小學(xué)數(shù)學(xué)“從整體上看”思想在解題中的運(yùn)用-教育文檔資料

1、小學(xué)數(shù)學(xué)“從整體上看 ”思想在解題中的運(yùn)用在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常會遇到一些這樣的問題，按照常規(guī)的思路， 一步一步計(jì)算下來，感覺會比較困難，甚至有些問題還無從下手。在這個(gè)時(shí) 候，我們就需要轉(zhuǎn)換思維角度，從整體入手，找到問題的切入點(diǎn)，從而快速、 簡潔、有效地解決問題。一般地，我們把從整體觀點(diǎn)出發(fā)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、 整體特征，從而對問題進(jìn)行整體處理的解題思想方法，稱為整體思想方法。下 面我就從幾個(gè)例題簡要談?wù)?。一、整體定位例 1：下圖中正方形的面積是 6 平方厘米，求圓的面積。解析：根據(jù)圓的面積公式 S=n r2如果按照常規(guī)方法先算出圓的半徑 r，發(fā) 現(xiàn)對于小學(xué)生而言，在這個(gè)題

2、目中是比較困難的，但我們可以求出 r2 這個(gè)整 體，從而算出圓的面積S更為簡單?？梢园褕A內(nèi)的正方形看成由兩個(gè)完全一樣 的直角三角形組成，每個(gè)直角三角形的面積都等于r2，也就等于正方形面積的12,即 2r?r - 2=6。于是，r2=3,圓的面積 S=3n( cm2)。或者可以把圓內(nèi)的正方形看成由 4 個(gè)完全一樣的直角三角形組成，每個(gè)直 角三角形的面積都等于半徑平方的一半,也就等于正方形面積的14,即r2 2=6。4樣能得到圓的面積是 3 n (cm2)。從上面的例題中,我們可以看到,學(xué)生在思考問題時(shí),往往習(xí)慣于從問題 的局部出發(fā),將問題分解成若干個(gè)簡單的子問題,這是學(xué)生的慣用思想方法, 然后再

3、逐個(gè)擊破。但是有時(shí)候這種思考方法,常常導(dǎo)致解題變得復(fù)雜化,且運(yùn) 算量很多,甚至在一些情況下,以現(xiàn)有的知識水平未能解決,學(xué)生就變得束手 無策了。其實(shí),在很多數(shù)學(xué)問題中,如果我們能改變思維模式,有意識地去放大觀 察的“視角”,往往能發(fā)現(xiàn)問題中的某個(gè)小 “整體”,我們就可以利用這個(gè)整體快 速、有效地解決問題。二、整體代換例 2:如果 3x+6=7,那么 6x+4二()。解析：這題如果是學(xué)過分?jǐn)?shù)乘除法的同學(xué)，可以從左邊的方程解出未知 數(shù)，然后帶入右邊的式子求出結(jié)果，不過還是有一定的計(jì)算量。如果是沒有學(xué) 過分?jǐn)?shù)乘除法的同學(xué)，用這樣的方法有點(diǎn)困難，但是我們仔細(xì)觀察，會發(fā)現(xiàn) 6x 是3x的2倍，可以先把6x

4、+4提取公因數(shù)2得到2 ( 3x+2),通過左邊的方程我 們可以得到3x+2=3,從而很快得到6x+4=2 (3x+2) =2X 3=6例 3:計(jì)算(1 + 12+13) X( 12+13+14) - (1 + 12+13+14) x( 12+13)學(xué)生剛看到這道題，發(fā)現(xiàn)每個(gè)括號里面的分?jǐn)?shù)分母不同，就直接通分計(jì)算 了。原式=(1+36+26) X(612+412+312 - (1+612+412+312 X(36+26)=116 X 1312 X 2512 X 56=14372-12572=1872=14這樣做就顯得比較復(fù)雜了，而且會浪費(fèi)很多計(jì)算時(shí)間，最重要的是學(xué)生在 計(jì)算過程中很容易出錯(cuò)。原

