小學奧數(shù)教程最完美精編版

1、最新資料推薦1. 和差倍問題【和差問題】【和倍問題】【差倍問題】已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍公式適用范圍 已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關系公式 （和差）* 2=較小數(shù)較小數(shù)+差=較大數(shù) 和-較小數(shù)=較大數(shù) （和+差）* 2=較大數(shù)較大數(shù)差=較小數(shù) 和-較大數(shù)=較小數(shù)和* （倍數(shù)+ 1）=小數(shù) 小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)和-小數(shù)=大數(shù)-23 -差* （倍數(shù)-1）=小數(shù) 小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)+差=大數(shù)關鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2. 年齡問題的三個基本特征: 兩個人的年齡差是不變的; 兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的; 兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的;3. 歸一問

2、題的基本特點:問題中有一個不變的量， 一般是那個“單一量”,題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示。關鍵問題 根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;4. 植樹問題基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹; 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹; 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹；封閉曲線上植樹?；竟?棵數(shù)=段數(shù)+ 1棵距X段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)1棵距X段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù) 棵距X段數(shù)=總長關鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關系5. 雞兔同籠問題基本概念 雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假 設錯的那部分置換出來;基本思路 假設，即假設某種現(xiàn)象存在（甲和

3、乙一樣或者乙和甲一樣）： 假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少; 每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因; 再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟桨阉须u假設成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）+（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）把所有兔子假設成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）+關鍵問題找出總量的差與單位量的差。6. 盈虧問題基本概念 一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果: 按照另一種標準分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標準不同，造成 結(jié)果的差異，由它們的關系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?基本思路 先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化

4、，根據(jù)這個關系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意 求出對象的總量.基本題型一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足 數(shù)）+兩次每份數(shù)的差當兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)） +兩次每份數(shù)的差 當兩次都不足；基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足 數(shù)）*兩次每份數(shù)的差基本特點 對象總量和總的組數(shù)是不變的。關鍵問題 確定對象總量和總的組數(shù)。7.牛吃草問題基本思路 假設每頭牛吃草的速度為“ 1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定 草的生長速度和總草量。基本特點原草量和新草生長速度是不變的;關鍵問題確定兩個不變的量。基本

5、公式 生長量=（較長時間X長時間牛頭數(shù) -較短時間X短時間牛頭數(shù)）+ （長時間-短時間）； 總草量=較長時間X長時間牛頭 數(shù)-較長時間X生長量;8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象 事物在運動變化的過程中， 某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期 我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。關鍵問題確定循環(huán)周期。閏年 一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被 100整除，則年份必須能被 400整除;平年年有365天；年份不能被4整除；如果年份能被100 整除，但不能被400整除;9.平均數(shù)基本公式 平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù) =總數(shù)量+平均數(shù) 平均數(shù)=基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和+總份

6、數(shù)基本算法求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進行計算基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關系，確定一個基準數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù);以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差;再求出所有差的和； 再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體 關系見基本公式。10.抽屜原理抽屜原則一 如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有 個抽屜中至少放有 2個物體。例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把 4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況: 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同

7、特點：總有那么一個抽屜里有 2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。抽屜原則二如果把n個物體放在m個抽屜里，其中nm,那么必有一個抽屜至少有k=n/m +1個物體：當n不能被 m整除時。k=n/m個物體：當n能被m整除時。理解知識點X表示不超過X的最大整數(shù)。例：4.351=4 ; 0.321=0 ;2.9999=2 ;關鍵問題構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算。11 .定義新運算基本概念定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算?；舅悸?嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化 為加減乘除的運算，然后按照基本

8、運算過程、規(guī)律進行運算。關鍵問題 正確理解定義的運算符號的意義。注意事項 新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序; 每個新定義的運算符號只能在本題中使用。12.數(shù)列求和等差數(shù)列 在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍畹炔顢?shù)列的第一個數(shù)，一般用表示;公差:等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用n表示;d表示;an表示;sn表示.基本思路 等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及

