畢業(yè)論文-對(duì)稱性與守恒律關(guān)系的研究

1、物理與信息科學(xué)學(xué)院2009屆畢業(yè)論文分類號(hào) N34 對(duì)稱性與守恒律關(guān)系的探究馬新平（天水師范學(xué)院 物理與信息科學(xué)學(xué)院 甘肅 天水 741000）摘要 關(guān)于對(duì)稱性和守恒定律的研究一直是物理學(xué)中的一個(gè)重要領(lǐng)域，物理學(xué)關(guān)于對(duì)稱性與守恒定律的本質(zhì)以及二者之間關(guān)系探索的一個(gè)重要進(jìn)展是諾特定理的建立，定理指出，如果運(yùn)動(dòng)定律在某一變換下具有不變性，必相應(yīng)地存在一條守恒定律簡(jiǎn)言之，物理定律的一種對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)地存在一條守恒定律每一種變換下的不變性，都對(duì)應(yīng)一種守恒律，意味著存在某種不可觀測(cè)量。例如，時(shí)間平移不變性，對(duì)應(yīng)能量守恒，意味著時(shí)間的原點(diǎn)不可觀測(cè)；空間平移不變性，對(duì)應(yīng)動(dòng)量守恒，意味著空間的絕對(duì)位置不可觀測(cè)；

2、空間旋轉(zhuǎn)不變性，對(duì)應(yīng)角動(dòng)量守恒，意味著空間的絕對(duì)方向不可觀測(cè).本文首先從對(duì)稱的分類、對(duì)稱的多維分析闡述。著重從經(jīng)典和量子力學(xué)的范圍內(nèi)討論了對(duì)稱和守恒之間的關(guān)系。也指出對(duì)稱破缺存在的意義，最后得出它們之間的關(guān)系。關(guān)鍵詞 對(duì)稱性 ； 守恒律 ； 時(shí)間平移不變性 ； 空間平移不變性； 空間旋轉(zhuǎn)不變性 ； 不可觀測(cè)量 ； 對(duì)稱破缺。1 對(duì)稱的分類常見的對(duì)稱性有以下幾種：1、空間和時(shí)間平移對(duì)稱。在三維空間中，沿任意方向移動(dòng)任意距離，在空間也是一樣的，具有平移對(duì)稱；在平面上，沿平面任意平移也具有對(duì)稱性。2、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。一個(gè)球體，無論怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，看上去都一樣，具有球?qū)ΨQ性；在各向同性的空間中，繞任意軸或任意點(diǎn)

3、旋轉(zhuǎn)任意角度，空間也是等價(jià)的，具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。3、鏡像反演對(duì)稱。人及物體的左右對(duì)稱，就是以中軸面為鏡像的鏡像對(duì)稱。4、物理定律的對(duì)稱性。物理定律的對(duì)稱性就是指物理定律經(jīng)某種變換以后形式不變。在任何地方，任何時(shí)間，運(yùn)動(dòng)的物理都遵從相同的物理定律，因而物理定律具有空間平移對(duì)稱性和時(shí)間平移對(duì)稱性；無論朝著哪個(gè)方位，物體的運(yùn)動(dòng)都遵從相同的物理定律，因而物理定律具有空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.2 對(duì)稱性的多維分析2. 1相互作用與對(duì)稱性對(duì)稱性是自然界的一種基本屬性, 而物理學(xué)是研究自然界基本屬性的科學(xué), 因此物理學(xué)廣泛研究對(duì)稱性. 物理學(xué)中的對(duì)稱性是指某物理量或其分量在隨著某種變換而保持不變的屬性. 物理學(xué)的本質(zhì)是

4、研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律, 而對(duì)稱性是研究某種物理量或其分量在某種變換下的結(jié)果狀態(tài): 變換后仍保持不變則具有對(duì)稱性, 變換后發(fā)生了變化則不具有對(duì)稱性, 不對(duì)稱性在某種意義上又可以達(dá)到更高層次的對(duì)稱性. 物理規(guī)律從牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀,發(fā)展到愛因斯坦的相對(duì)論時(shí)空觀, 甚至量子力學(xué)的時(shí)空特性都遵從時(shí)空的均勻性和各向同性, 時(shí)空對(duì)稱性是力學(xué)量守恒的本質(zhì). 決定物理運(yùn)動(dòng)的根源在于其內(nèi)部及外部的相互作用,而體系的對(duì)稱性也就是相互作用的對(duì)稱性, 是相互作用在某些變換下的不變性, 物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)歸究于它所受的相互作用, 楊振寧博士進(jìn)一步提出“對(duì)稱性支配相互作用”的原理 9 , 可見研究對(duì)稱性意義很大.2. 2因果性與

