定積分的應(yīng)用典型習(xí)題解答與提示

1、11)4)21)3)3456第五章 定積分的應(yīng)用典型習(xí)題解答與提示S0xx dx ； ( 2)S ax ax dx ；3 ln2 ；2S 1 x2 dx 4 ；1333S 4 a sin td a cos t1)3)1)3)1)習(xí) 題 5-21xS e e dx ；2a。8S 1 2 4cos 2d 4 ；22S1 2 4 12 2 1 cos d32Vx,V y 8 ；xy52sin xdx212210123) S 3 x 2 x dx ；5) S4 sin x cos x dx 。2)4)2)4)e 1 2；e2 4 y y2 dy18。S 3 1 3 a sin 3 2 d202， S2

2、5 2242a；42。4114xdx 1 8x 4 dx ；022 2 2 2 3 a 2 1 cos t d a t sin t 5 2a 3 。dx 321 b 2 1 a 2；11t21tt2 dt ln 1 2 。習(xí) 題 5-30.061 Wkxdx 0.0018 J 。2W R h km2M dx k mMhRx2R R h53 W20 9.8 15 x dx 12250 J 。215 10x4 W9.8 15 x dx 57697.5 J 。35 F9.8 2 3 2 xdx 205.8 N 。3 2 26取圓心為原點， x 軸正向向下， F 9.8 2x 32 x2 dx 176

3、.4 N 。習(xí) 題 5-41（ 1）總收益函數(shù)為 R Q MRdQ 200 Q dQ 200Q Q5020 0 100 200故 Q 50 個單位時，總收益 R R 50 200 50 9987.5 ； 2002）MRdQ 200Q Q2100 20020020019850 。1002（1）3Q23MCdQ 61 1 223dQ 6Q Q 14 （萬元）41R MRdQ 12 Q dQ 12Q3Q220 （萬元）；212）總利潤 L Q R Q C Q故 L Q R Q C Q 12 Q 6Q 6 3Q223）令 L Q 0即6 20 得 Q 4 （百臺）1由 L Q120 知， Q 4百臺）

4、時，總利潤最大；總成本 CQQMCdQ C 000 6 Q2 dQ 5 6Q Q4 5Q總利潤函數(shù) L Q MR MC dQ C00 12 Q 6 Q2 dQ 5 63Q2dQ 56Q3Q24) L 4 MR MC dQ 4 12 Q6 Q23QdQ 6 dQ42266Q 3Q3 (萬元)44可見，在最大利潤基礎(chǔ)再增加 200 臺，利潤將減少 3 萬元。3 R 2000ertR 2000e 0.06 20 2000 e 1.2 6640.23 (元)。4 Ae 0.065 16 1200A 424.14 (元)。5設(shè)每年付款 A 元5000 A 1 e rT ，r即 5000 A 1 e 0.

5、03 10 ，解得 A 578.74 (元)。0.03* 習(xí)題 5-51（ 1）一階； （2）二階； （ 3）三階； （4）一階。22（ 1） xy 2y，y 5x2，因 y 10x，將 y及y 代入微分方程有x 10x 2 5x2 恒成立，則函數(shù) y 5x2 是微分方程 xy 2y 的解；（2）y y 0，y 3sinx 4cos x ，因 y 3cos x4sin x ，y 3sin x 4cos x ，將y及y 代入微分方程 （ 3sinx 4cos x） （3sin x 4cos x） 0恒成立，則函數(shù) y 3sin x 4cos x 是微分方程 y y 0 的解；（3）y 2y y

6、0， y x2ex，因 y 2xex x2ex ， y 2ex 4xex x2ex ， 將 y ，y ，y 代入微分方程 （2ex 4xex x2ex） 2（2 xex x2ex） x2ex 2ex 0 方程不成立，則函數(shù) y x2ex 不是微分方程 y 2y y 0的解；（4）y （ 1 2）y1 2y 0， y c1e 1x c2e 2x ，因 y c1 1e 1x c2 2e 2x ，y c1 1 ec2 2 e ，將 y ， y ， y 代入微分方程，有(c1 12e1xc222e2x)( 12)(c1 1e1xc22e2x)1 2(c1e1xc2e 2x)0恒成立，則函數(shù) y c1e

7、 1x c2e 2 x是微分方程 y （ 1 2 ）y 1 2y 0 的解。33（1） ycosx c1x c2；（ 2）滿足初始條件的特解為 y x3 2x 。2x 2x4（ 1）因 x 0， y 0 ，則 c1 0 ， y c2e2c2xe ，又因 x 0 y 1，則 c2 1 ，即 y xe2x ；（2）因x 0，y 5，則c 25，得 y2 x2 25。25（1） y x2 ；1（ 2）據(jù)題意作圖 5-2，過 P點的法線方程為 Y y 1 （X x） ，y1令Y 0則Xx， y 1 ( 2x)y即 yy 2x 0 ；6因2cost ，則 s 2sint c ，又因dtt ， s 10，

8、得 c 10 2 ，47(1) (x 1)(1 y) c；442) yx c ；3）11ln|y| x sin2x c；244) e st c ；即運動規(guī)律為 s 2sin t 10 2 。5) dy dx2 ，得 ln |ln y| arctan x c ； yln y 1 x26) dy dx ，則 ln |y| ln |x| lnc ， y cx ， yx7）dyy又因 x 1， y 2，則 c 2，得 y 2x ；dx ，則 ln |y| x c ，又因 x 4 2x則 c 2 ，得 y e x 2 ；y 2x y 1 2x8) e dy e dx ， eec ，2111因x 0， y