9、四 個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。基本公式 通項公式：an= + ( n 1) d;通項=首項+(項數(shù) 1) X公差；數(shù)列和公式：sn= ( a1+an ) x n* 2; 數(shù)列和=(首項+末項)x 項數(shù)+ 2;項數(shù)公式:公差公式:n= (an -a1 ) * d+ 1; 項數(shù)=(末項-首項)*公差+ 1;*(項數(shù)1)關鍵問題確定已知量和未知量，確定使用的公式;d = (an -a1 ) *( n 1);公差=(末項首項)13.二進制及其應用進制 用09十個數(shù)字表示，逢10進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的 2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4

10、=2 X 100+3X 10+4。進制 用01兩個數(shù)字表示，逢 2進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。進制化成二進制根據(jù)二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0,然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。 先找出不大于該數(shù)的 2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。14. 加法、乘法原理和幾何計數(shù)加法原理 如果完成一件任務有 n類方法，在第一類方法中有 m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法,在第 n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：m1+ m2+mn種不同的方法。關鍵問題 確定工作的分

11、類方法?；咎卣髅恳环N方法都可完成任務。乘法原理如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務共有：m1 X m2 XX mn種不同的方法。關鍵問題 確定工作的完成步驟?；咎卣?每一步只能完成任務的一部分。直線 一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌 跡。直線特點：沒有端點，沒有長度。線段 直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。線段特點：有兩個端點，有長度。射線 把直線的一端無限延長。射線特點：只有一個端點；沒有長度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+ （點數(shù)一

12、 1）;數(shù)角規(guī)律=1+2+3+ （射線數(shù)一 1）; 數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù) =長的線段數(shù)X寬的線段數(shù):數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù) =1 X 1+2 X 2+3 X 3+行數(shù)X列數(shù)15. 質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù) 一個數(shù)除了 1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。合數(shù) 一個數(shù)除了 1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù) 如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個 數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù) 把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標準表示形式N=a1r1 X a2r2 x a3r3 x xanrn，

13、其中a1、 a2、 a3an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1a2a3an。求約數(shù)個數(shù)的公式P=(r1+1) X (r2+1) X (r3+1) xx (m+1)互質(zhì)數(shù) 如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 1,這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16. 約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù) 若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù).公約數(shù) 幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大 的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。 幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾

14、個數(shù)的最大公約數(shù)乘以例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18 的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公約數(shù)有:1、2、 3、 6；那么12和18最大的公約數(shù)是:6,記作（12，18）=6 ；求最大公約數(shù)基本方法 分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。 輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余 數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù) 幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有:12、 24、 36、 4818的倍數(shù)有:18、 36、 54、 72那么12和18

15、的公倍數(shù)有:36、 72、 108那么12和18最小的公倍數(shù)是 36,記作12，18=36；最小公倍數(shù)的性質(zhì) 兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法短除法求最小公倍數(shù); 分解質(zhì)因數(shù)的方法仃.數(shù)的整除基本概念和符號整除如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù) b得到一個整數(shù)商 c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。常用符號整除符號“ I”，不能整除符號“ ”整除判斷方法能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。能被125整除：末三位的數(shù)字所組成

16、的數(shù)能被& 125整除。能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。能被7整除:A.末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。B.逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。 能被11整除：A.末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù) 字所組成的數(shù)之差能被 11整除。B奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。C.逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。能被13整除:A.末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。B逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。除。整除的性質(zhì)如果如果如果如果a、b能被c整

17、除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整18.余數(shù)及其應用基本概念 對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a* b=qr,且 0r P余數(shù)的性質(zhì)余數(shù)小于除數(shù)。右a、b除以c的余數(shù)相冋，則 c|a-b或c|b-a。a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。佃.余數(shù)、同余與周期同余的定義余。若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m

18、同已知三個整數(shù)a、b、m，如果 m|a-b，就稱a、b對于模 m同余，記作 a=b(mod m)，讀作 a同余于 b模 m。同余的性質(zhì)自身性:a= a(mod m);對稱性:若 a= b(mod m)，貝U b= a(mod m);傳遞性:若 a= b(mod m), b = c(mod m)，貝U a= c(mod m);和差性:若 a=b(mod m), c= d(mod m),貝U a+c = b+d(mod m),a-c = b-d(mod m);相乘性： 若 a= b(mod m), c= d(mod m)，貝U aX c= bx d(modm);乘方性：若 a= b(mod m)，

