首師大附屬麗澤中學考前專題輔導——平面解析幾何

1、考前專題輔導平面解析幾何 【知識點歸納】一、直線與方程：1、直線的傾斜角和斜率： 直線的傾斜角： 0 180 。 y2 y1 直線的斜率： 直線 l 的斜率 k 存在(即 x1 x2 )，則： k 2 1 x2 x1 若直線的斜率為 k ，傾斜角為 (2) ，則： k tan2、方向向量：經(jīng)過點 P1 (x1, y1)，P2 (x2,y2)的直線 l的一個方向向量為 (x2 x1, y2 y1) ， 若直線 l 的斜率 k存在，則向量 (1,k)是它的一個方向向量。3、直線方程的形式： 點斜式：經(jīng)過點 (x0, y0) ，斜率為 k y y0 k(x x0)點斜式方程不能表示斜率不存在 (垂直

2、于 x 軸)的直線 斜截式： 經(jīng)過點 (0, b) ，斜率為 k(截距是坐標， 不是距離 ) y kx b斜截式方程不能表示斜率不存在 (垂直于 x 軸)的直線一般式： Ax By C 0 ( A2 B2 0)4、兩條直線的平行或垂直：1)平行 l1 : y k1x b1 ，l2 : y k2x b2l1/l2k1 k2 ，且b1 b2 (特殊的畫圖)與直線 Ax By C 0的直線的方程為 Ax By C 0 (C C)2)垂直l1 : y k1x b1 ，l2 : y k2x b21l1 l2k1 k21 (k2) ， (特殊的 k 0; 與 k 不存在的直線關系？)k15距離： 1)兩點

3、之間的距離：| Ax0 By0 C | 2)點P(x0,y0)到直線 Ax By C 0的距離： d 0 2 0 2A2 B 2| C C |3)兩條平行直線 Ax By C 0與 Ax By C 0 的距離： d 2 2 A 2 B 26對稱 點關于點的對稱點： 點A(x,y)關于點 P (a, b)的對稱點 B的坐標為： (2a x,2b y) 直線關于點的對稱直線：平行線問題若直線 l1與l2關于點 P對稱，則 l1/ l2，且點 P到兩直線的距離相等。 點關于直線的對稱點：垂直平分線問題點P(x,y)、Q(x,y)關于直線 Ax By C 0對稱，則直線l是線段 PQ的垂PQ l； P

4、Q中點在直線 l 上，以此列出下列方程組：yy ( A)1xx B，可以求得 Q 坐標。Ax x By y C 022直平分線，滿足條件：、圓與方程： 1、圓的方程：圓的標準方程： (x a)2 ( y b)2 r2 圓心為 (a,b) ，半徑為 r2 2 2 2圓的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 (D 2 E2 4F 0)注：對于圓的一般方程， 可配方為：D 2 F (x D2 )2 (y F2 )222 D 2 E2 4F因此其圓心坐標為 ( D , F ) ，半徑 r 1 D2 F2 4F2 2 22、直線與圓的位置關系：相交、相切、相離 方法：利用圓心到直線的距離與圓的半徑

5、的關系解決較好。3、圓與圓的位置關系：dr1r2； dr1r2；|r1r2 |dr1r2；d|r1r2|；d|r1r2 |。三、橢圓1、定義： 平面內到兩個定點 F1 、 F2的距離之和等于常數(shù)(大于 |F1F2 | )的動點的軌跡為橢圓。2、頂點( a,0) 、 (0, b)( b,0) 、 (0, a)軸長長軸長 2a 、短軸長 2b離心率c ea四、雙曲線： 1、定義：平面內到兩個定點 F1 、 F2的距離差的絕對值等于常數(shù) （小于 |F1F2 |） 的動點的軌跡為雙曲線。2、幾何性質：五、拋物線：1、定義：在平面內，到定點 F 與到定直線 L 的距離相等的點的軌跡是拋物線。2、幾何性質

6、：方程圖形特征焦點準線2y 2px開口向右(2p,0)xp2y22pxF開口向左( 2p,0)xp2x2 2pyF開口向上(0,2p)y 2px22pyF開口向下(0, 2p)y p2y kx m建立方程組 x2 y21a2 b2 1四、直線與圓錐曲線的關系（以橢圓為例）22設直線 l : y kx m、橢圓 C: x2 y2 1, a2 b2消元轉化為關于 x或 y的方程： 注意：二項式的系數(shù)是否為零？（求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在問題都在 0 下進行。）2、弦長的確定：|AB|(x1 x2)2 (y1 y2)2(1 k2) |x1 x2|【常見題型】1應用定義解決問題 7 11。1

