1.3正弦定理與余弦定理

1、【課題】13正弦定理與余弦定理（一）【教學目標】知識目標：理解正弦定理與余弦定理.能力目標：通過應用舉例與數(shù)學知識的應用，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.【教學重點】正弦定理與余弦定理及其應用.【教學難點】正弦定理與余弦定理及其應用.【教學設計】本課利用幾何知識引入新知識降低了難度教學中，不利用向量工具進行嚴格的證明，否則會增加難度，而是重在應用安排了5道例題，介紹利用正弦定理解三角形的方法例1是基礎題，目的是讓學生熟悉公式.例2和例3是突破難點的題目，需要分情況進行討論，介紹了討 論的方法和討論的兩種結(jié)果.例4是已知兩邊及夾角，求第三邊的示例，可以直接應用余弦定理；例5是已知三邊的長求最大

2、角和最小角的示例.由于余弦函數(shù)在區(qū)間（O,n內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以知道余弦值求角時，沒有必要進行討論這里求最大角與最小角，是起到強化對“大 邊對大角，小邊對小角”的認識訝U用余弦定理求一個角，求第二個角的時候，可以利用余弦定理，也 可以利用正弦定理.【教學備品】教學課件.【課時安排】2課時.（90分鐘）【教學過程】教過學程教師行為學生行為教學意圖時間揭示課題1.3正弦定理與余弦定理.創(chuàng)設情境興趣導入我們知道，在直角三角形ABC （如圖1 一 6 ）介紹了解學生0播放觀看abr4-a-A2 C口課件課件自然cc的走過程asin AbC, sin B行為行為質(zhì)疑思考圖間向知識點由于C=90,所以sin

3、C=1,于是 cc.sin C所以a b csin A sin B sin C10圖1 一 7詳細 思考 帶領分析學生講解總結(jié)總結(jié)理解教學教師學生教學時意歸納記憶當三角形為鈍角三角形時，不妨設角A為鈍角，如圖17所示，以A為原點，以射線AB的方向為x軸正方向，建立直角坐標系，則BC =BA - AC,兩邊取與單位向量j的數(shù)量積，得j BC 二 j (BA+BC) =j BAj* BC.由于 vj,BC =90 -B, j _ BA,vj,AC n A-90,設與角A, B, C相對應的邊長分別為a, b, C,故acos(90 B) =0 bcos(A 90 ),a sin B =bsin A

4、所以a-bsin A sin B教學過程教師行為學生行為教學意圖時間同理可得a c b csin A sinC sinB sinC口口abcnnsin A sin B sin C當三角形為銳角三角形時，同樣可以得到這個結(jié)論于S得到正弦定理：在三角形中，各邊與它所對的角的正弦之比相等詳細理解血abc分析記憶sin A sin B sin C講解利用正弦定理可以求解下列問題：（1）已知三角形的兩個角和任意一邊，求其他兩邊和一角（2 ）已知三角形的兩邊和其中一邊所對角，求其他兩角和20一邊鞏固知識典型例題例 1已知在 MBC 中，A3A, C=135, c = 6,求引領觀察通過b.例題分析 這是已

5、知三角形的兩個角和一邊，求其他邊的問進一題，可以直接應用正弦定理.步領解由于b_c,講解思考會si nB si nC所以bcsinB6in3oo25 J2說明主動求解i廠 r* i Iizx a 只si nCsi n135V29例 2 已知在 MBC 中,A=30, a=15 jflL, b=30,求B.分析這是已知三角形的兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角，可以首先直接應用正弦定理求出角的正弦值，然后再求引領觀察注意出角.觀察解由于二，學生sin A sin B是否30 x 1 L理解所以 sinB bsinA 30 9n30 2 七知識所以 sinB 廠一占由 ba,知 BAA,故 30cB

6、180,所以 B =45* 或講解八、教過學程教師行為學生行為教學意圖時間B=135說明例3已知在MBC 解sin B屮，人二 45 已,a =30, b=15 農(nóng),求Bbs in A 15 湮 xs in 451引領觀察a302思考由于bca,所以BcA,即 0AB； 45 住，所以 B=30o 講解主動WH035已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定理求另一邊的對角時，要討論這個角的取值范圍，避免發(fā)生錯誤運用知識強化練習及時1.已知在 MBC 中，A = 45, B=30, b二 J3,求 C了解提冋動手學生和a.巡視求解知識2.已知在MBC屮,A=21, B=105c=4,求 C