19、貝U an= bn(mod m);同倍性：若 a = b(mod m),整數(shù) c,貝U aX c= bx c(mod mx c);關于乘方的預備知識若 A=a X b，貝y MA=Ma x b= ( Ma ) b若 B=c+d 貝y MB=Mc+d=Mc X Md被3、9、11除后的余數(shù)特征一個自然數(shù) M , n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M = n(mod9)或(mod 3); 一個自然數(shù) M , X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M三Y-X或M三11- （ X-Y ） （mod 11);費爾馬小定理 如果P是質(zhì)數(shù)（素數(shù)），a是自然數(shù)，且a不能被P 整除，

20、則 ap-1 = 1(mod p)。20. 分數(shù)與百分數(shù)的應用基本概念與性質(zhì)分數(shù) 把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分數(shù)的性質(zhì) 分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。分數(shù)單位 把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分數(shù) 表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法逆向思維方法:從題目提供條件的反方向 （或結(jié)果）進行思考。對應思維方法:找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系轉(zhuǎn)化思維方法:把一類應用題轉(zhuǎn)化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關系;把不同的標準（在分數(shù)中常見的處理般指的是一倍量） 下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件

21、下的分率。方法是確定不同的標準為一倍量。 假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假然后再進行調(diào)設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結(jié)果， 整，求出最后結(jié)果。 量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的， 不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。 有以下三種情況:A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關系單 化、量率關系明朗化。 同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。 濃度配比法：一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。2

22、1. 分數(shù)大小的比較基本方法 通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和 分母的關系比較。 通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和 分子的關系比較。 基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。 分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分 母越大的分數(shù)值越大。 倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數(shù)的大小。（具 體運用見同倍率變化規(guī)律） 轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。倍數(shù)比較法:用一個數(shù)除以另一個數(shù)， 結(jié)果得數(shù)和1進行比較。大小比較法:用一個分數(shù)減去

23、另一個分數(shù)， 得出的數(shù)和0比較。倒數(shù)比較法:利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小?；鶞蕯?shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較。22. 分數(shù)拆分將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)單位之和的公式 1/n=1/(n+1)+1/n(n+1); 1/n=a/n(a+b)+b/n(a+b)，其中a,b為n的兩個因數(shù)。23. 完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征末位數(shù)字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。除以3余0或余1;反之不成立。除以4余0或余1;反之不成立。約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。 奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。 兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再

24、有平方數(shù)。平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方和公式 (a+b)2=a2+b2+2ab完全平方差公式 (a-b)2=a2+b2-2ab24. 比和比例比 兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比 號后面的數(shù)叫比的后項。比值比的前項除以后項的商，叫做比值。比的性質(zhì) 比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外）， 比值不變。比例表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì) 兩個外項積等于兩個內(nèi)項積 （交叉相乘）,ad=bc。正比例若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。反比例若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積

25、不變時），則A與B成反比。比例尺圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例分配 把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25. 綜合行程基本概念 行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、 時間、路程三者之間的關系基本公式 路程=速度X時間；路程*時間 =速度；路程*速度時間關鍵問題確定運動過程中的位置和方向。相遇問題速度和X相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）追及問題追及時間=路程差+速度差（寫出其他公式）流水問題順水行程=（船速+水速）X順水時間 逆水行程=（船速-水速）X逆水時間順水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順水速度+逆水速度）* 2水速=（順水速度-逆水速流水

26、問題關鍵 確定物體所運動的速度，參照以上公式。過橋問題 關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。主要方法畫線段圖法基本題型 已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、 追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。26. 工程問題基本公式工作總量=工作效率X工作時間 工作效率=工作總量+工作時間 工作時間=工作總量+工作效率基本思路假設工作總量為“ 1”（和總工作量無關）；假設一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用 時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工 作效率及工作時間.關鍵問題 確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。經(jīng)驗簡評