5、對(duì)稱性世界上的事物都受著因果關(guān)系的制約. 對(duì)于一條因果關(guān)系, 具有可重復(fù)性和預(yù)見性. 原因必然產(chǎn)生結(jié)果, 如果原因中有對(duì)稱性, 結(jié)果中也有對(duì)稱性. 對(duì)稱性原理指出: 原因?qū)ΨQ群是結(jié)果對(duì)稱群的子群. 或者說: 結(jié)果中的對(duì)稱性至少有原因中的對(duì)稱性那么多. 當(dāng)給出的“原因”不足以唯一確定“結(jié)果”時(shí), 就要將全部可能出現(xiàn)的“結(jié)果”放在一起考慮, 即: 結(jié)果中全部可能的對(duì)稱性的集合至少有原因中的對(duì)稱性那么多. 原因?qū)ΨQ群中的每個(gè)元素必須反映在結(jié)果對(duì)稱群中, 結(jié)果對(duì)稱變換不一定是原因?qū)ΨQ變換, 這是對(duì)稱性在變化過程中普遍遵循的一條原理.因果關(guān)系是自然界的普遍關(guān)系. 在微觀世界中, 薛定諤方程是時(shí)間的一次偏

6、微分方程,波函數(shù)完全由初始時(shí)刻的狀態(tài)波函數(shù)決定, 這是微觀因果性的體現(xiàn); 海森堡不確定關(guān)系也只是在應(yīng)用因果原理時(shí)才可表示為: 對(duì)微觀粒子來說, 其位置的準(zhǔn)確觀察是不能同時(shí)準(zhǔn)確確定其動(dòng)量的原因. 既然因果律是客觀存在的一條普遍規(guī)律, 對(duì)稱性原理也是客觀世界普遍遵循的一條規(guī)律, 趙凱華教授認(rèn)為 10 “對(duì)稱性原理屬于凌駕于物理學(xué)基本規(guī)律之上的更高法則”;魏格勒也認(rèn)為 11 :“對(duì)稱性原理是自然界普適的原理, 它的存在對(duì)自然定律的優(yōu)美作出了無比的貢獻(xiàn), 如果沒有它的存在, 許多定律就不會(huì)被人發(fā)現(xiàn)”.2. 3相對(duì)性與對(duì)稱性對(duì)稱是相對(duì)的, 非對(duì)稱是絕對(duì)的, 對(duì)稱與非對(duì)稱之間的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)出相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)和規(guī)

7、律; 相對(duì)性與對(duì)稱性在物理規(guī)律中體現(xiàn)出密切的聯(lián)系, 如: 伽利略變換對(duì)力學(xué)規(guī)律具有變換不變性, 而對(duì)光學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)規(guī)律這種對(duì)稱性被打破, 而被洛倫茲變換不變性取代, 如果把物理規(guī)律擴(kuò)展到所有參考系下等價(jià), 就必須用張量來描述包括非慣性系在內(nèi)仍保持物理規(guī)律變換不變的廣義協(xié)變性原理, 廣義協(xié)變?cè)硎菒垡蛩固箤㈦[含在狹義相對(duì)性原理中的更抽象的對(duì)稱性原理提取出來, 成為廣義相對(duì)論的一條基本原理, 可見有對(duì)稱性的地方就有相對(duì)性, 相對(duì)性不過是對(duì)稱性的另一個(gè)方面而已3 物理學(xué)中的對(duì)稱性與守恒律3.1對(duì)稱性與守恒定律關(guān)于對(duì)稱性與守恒律之間的關(guān)系的探究，我們通過特例，將特例從經(jīng)典和量子兩個(gè)角度進(jìn)行如下討論