7、，6。1，13。12應用方程及幾何性質解決問題13曲線與方程的位置關系的問題6 。2， 13。2； 8。2；9。2； 10。2為選作二、典型例題集錦2x2；若橢圓1 ( 2011 西 城 一 模 文 11 ) . 雙 曲 線 C :y2 1 的 離 心 率 為22x22 y2 1(a 0) 與雙曲線 C有相同的焦點，則 a a2.拋物線 y2 2px 的焦點坐標為2y ax2 的準線方程 3(2011 東城一模理 13)過拋物線 y2 2px(p 0) 的焦點作傾斜角為 60 的直線，與拋物AF線分別交于 A， B兩點(點 A在 x 軸上方)，BFx2 y24( 2011 東城二模理 6)已知

8、雙曲線 2 2 1(a 0,b 0) ，過其右焦點且垂直于實軸 ab的直線與雙曲線交于 M , N兩點，O為坐標原點 .若OM ON ，則雙曲線的離心率為 5( 2011朝陽二模理 6)點P是拋物線 y2 4x上一動點，則點 P到點 A(0, 1)的距離與 到直線 x1的距離和的最小值是 ( ) 6(2011豐臺一模理 19)已知點 A( 1,0) ， B(1,0) ，動點 P滿足|PA| |PB| 2 3，記動 點 P 的軌跡為 W()求 W 的方程；()直線 y kx 1 與曲線 W 交于不同的兩點 C， D，若存在點 M (m,0) ，使得 CM DM 成立，求實數(shù) m 的取值范圍7（

9、2011西城一模） 已知拋物線 y2 2px（p 0）的焦點為 F ，過 F的直線交 y軸正半軸 于點 P ，交拋物線于 A,B 兩點，其中點 A在第一象限 . 求證：以線段 FA為直徑的圓與 y軸 相切；18（ 2011東城二模理 19）在平面直角坐標系 xOy中，動點 P到定點 F（0, ） 的距離比點 P 41到x軸的距離大 1，設動點 P的軌跡為曲線 C，直線l:y kx 1交曲線 C于 A, B兩點，M 4是線段 AB的中點，過點 M 作 x軸的垂線交曲線 C于點 N （）求曲線 C的方程；（）證明：曲線 C在點 N 處的切線與 AB 平行；（）若曲線 C上存在關于直線 l 對稱的兩

10、點，求k的取值范圍9（2011海淀二模理 19）在平面直角坐標系 xOy中，設點 P（x, y）, M （ x, 4） ，以線段 PM 為直徑的圓經(jīng)過原點 O（. ）求動點 P的軌跡 W 的方程；（）過點E（0, 4）的直線l與軌跡W交于兩點 A, B ，點A關于 y軸的對稱點為 A，試判 斷直線 AB 是否恒過一定點， 并證明你的結論 .2210（2011 東城一模理 19） 已知橢圓 y2 x2 a2 b21（a b 0） 的離心率為 2 ，且兩個焦點和短軸的一個端點是一個等腰三角形的頂點斜率k（k 0）為直線 l 過橢圓的上焦點且與橢圓相交于 P ，Q兩點，線段 PQ的垂直平分線與y 軸

11、相交于點 M （0,m） ）求橢圓的方程； （ ）求 的取值范圍； （）試用 表示 MPQ 的面積，并求面積的最大值三、典型例題集錦答案5 261. ， 2 ； 3326 （2011豐臺一模理 19）已知點 A（ 1,0） ， B（1,0） ，動點 P滿足|PA| |PB| 2 3，記動 點 P 的軌跡為 W（）求 W 的方程；（）直線 y kx 1與曲線 W 交于不同的兩點 C， D，若存在點 M （m, 0） ，使得CM DM 成立，求實數(shù) m 的取值范圍解：()由橢圓的定義可知，動點 P 的軌跡是以 A，B 為焦點，長軸長為 2 3的橢圓 2 分 c 1， a3 ， b 2 3 分22W

12、 的方程是 x y1 4 分32另解： 設坐標 1 分，列方程 1 分，得結果 2 分)設 C，D 兩點坐標分別為 C(x1,y1)、D(x2,y2) ，C，D 中點為 N(x0,y0)y kx 122由 x2 y2得 (3k2 2)x2 6kx 3 06 分132所以x1x26k3k 2 27分 x0x1 x223k23k 2 2從而 y0 kx0 1223k 2 2 MN 斜率 kMNy0x0 m23k 2 23k2m3k2 29分CMDM， CD MN ，又23k2 23k2m 3k2 2k23k2 2 10 分當 k 0時，m 0；11分當 k 0 時km23k2 2662 126 ,

