2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試廣東卷

1、廣東卷（文）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1 若集合 M = 1 , 1 , N= 2, 1 , 0,貝V M AN =（）A. 0, 1B.1C.0D. 1, 12. 已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1 + i）2=（）A . 2i B. 2iC. 2 D. 23下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）2A . y= x+ sin 2x B. y= x cos x1C. y = 2x+ 歹 D. y= x2+ sin xx + 2y

2、0,則z= 2x+ 3y的最大值為（）x0)的左焦點(diǎn)為Fi( 4, 0),則m=()A . 2 B. 3C. 4 D. 99. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，：= (1 , 2)，=(2 , 1),貝*=()A . 5 B. 4C. 3 D. 210. 若集合 E = (p, q, r, s)|0 曲 s4 0sSq s4 0奇vsW4且 p, q, r, s N, F =(t, u, v, w)|0 4 u4 0旬 w0的解集為 .(用區(qū)間表示)12 .已知樣本數(shù)據(jù) X1, X2,，Xn的均值x= 5,則樣本數(shù)據(jù)2X1 + 1, 2X2+ 1,，2Xn +1的

3、均值為.13. 若三個(gè)正數(shù) a, b, c成等比數(shù)列，其中a= 5 + 池,c= 5 2品 則b=.(二)選做題(1415題，考生只能從中選做一題)14. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的正X2程為丿則Cl與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為x = t ,(t為參數(shù)),y = 2 0,故 m = 3.9.解析=選A 由四邊ABCD赴平行四邊形-知廣一八療+AD=(3,-L*itAp * 八廣一(熹 1) * (31 -1) = 5.9. 解析：選A 對(duì)于集合E,當(dāng)s= 4時(shí)，p, q, r可取3, 2, i, 0,故個(gè)數(shù)為4用用=64;當(dāng)s= 3時(shí)，p, q,

4、r可取2, i , 0,故個(gè)數(shù)為3X3X3 = 27;當(dāng)s= 2時(shí)，p, q, r可取i, 0,故個(gè)數(shù)為2X2X2= 8;當(dāng)s= i時(shí)，p, q, r可取0,故個(gè)數(shù)為i XI Xi = i.集合E中元素的個(gè)數(shù)為 64 + 27+ 8+ i = i00.對(duì)于集合F ,當(dāng)u= 4時(shí)，t可取3, 2, i, 0;當(dāng)u = 3時(shí)，t可取2, i, 0;當(dāng)u = 2時(shí)，t可取i, 0;當(dāng)u = i時(shí)，t可取0.故u, t組共可取i0個(gè)，同理，v, w組也可取i0個(gè)，集合F中元素的個(gè)數(shù)為i0Xi0= i00.故 card(E) + card(F)= i00+ i00 = 200.第n卷二、填空題(本大題共

5、5小題，考生作答4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題 中橫線上)(一)必做題(iii3題)10. 解析：由x2 3x+ 4 0 得 x2+ 3x 4 V 0,解得4V XV i.答案：(4, i)12解析：由條件知x = x1 + x2+化5,則所求均值x = 2x1 + 1 + 2x2+ 1 + + 2xn+ 12 ( x1+ ” + Xn)+ n = 2x + 仁 2X5+ 1 = 11.答案：111.13.解析：/ a, b, c 成等比數(shù)列，二 b2= a c= (5 + 2 6)(5 2 6) = 1.又 b0，二 b =答案：1（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）

6、14.解析：由pcos0+ sin 0) = 2 得 x+ y= 2.法-:由x=，,y= 2 2t,得 y2= 8x,聯(lián)立x+y=2,y = 8x,x= 2,得即交點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 4).,y= 4,法二：把x= 2,代入x+ y+ 2= 0得t2+ 2諂t + 2 = 0,解得 t=羽，J即$= 2逅l.y= 4,x= t2,交點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 4）.答案：(2, 4)15解析：由 CE2= BE AE 得(2 3)2 = BE (4 + BE),解得 BE= 2連接 OC(圖略)，貝V OC=2, OC 丄 DE.又 AD 丄 DE, AD / OC ,則OC =雀,答案：3三、解答題（本大

7、題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 ）n(n tan a+ tan 42+ 116.解：(tan a+ 4 =n=一 3.1 tan dan 4sin 2 a(2)sin2 a+ sin acos a cos 2 a 12sin acos asin a+ sin acos a 2cos a2ta n atan a+ tan a 22 X24 + 2 217 .解:(1)由(0.002 + 0.009 5+ 0.011 + 0.012 5 + x+ 0.005 + 0.002 5) 28= 1 得 x= 0.007 5,直方圖中x的值為0.007 5.（2）月平均用電量的

8、眾數(shù)是220+2402=230./ (0.002 + 0.009 5 + 0.011) 80= 0.45V 0.5,月平均用電量的中位數(shù)在220 , 240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為 a,則(0.002 + 0.009 5 + 0.011) 80 + 0.012 5 8a 220)= 0.5,解得 a = 224,即中位數(shù)為 224.（3）月平均用電量在220 , 240）的用戶有0.012 5820 800= 25（戶）,同理可求月平均用電量為240 , 260）, 260 , 280）, 280, 300）的用戶分別有 15戶、10戶、5戶，故抽取比例為11125+ 15+ 10+ 5= 5， 從月