8、。從而得出守恒律與對(duì)稱性間的關(guān)系。首先從經(jīng)典角度討論3. 1.1對(duì)稱性與守恒律諾特定理揭示出時(shí)空連續(xù)對(duì)稱變換和守恒定律之間的聯(lián)系: 使作用量的變分等于零的任一連續(xù)對(duì)稱變換, 對(duì)應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)守恒定律. 諾特定理實(shí)質(zhì)上把物理現(xiàn)象中表現(xiàn)出來的守恒定律與其背后的對(duì)稱性挖掘出來: 對(duì)于自然界中的每一個(gè)對(duì)稱性, 相應(yīng)地都有一個(gè)守恒定律, 而對(duì)于每一個(gè)守恒定律, 則有一個(gè)對(duì)稱性。下面我們通過機(jī)械能函數(shù)對(duì)空間平移的對(duì)稱性直接導(dǎo)出動(dòng)守恒定律。為了簡(jiǎn)化, 取一個(gè)特例設(shè)二質(zhì)點(diǎn)組成的保守孤立系統(tǒng)二質(zhì)點(diǎn)的位坐標(biāo)為,:且二質(zhì)點(diǎn)均沿x軸以相同速度運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)機(jī)械能為 總動(dòng)能 總勢(shì)能 總動(dòng)能作空間平移, 讓坐標(biāo)系發(fā)生一位移此時(shí)二

9、質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)楹投|(zhì)點(diǎn)速度為 （11）（11）式知二質(zhì)點(diǎn)的速度不變即知各自動(dòng)能及總動(dòng)能不變。二質(zhì)點(diǎn)間距離 （12）（12）式知二質(zhì)點(diǎn)間距離不變即系統(tǒng)的總勢(shì)能不變。故有 即 因?yàn)?所以 （13）二質(zhì)點(diǎn)各自受到對(duì)方的作用力是保守力, 故有 （14）將（14）帶入（13）得 （15）據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理有 （16）由（15）和（16）得故 =恒量這也正是動(dòng)量守恒方程，于是從機(jī)械能對(duì)空間坐標(biāo)系的平移對(duì)稱性導(dǎo)出動(dòng)量守恒。3.1.2 空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒下面我們研究機(jī)械能空間轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱性導(dǎo)致角動(dòng)量守恒。仍取一個(gè)特例設(shè)有二質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng), 二質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)分別為o和。1號(hào)質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)系原點(diǎn)。又知2號(hào)質(zhì)點(diǎn)只受到1號(hào)質(zhì)點(diǎn)

10、的作用力, 此力為保守力當(dāng)然也是有心力。令2號(hào)質(zhì)點(diǎn)速度 質(zhì)量為m?？紤]到空間轉(zhuǎn)動(dòng), 令坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過一無窮小量一 則有： =及 （21）坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)不能影響二質(zhì)點(diǎn)的距離。故有： (22)機(jī)械能增量為 (23)而 = (24)且 (25)由(24)和 (25)得 ， 故有 即 E=恒量。 可見, 機(jī)械能對(duì)空間轉(zhuǎn)動(dòng)具有對(duì)稱性也就是不變性。2號(hào)質(zhì)點(diǎn)受到的力矩為 而 故有據(jù)角動(dòng)量定理有故為恒量，可見機(jī)械能對(duì)空間轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱性必然導(dǎo)致角動(dòng)量守恒律。3.1.3.時(shí)間平移對(duì)稱與能量守恒律設(shè)二質(zhì)點(diǎn)組成孤立保守系統(tǒng)。1號(hào)坐標(biāo)為零且靜止, 2號(hào)坐標(biāo)為X 且以沿X軸飛出。系統(tǒng)機(jī)械能為：考慮到時(shí)間平移, 令時(shí)間軸移動(dòng)即時(shí)間