5、因就是把每個(gè)括號里的分?jǐn)?shù)孤立起來了，沒有從整 體上去仔細(xì)觀察算式的特點(diǎn)，按部就班地去算，比較繁瑣。上面的例題中，是把所求式變形后的某些部分看成一個(gè)整體，或是把某些 部分看成一個(gè)整體，用字母代替，使原來比較復(fù)雜的式子變得簡單，把問題轉(zhuǎn) 化為對字母的研究上，效果甚好！三、整體觀察例 4:下圖的平行四邊形，底 10厘米，高 6厘米，求陰影部分的面積。解析:三角形的面積等于底與高乘積的一半，而 2 個(gè)陰影三角形的高都等 于平行四邊形的高，底的和等于平行四邊形的底，所以陰影部分的面積等于平 行四邊形面積的一半，即10 X 6-2=(Cm2)例 5：用 1、2、3、4、5 五個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，要求每個(gè)四位

6、數(shù)中的數(shù)字都 不相同。所有這些四位數(shù)的和是多少？解析：假設(shè)千位上是 1，那么百位上可以從 2、3、4、5 中選擇，有 4種可 能；百位上的數(shù)字確定以后，十位上就只有 3 種選擇；十位數(shù)字確定后，個(gè)位 數(shù)字就只有2種選擇。所以一共有4X 3X 2=244選擇，即千位數(shù)字是1的四位數(shù) 有24個(gè)。同理，千位數(shù)字是 2、3、4、5的也各有24個(gè)，一共有24X 5=12(個(gè) 數(shù)，這些數(shù)的千位上是 24個(gè) 1， 24個(gè)2， 24個(gè)3， 24個(gè) 4， 24個(gè)5；百位、十 位、個(gè)位亦是如此。因此，所求的這些四位數(shù)的總和是(1+2+3+4+5)X 24X 1(+1+2+3+4+5)X 24X 1 ( +1+2+

7、3+4+5) X 24X 1(+1+2+3+4+5)X 24 X 1Q+I+2+3+4+5)X 24 X 1=15 X 24000+100+10+1) =360 X 1111=399960例 6：分母為 2(14 的所有最簡真分?jǐn)?shù)的和是多少？解析：首先，我們可以 從整體上去考慮一些特效情況。2014=2X 1 00，7所以分母是 2014的最簡真分?jǐn)?shù)，分子不能是 2的倍數(shù)，即 偶數(shù)，也不能是 1007的倍數(shù)。因此，所求的總和為12014+32014+52014+ 20112014+2013201去掉 10072014。觀察發(fā)現(xiàn)，算式兩端兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和等于 1；第 2個(gè)分?jǐn)?shù)與倒數(shù)第 2個(gè)分?jǐn)?shù)的 和

8、也等于 1；第 3個(gè)分?jǐn)?shù)與倒數(shù)第 3個(gè)分?jǐn)?shù)的也和等于 1。于是想到，從 1 到 2014，共有2014 - 2=100個(gè)奇數(shù)，減去分子是1007的一個(gè)奇數(shù)，還剩1006個(gè) 依次把首尾兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，可以得到 1006+ 2=50：個(gè) 1,所以所求的總和就是 503，即分母為 2014的所有最簡真分?jǐn)?shù)的和是 503。以上的例題,學(xué)生乍一看,可能無從下手,但是如果我們能從整體上去把 握它,其實(shí)并不難。首先,我們要對這些整體進(jìn)行細(xì)致觀察,把握內(nèi)部結(jié)構(gòu)特 點(diǎn),然后對于整體1的某些部分進(jìn)行相關(guān)的變化,最后在整體下進(jìn)行內(nèi)部 “消 化”。在這些問題1,往往會發(fā)現(xiàn)有一些規(guī)律可循,我們只要抓住這些規(guī)律的特 點(diǎn),常?？梢曰睘楹?。總之,用 “從整體上看 ”思想解題就是把一個(gè)問題通過變形,或者把一個(gè)復(fù) 雜的