9、平均用電量在220 , 240）的用戶中應(yīng)抽取 2581= 5（戶）.518. 解：（1）證明：四邊形ABCD為長(zhǎng)方形， BC / AD.又BC?平面PDA, AD?平面PDA, BC/ 平面 PDA.（2）證明：/ BC丄CD ,平面PDC丄平面 ABCD ,且平面 PDC門平面ABCD = CD , BC? 平面ABCD , BC丄平面PDC./ PD?平面 PDC, BC 丄 PD.取CD的中點(diǎn)E ,連接PE, AC./ PD = PC , PE 丄 CD , PE= PC2 CE2= .42 32= .7.平面PDC丄平面 ABCD,且平面 PDC門平面 ABCD = CD, PE?平

10、面PDC , PE丄平面 ABCD.由知BC丄平面PDC.又 AD / BC, AD 丄平面 PDC.又 PD?平面 PDC , AD 丄 PD.設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為h,則 V -pda = Vp-acd ,.1 1-pda = acd PE,Sa acd PE =Sa pda故點(diǎn)C到平面PDA的距離為弩.19. 解：(1)當(dāng) n = 2 時(shí)，4&+ 5S2= 80 + S ,即 4 1 +1+ 5 + a4 + 5 1 + 3 = 8 1 +1+ 4 + 1,解得 a4=7(2)證明:由 4Sn +2+ 55= 8Sn+ 1 + Sn_1 (門淳),得 4Sn+ 2 4Sn+ 1 +

11、Sn _ Sn_ 1 = 45+1 45(n 述),即 4an+ 2+ an= 4an +1(n 淳). 4a3+ a1 = 41 = 6= 4a2,2n數(shù)列1= 2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列an2 + 4( n 1) = 4n 2,1n2即 an= (2n 1) -2 01 n 1 數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= (2n 1)三 .20. 解: (1)把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x 3)2+ y2= 4，圓C1的圓心坐標(biāo)為 0(3,0).設(shè)M(x, y), / A, B為過原點(diǎn)的直線I與圓C1的交點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，由圓的性質(zhì)知：MCMO , -；: -； 1-又 V= (3 .I . V)

12、. y),由向量的數(shù)量積公式得 x2 3x+ y2= 0.易知直線l的斜率存在，設(shè)直線I的方程為y= mx,當(dāng)直線I與圓C1相切時(shí)，d =2- 2,Qm2+1解得m=兔55把相切時(shí)直線l的方程代入圓C1的方程化簡(jiǎn)得9x2 30x+ 25= 0,解得x =53當(dāng)直線I經(jīng)過圓C1的圓心時(shí)，M的坐標(biāo)為(3, 0).又/直線I與圓G交于A, B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2 3x+ y2= 0,其中3xW,其軌跡為一段圓弧.3(3)由題意知直線 L表示過定點(diǎn)(4, 0),斜率為k的直線,把直線L的方程代入軌跡 C的方程 x2 3x+ y2= 0,其中 |x3,化簡(jiǎn)得(k2+ 1)x2

13、(3 + 8k2)x+ 16k2 = 0,其中3x3,記 f(x) = (k2+ 1)x2 (3 + 8k2)x+ 16k2,其中3x o若直線L與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，令f(x)= 0.當(dāng)= 0時(shí)，解得k2= 16 ,即k= 3,此時(shí)方程可化為 25x2 120x+ 144= 0,即(5x 12)2解得x=乎 i|, 3 , . k= 滿足條件.當(dāng)少0時(shí)， 若x = 3是方程的解，則f(3) = 0? k= 0?另一根為x= 03,故在區(qū)間5, 3上有且僅 有一個(gè)根，滿足題意. 若x=5是方程的解，則f 3 = 0? k=臺(tái)?另外一根為x=曇，3233,故在區(qū)間 5，3上有且僅有一個(gè)根，滿足題

14、意. 若x= 3和x = 3均不是方程的解，則方程在區(qū)間 3，3上有且僅有一個(gè)根，只需f 3 f(3)0?2 *52、57 k 7.故在區(qū)間3，3上有且僅有一個(gè)根，滿足題意.綜上所述,k的取值范圍是2 221. 解：(1)f(0) = a + |a| a + a= |a|+ a0 時(shí)，2a1,得 aa,且開口向上， f(x)在(g, a)上單調(diào)遞減.綜上，f(x)在a, + g上單調(diào)遞增，在(m, a)上單調(diào)遞減.2由知 f(x)min = f(a)= a a .當(dāng) a= 2 時(shí)，f(x)min= f(2) = 2 ,x2 3x, x 支,4f(x)=2令 g(X)= x(X 0).x2 5X

15、+ 4, XV 2,x當(dāng) xV 2 時(shí)，f(x) = x2 5x+ 4, f(x)在(0 , 2)上單調(diào)遞減, f(x) f(2) = 2.而 g(x) = 當(dāng) x = a 時(shí),g(a)=在(0 , 2)上單調(diào)遞增, g(x) V g(2) = 2 , x f(x)與g(x)在(0 , 2)上無(wú)交點(diǎn).當(dāng) x呈時(shí),f(x) = x2 3x ,f(x) + 4 = 0,即 x3 3 + 4= 0 , 整理得(x 2)2(x+ 1) = 0.又 T x2 , x= 2.4當(dāng)a= 2時(shí)，f(x) + -有一個(gè)零點(diǎn)x當(dāng) a2 時(shí)，f(x)min= f(a) = a a2v 0.當(dāng) x (0 , a)時(shí)，f(0) = 2a 4 ,f(a) = a a2 ,而 g(x)= -在 x (0 , a)上單調(diào)遞增.x又 a a2(a 2)(a2+ a+ 2)af(a)=aaa，如圖，易得當(dāng)a 2時(shí),f(x