7、和 b指導掌握情況AC（精確到0.01）.453.已知在 MBC 中，A=60o , a =12, b=8,求 B (精確到 1。）.動腦思考探索新知如圖1 8所示4總結(jié)思考帶領ARC中RC=AC AR硏以歸納學生BC *BC =( ACAB) ( AC AB)理解總結(jié)記憶AC+ AB -2AC *AB=AC+ AB 2 AC AB cos A22=b +c 2bccosA .即a2=b22+c -2bccosA .教過學程教師行為學生行為教學意圖時間B*AC圖1-8同理可得 b2 =a2 +c2 _2accosB ,c2 =a2 +b2 -2abcosC .于是得到余弦定理：三角形中任意一邊

8、的平方等于其余兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角余弦乘積的兩倍即a2 =b2 +c2 -2bccosA222b =a +c -2accosB(1 - 8)c2 =a2 +b2 -2abcosC顯然，當C=90。時，有c2 =a2 +b2.這就是說，勾股定理是余弦定理的特例.公式(1.8)經(jīng)變形后可以寫成2 土 22” b + C-A人2bc2 + 2.2 a + c-b cos B 2ac(1 . 9)502丄22-a丄人-n cosC 2ab利用余弦定理可以求解下列問題：(1)已知三角形的兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的兩個角(2)已知三角形的三邊，求三個角鞏固知識典型例題例4在也ABC屮，A

9、 =60, b=8,c 3,求 a .引領觀察通過教學教師學生教學時過程行為行為意圖間分析 這是已知三角形的兩邊和它們的夾角，求第三邊的例題問題，可以直接應用余弦定理.進一步解領22222講解思考厶a = h 4-r A 二 A+3 2 x8x3 漢 cos60 =49 .說明所以a =7.主動例5在MBC中，a=6 ,乙 c=10,求AABC求解屮的最大角和最小角(精確到1 ).分析 三角形中大邊對大角,小邊對小角.引領觀察注意解由于av b v c,所以C最大，A最小，由公式(1.9),觀察學生有是否22 2辭22理解+7 m 丄小2ab2X6 漢 7知識所以C托100。，占八、222r2

10、 L2c2b2 +c2J7+10-64* A1 1 7 A65Illi 2bc -X2X7X10所以A俺36)運用知識強化練習及時1 .在 ABC 中，B=150a=3 彳 3 , c=2,求 b.提問動手了解 學生2.在厶ABC中，三邊之比a:b:c=3:5: 7 ,求三角形最大巡視求解知識內(nèi)角指導掌握情況70理論升華整體建構質(zhì)疑思考并回答下面的冋題：小組以小正弦定理、余弦定理的內(nèi)容討論組討結(jié)論：論師正弦定理：回答生共同歸abc納的sin A sin B sin C形式余弦定理：a2 =b2 +c2 2bccosA歸納強理解強調(diào)調(diào)重點75b2 =a2 +c2 2accosB強化突破教學過程教

11、師行為學生行為教學意圖時間222c=a +b 2abcosC難點歸納小結(jié)強化思想本次課學了哪些內(nèi)容？重點和難點各是什么？引導回憶80派自我反思目標檢測本次課采用了怎樣的學習方法？你是如何進行學習的？你的學習效果如何？在厶 ABC 中，a=20, b=29, c=21,求角 B.提問巡視指導反思動手求解檢驗學 習效果85繼續(xù)探索活動探究(1) 讀書部分：教材(2) 書面作業(yè)：教材習題6. 1 (必做)；學習與訓練6. 1 (選做)(3) 實踐調(diào)查：編寫一道有關余弦定理或者正弦定理的習題.說明記錄分層次要求90【教師教學后記】項目反思點學生知識、技能的掌握情況學生是否真正理解有關知識；是否能利用知識、技能解決問題；在知識、技能的掌握上存在哪些問題；學生的情感態(tài)度學生是否參與有關活動；在教學活動中，是否認真、積