,anT，其中ai是矩陣A的列向量。 定義 設(shè)為給定的一個正的小數(shù)，若 Ear+1/a1,a2,ar，Ear/a1,a2,ar-1 稱矩陣A的秩為r，其中E是向量對向量系相對相關(guān)指標(biāo)（1） 從實際計算的角度來講，病態(tài)方程的真秩往往是難以確定的。而實際在許多計算中，并不需要計算矩陣的真秩。重要的是，為使計算能得到較好的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)設(shè)法確定它的某一個-秩，即矩陣的偽秩。 為了控制矩陣A病態(tài)的危害程度，常根據(jù)實際精度適當(dāng)選取一個正小數(shù)來確定A的一個降秩近似，在計算中采取這種措施，就可以避免舍入誤差影響的惡化，從而提高算法的數(shù)值穩(wěn)定性。 四、矩陣偽秩的

7、確定和線性方程的求解 為計算矩陣A的偽秩，對矩陣A進行LU分解。 設(shè)A是一個mn階矩陣，并假定偽秩r=Rank(A)，則A分解成一個mr的單位下三角陣L和rn的上三角陣U，即 A=LU 式中： 為了使計算不遇到不應(yīng)有的中斷，并且加強數(shù)值穩(wěn)定性，應(yīng)采取選主元的措施。本論文采取全面選主元法對矩陣 A作滿秩LU分解。 矩陣A的秩實際上事先并不知道，只能在計算過程中確定它的一個適當(dāng)?shù)闹取榇?，根?jù)實際計算要求，給定一個控制量(一般比計算機相對精度要大一些)，如果在第 k+1步所選的主元的絕對值小于時，就確定r=k，即為矩陣A的-秩。 矩陣A進行L分解，方程的解為 x=uT(uuT)-1(LTL)-1L

8、Tb A+=uT(uuT)-1(LTL)-1LTb 五、例題及計算結(jié)果 （一）機構(gòu)剛體導(dǎo)引設(shè)計 圖1中，在連桿平面上任選一點C1，其坐標(biāo)為C1(XC1,YC1)。P12C1直線方程 P12C1直線繞轉(zhuǎn)動極P12轉(zhuǎn)12/2后的直線方程為： 式中： P13C1直線方程是： P13C1直線繞轉(zhuǎn)動極P13轉(zhuǎn)12/2后的直線方程為： 式中： 固定鉸鏈中心OC坐標(biāo)(XOC,YOC)為直線和的交點坐標(biāo)，解得： 同理，在連桿平面上再另任選一點D1，固定鉸鏈中心OD的坐標(biāo)的計算同前（見圖1）。 由于C1、D1點是在連桿平面上任意選擇的，所以給定連桿平面的三個位置設(shè)計四桿機構(gòu)可有無窮多解。 圖1 【例】圖1所示，

9、A1(17.0，24.0)，B1(37.0，35.0)， A2(40.0，24.0)，a12=-63，A3(8.0，42.0)，a13=-30， C1(8.0，42.0)，D1(41.0，38.0)。編程計算得：OC(24.5，36.6)，OD(42.1，12.9)。 （二）機構(gòu)函數(shù)再現(xiàn)設(shè)計 圖2()所示，連架桿1、3對機架OAOB的三組對應(yīng)位置分別為、與、，相對應(yīng)位移是12和12及13和13。兩連架桿角位置的對應(yīng)關(guān)系僅與各桿的相對長度有關(guān)，適當(dāng)選取機架OAOB的長度。圖中OA、OB為固定鉸鏈中心，再任選定一個連架桿的長度，圖2(b)所示，在連架桿3上選取OBB1。連接OAB2、OAB3，將O

10、AB2OB剛化后繞OA反轉(zhuǎn) -12至OAB2OB，同理將OAB3OB剛化后繞OA反轉(zhuǎn)-13至OAB2OB。轉(zhuǎn)化后原連架桿OBB1變?yōu)檫B桿，即將函數(shù)再現(xiàn)設(shè)計轉(zhuǎn)化為剛體導(dǎo)引設(shè)計，轉(zhuǎn)化后得連桿的三個位置分別為：OBB1、OBB2、OBB3。由于固定鉸鏈中心OA、OB已確定，現(xiàn)在的設(shè)計任務(wù)是確定鉸鏈中心A和B的位置。為此通過 B2和B3坐標(biāo)B2(XB2,YB2)和B3(XB3,YB3)使用轉(zhuǎn)動矩陣RM計算B2和B3的坐標(biāo)B2(XB2,YB2)和B3(XB3,YB3)得： 圖2(c)，已知連桿三個位置OBB1、OBB2、OBB3確定鉸鏈中心A、B的位置可用以上介紹的剛體導(dǎo)引設(shè)計方法進行設(shè)計計算。由于設(shè)計

11、時固定鉸鏈中心OA、OB及連架桿3的長度OBB1是任意選定的，所以已知連架桿三組對應(yīng)關(guān)系設(shè)計四桿機構(gòu)可有無窮多解。 () (b) (c) 圖2 【例】圖2所示，OA(0.0，0.0)，OB(35.0，0.0)， B1(30.0，16.0)，a12=42，a13=97，12=23，13=49。編程計算得：A1(-4.6，6.1) 六、結(jié)論 本論文引用矩陣“偽秩”概念求解病態(tài)線性方程組，用全面選主元法進行矩陣LU分解。該方法在計算過程中可自動確定方程系數(shù)矩陣的秩，可同時適用于良態(tài)和病態(tài)方程的計算，在機械設(shè)計計算中，穩(wěn)定性好、收斂性好、計算速度快。 【參考文獻】 1何旭初.廣義逆矩陣的基本理論和計算方法.上海科學(xué)技術(shù)出版社出版,198