11、推移總機(jī)械能為 （31）時(shí)間平移不變對(duì)稱性要求總機(jī)械能E不顯含時(shí)間t, 即 或=0 （32） 實(shí)際上因?yàn)楣视?（33）由（33）知E為恒量?？梢姍C(jī)械能守恒律是對(duì)時(shí)間平移對(duì)稱性（不變性）的必然結(jié)果。從量子角度討論3.2.1空間平移不變性和動(dòng)量守恒定律空間平移 與之相應(yīng) 體系沿Z方向做無窮小平移:此時(shí)有： 其中 同理可得：從而體系沿任意方向做無窮小變換：.類比上述做法可得： ， 其中 體系做有限平移： 其中為的生成元，為動(dòng)量算符，若物理體系對(duì)變換具有空間平移不變性（對(duì)稱性），則要求，從而，即P是守恒量，也就是量子體系的動(dòng)量守恒。3.2.2空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性和角動(dòng)量守恒定律空間轉(zhuǎn)動(dòng)：與之相應(yīng) 體系繞Z軸

12、作無窮小轉(zhuǎn)動(dòng)： 當(dāng)無窮小轉(zhuǎn)角時(shí)有 ， 相應(yīng)地，其中 同理可得： ， 體系繞任意方向做無窮小轉(zhuǎn)動(dòng)，類比上述做法可得，其中為角動(dòng)量算符，為任意方向的一個(gè)單位向量體系作有限轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)： 如存在自旋與軌道角動(dòng)量的耦合， 則：J為的生成元，為總角動(dòng)量算符。若量子體系對(duì)變換具有空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性（對(duì)稱性），則要求，從而,就是守恒量，也就是量子體系的總角動(dòng)量守恒。3.2.3時(shí)間平移不變性和能量守恒時(shí)間平移：，與之相應(yīng)即， 體系作無窮小時(shí)間平移： 與之相應(yīng)： 其中 體系的哈密頓量（也是體系的能量算符），為時(shí)間平移生成元。 若量子體系對(duì)變換具有時(shí)間平移不變性（對(duì)稱性），則要求，從而，事實(shí)上后者是恒等式，可見量子體系的總

13、能量守恒。無論從經(jīng)典還是量子角度，從以上推導(dǎo)可以看出：力學(xué)的三大守恒定律實(shí)際上是，空間的均勻性和各向同性、時(shí)間的均勻性的具體表現(xiàn)。自然界中的三個(gè)守恒定律分別聯(lián)系于空間平移對(duì)稱性、空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性和時(shí)間平移對(duì)稱性,自然界的對(duì)稱性比守恒定律更帶有根本性,可以認(rèn)為每一條守恒定律均分別以某種對(duì)稱性作為它的更深一層的物理原因。4 對(duì)稱性破缺我們談的都是守恒。其實(shí)有些情況下某些量就不守恒，例如弱相互作用下的宇稱就不守恒。這就意味著不對(duì)稱或?qū)ΨQ破缺情況的存在，對(duì)于不對(duì)稱是顯而易見的，而對(duì)稱性的破缺是指在一定條件下原來具有對(duì)稱性的物理規(guī)律不再具有了變換不變性.對(duì)稱性破缺一般有兩方面:(1) 明顯的對(duì)稱破缺: 由

14、較弱的相互作用不具對(duì)稱性而引起對(duì)較強(qiáng)的相互作用的對(duì)稱性破壞, 這時(shí)作為對(duì)稱性是近似的, 只有在可以忽略較弱相互作用的過程中才近似成立(2) 對(duì)稱性的自發(fā)破缺:一個(gè)原先具有較高對(duì)稱性的系統(tǒng)，在沒有受到任何不對(duì)稱因素的影響突然間對(duì)稱性明顯下降的現(xiàn)象稱為對(duì)稱性的自發(fā)破缺。當(dāng)系統(tǒng)中存在或受到破壞對(duì)稱性的微擾時(shí)，若這種小微擾會(huì)被不斷的放大，最終就會(huì)出現(xiàn)明顯的不對(duì)稱，對(duì)稱性的自發(fā)破缺就是這樣產(chǎn)生的。自然界中，包括人類自身，都是對(duì)稱性自發(fā)破缺的產(chǎn)物。對(duì)稱性自發(fā)破缺對(duì)于認(rèn)識(shí)自然的具有重要的意義。一個(gè)體系的實(shí)際對(duì)稱性可能要比基本物理定律的對(duì)稱性低. 例如: 從無序的熱力學(xué)分支進(jìn)入耗散結(jié)構(gòu)分支是通過自發(fā)對(duì)稱破缺實(shí)