13、0) (0, 126 3k 12 12k13 分14 分故所求 m的取范圍是 6 , 6 12 127(2011西城一模理) 已知拋物線 y2 2px(p 0)的焦點為 F ，過 F 的直線交 y軸正半 軸于點 P ，交拋物線于 A, B兩點，其中點 A在第一象限 .)求證：以線段 FA為直徑的圓與 y 軸相切；解：()由已知 F( p,0),設 A(x1,y1)，則y12 2px1，2圓心坐標為 (2x1 p, y1 ) ，圓心到 y軸的距離為 2x1 p ， 2 分4 2 4所以，以線段 FA為直徑的圓與 y軸相切 .5分圓的半徑為FA 1x1 ( p)2x1 p， 用定義求焦半徑 AF

14、4分2212418( 2011東城二模理 19)在平面直角坐標系 xOy中，動點 P到定點 F(0, ) 的距離比點 P 41到x軸的距離大 1，設動點 P的軌跡為曲線 C，直線l:y kx 1交曲線 C于 A, B兩點，M 4是線段 AB的中點，過點M 作x軸的垂線交曲線 C于點N()求曲線 C 的方程；()證明：曲線 C在點 N 處的切線與 AB 平行；()若曲線 C上存在關于直線 l 對稱的兩點，求k的取值范圍11)解：由已知，動點 P 到定點 F (0, )的距離與動點 P 到直線 y 的距離相等44 11由拋物線定義可知， 動點 P 的軌跡為以 (0, ) 為焦點，直線 y 為準線的

15、拋物線 44所以曲線 C的方程為 y x又(x3 x4, y3 y4)在l上， 3 分()證明：設 A(x1,y1)，B(x2, y2)2y x , 2由得 x 2 kx 1 0所以 x1 x2 k ， x1x2 1 y kx 1,k設M (x0,y0)，則 x02k因為 MN x軸，所以 N點的橫坐標為 22由 y x ，可得 y 2 x所以當 x k2 時，y k 所以曲線 C在點 N 處的切線斜率為 k，與直線AB 平行8分)解：由已知， k 0 12*)設直線 l 的垂線為 l ： yx b 代入 y x2 ，可得k所以(k1)2 4b 0 ，即 12 2 22 0k2 k 2若存在兩

16、點 D(x3, y3),E(x4,y4)關于直線 l 對稱，則 x3 x41 y3 y41 b2k 22k21所以 12 b k( ) 1 ， 2k22kb12122k2所以 12 2，解得 k 2 或k 2 k22 29(2011海淀二模理 19)在平面直角坐標系 xOy中，設點 P(x, y), M ( x, 4) ，以線段 PM為直徑的圓經(jīng)過原點 O(. )求動點 P的軌跡 W 的方程；（）過點E（0, 4）的直線l與軌跡W交于兩點 A, B ，點A關于 y軸的對稱點為 A，試判 斷直線 AB 是否恒過一定點， 并證明你的結論 .解：（ I ）由題意可得 OP OM ，所以OP OM 0

17、 ，即 (x, y)(x, 4) 0 2 分4分22即 x2 4y 0，即動點 P的軌跡 W 的方程為 x2 4y5分II )設直線 l的方程為 y kx 4, A(x1,y1),B(x2,y2)，則 A( x1,y1).y kx 4 2由 2消 y 整理得 x2 4kx 16 0 ，x2 4y6分 則16k2 64 0，即|k| 27分 x1 x2 4k,x1x2 16.9分直線 AB: yy2y2 y1(x x2)x2x1y2 y1x2x1(x x2) y2x2 x14(x1 x2)(x x2) 14x2212 分x2x2 x1x1x2即 y x2 x1 x 44所以，直線 AB 恒過定點

18、 （0,4）.10（2011 東城一模理19）已知橢圓2 y2a2x2 1(a b 0) 的離心率為 b22短軸的一個端點是一個等腰三角形的頂點斜率 k（k 0）為直線 l 過橢圓的上焦點且與橢圓M (0, m) 2k2 2 )相交于 P ，Q兩點，線段 PQ的垂直平分線與 y 軸相交于點 ）求橢圓的方程； （ ）求 的取值范圍； （）試用表示 MPQ 的面積，并求面積的最大值）設直線 l 的方程為 y kx 1，（ k 存在）y kx 1,22由 y2 2可得 (k2 2)x2 2kx 1 0 x2 1,2 x 1,設 P(x1,y1),Q(x2,y2) ，2 k1 則 x1 x22 ， x1x221 2 k 2 2 1 2k 2 24可得 y1 y2 k( x1 x2) 2 2 k2k設線段 PQ 中點為 N ，則點 N 的坐標為 （ 2 k k 2 2 由題意有 kMN k 1 ，2m 2 1可得 k 2 k 1可得 m2 1 ，kk2 2k 2 21所以 0 m 1 2 （k 不存在）時，該怎樣處理？）設橢圓上焦點為F，則 S MPQ FM