15、現(xiàn)的, 對(duì)于開放系統(tǒng), 這與熱力學(xué)第二定律不矛盾. 經(jīng)典力學(xué)、相對(duì)論和量子力學(xué)中時(shí)間具有反演不變性, 但熱力學(xué)第二定律導(dǎo)出了時(shí)間之矢的特征, 說明并非所有的能量守恒的過程均能實(shí)現(xiàn), 過程是有方向和條件的. 守恒僅是物理規(guī)律的一部分, 事物是變化發(fā)展的, 隨著條件的變更。對(duì)稱性出現(xiàn)破缺, 發(fā)展到一定程度又建立起新的對(duì)稱, 出現(xiàn)新的對(duì)稱性理論體系. 物理學(xué)的理論建立正是沿著對(duì)稱 對(duì)稱破缺 近似對(duì)稱 更大的對(duì)稱 周期性的循環(huán)著.從發(fā)展的眼光來看, 對(duì)稱性破缺創(chuàng)造了世界, 對(duì)稱性破缺是單映射的、隨機(jī)性的不可逆過程,它的方向便是事物發(fā)展的方向.5. 結(jié)束語平移不變性源于空間的均勻性、轉(zhuǎn)動(dòng)不變性源于空間各

16、向同性、時(shí)間平移不變性是時(shí)間均勻性的必然結(jié)果.或物理規(guī)律具有空間平移變換對(duì)稱性，表明空間沒有絕對(duì)的原點(diǎn)，可以任意選擇空間的一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，物理規(guī)律保持形式不變，即絕對(duì)位置是不可測(cè)量的；同樣物理規(guī)律具有時(shí)間平移變換對(duì)稱性，表明時(shí)間也不存在絕對(duì)的零點(diǎn)；同樣物理規(guī)律具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，表明絕對(duì)方向不可測(cè)量。從物理學(xué)的角度看,對(duì)稱性是在某種變換或操作下的不變性. 因此說力學(xué)體系具有動(dòng)量守恒. 角動(dòng)量守恒及能量守恒的條件在本質(zhì)上是時(shí)空對(duì)稱性. 自然界中的三個(gè)守恒定律分別聯(lián)系于空間平移對(duì)稱性、空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性和時(shí)間平移對(duì)稱。所以，自然界的對(duì)稱性比守恒定律更帶有根本性。所以物理定律在某一變換下具有不變性，必

17、相應(yīng)地存在一條守恒定律簡(jiǎn)言之，物理定律的一種對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)地存在一條守恒定律每一種變換下的不變性，都對(duì)應(yīng)一種守恒律，意味著存在某種不可觀測(cè)量。參考文獻(xiàn):【1】李淮江 量子場(chǎng)論導(dǎo)引M昆明:云南科技出版社,1989.【2】章乃森 粒子物理學(xué)M 北京:科學(xué)出版社,1986.【3】胡詩可 等高等量子力學(xué)M 成都:四川大學(xué)出版社,1990.【4】茍?jiān)龉?高等量子力學(xué)M西安:陜西師大出版社,1990.【5】漆安慎, 杜嬋英. 力學(xué)基礎(chǔ)M . 北京: 高教出版社,2005.6【6】P. A. M. 狄拉克. 量子力學(xué)原理M . 北京: 科學(xué)出版社, 1965. 6.【7】朗道, E. M. 票甫帝茨. 量子力

18、學(xué)非相對(duì)論M . 北京: 人民出版社,【8】李政道. 場(chǎng)論與粒子物理學(xué)M . 北京: 科學(xué)出版社, 1980 【9】楊振寧. 近代物理學(xué)史研究(二) , 場(chǎng)與對(duì)稱性.王福山譯M.上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社1986. 2, 【10】趙凱華. 定性與半定量物理學(xué).M 第3 版, 北京: 高等教育出版社, 1994. 39【11】Eugene P W igner. Symmet ry and their h isto ry, Symmet ry in Physics (1690 1980).M In: DoncelMG,Hermann Lm lchelA ,ApalsL ed. Wo rld Scient ific P roceeding of the Internat ionalM eet ing on the H istory of Scient ific Ideas Catalonia. Spain, 1983.【12】梅鳳翔 對(duì)稱性與守恒律J 中國傳媒大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2008.3 【13】德W eyl H. 對(duì)稱M. 上