9、 0，則c 1，得 ey 1e2x 1。2228設(shè)時間 t為自變量，物體的溫度 T(t)，冷卻速度為溫度關(guān)于時間的變化率ddTt ，由冷卻定理： dT k(T 20)，k 0為比例系數(shù)， 負號表示溫度下降， 初始條件 T(0) 100 ， dtT(20) 60 ，則 dT kdt ，得 ln(T 20) kt c ， T 20kt c kt20 e kt c20 ce kt因t 0，T 100，得 c 80，1又因 t 20，T 60得k 210ln2，得冷卻規(guī)律為1 ln 2tT 20 80e 20取 T 30 ，得 t 60 ，于是經(jīng)過60 min (再經(jīng)過 40 min )溫度可降到 3

10、0oC 。9(1)y y2 x2 cx2 ；2)1 cx y xe ；3)提示，令 y u ，x2 2 2y x ln(cx ) ；4)31 y33x3y22 dyxdxu， y xudyduu x ，dxdx1 u3 3u2 u xdu ， dx322得1 3u2u3 dudx3|1 2u3 | ln |x| ln c，x 1 2 x3 c ；5)y 3 dy 2 y 0 ，x dx x， y xu ，dydxduu x ，dx則(u 3) u xddxu2u 0 ，du u du ， u x，dx 3 u3 udx得 3u (u 1) 1 du dx ，u(u 1) u 1 x3ln |u

11、 1| 3ln |u| ln |u 1| ln x ln c，即(u 1)2 cx， yx 1 23c y3 ；2x6）令 y u ，則xy xu， ddyxdxdux ddux ，則 u xdu 1 u， dx u得 udu dx ，x1u2 ln |x| c ，21 y22 x2ln |x| c ，22當(dāng) x 1， y 2，得 c 2，即 y 2x (ln |x| 2) ；dy 1 y cosyy7) dyx x ，令 ydxcosyxxdu 1 ucosu則 u x ，dx cosu( ! c 表示積分常數(shù)，不是sinu csin x故|x| e，x ce x ，令 u ，則 y xu

12、，dyduu x ，dxdx10依題意作圖，如圖 5-3dx cosudux c 的導(dǎo)數(shù)。 )sinu c ln | x| ，當(dāng) x 1 時， 所示，有 0x ydx 21 xy x2y 0 ，則 c 1，即sin y x e x 。u 4ln x c ，即y x(c 4ln x) ，則 y 1(y xy) 2x ，即 y y 4 。2xydydu令u ，則 y xu ，u x ，xdxdx得 u xdu u 4 ， du 4dx ， dx x又因 x 1 ，則 c 1，即 y x(1 4ln x) 。11（ 1）dydx (x y)，令x y u，則 ddyx ddux 1得 du 1 12

13、 dx u21uu2 dudx ，u arctanu x c，即 y arctan(x y) c ；dx u 5 u 52)令y x u，則ddxy ddux 1，du u 1 1 4 ，故(u 5)du1 2 1 2故 (u 5)4x c，即 ( y x 5)24x c ；dx dx3)令 x y u， dy 1 du，1 du 1， dx u則 u du dx ， u ln | u 1| x c ，即 ln | x y 1| y c 。 u1121)提示，先求對應(yīng)齊次方程 y y 0的通解 y ce x ，然后設(shè) y c(x)e x 為原方程的解，原方程的通解為 y ( x c)e x；2

14、)提示，先求對應(yīng)齊次方程ddst 12tt2s 0的通解為 s c(1 t2)，然后設(shè)非齊次方程的解為2s c(t)(1 t2) ，解之，原方程的通解為2s (t c)(1 t 2) ；3)提示，先求對應(yīng)齊次方程y 3xy 0 的通解 y ce32x23x2再設(shè) y c(x)e2 為原方程的解，解之，原方程的通解為y ce32x223；5)dx 3 xydy y 2112e4)提示，先求對應(yīng)齊次方程 dy 2y 0 的通解 y cx2 ，dx x3x cy ，dy先求對應(yīng)齊次方程 dx 3x 0 的通解， dx3 dyy x y設(shè)非齊次方程的通解為 x c(y)y再設(shè) y c(x)x2 為原方

15、程的解，解之，原方程的通解為 ， dx c (y) y3 c(y)3y2 ，dy將 x， x 代入原方程 c(y)y3 c(y)3y2 3c(y)y3y ，y211123則 c (y) 2 ， c(y)c ，原方程的通解為 x y2 cy3；2y 22y26)先求對應(yīng)齊次方程y y0 的通解，dydx ，則 ln | y |xc ， ycex ，設(shè)原方程的解為 y c(x)ex， y c (x)ex c( x)ex ，cosxe x( ! c 表示積分常數(shù)， c(x)表示 c( x)的導(dǎo)數(shù)，以下同，不再說明。 )將y，y 代入原方程 c(x)ex c(x)ex c(x)ex cosx ，故c

16、(x)1x即 c(x) e (sinx cosx) c ，1x即原方程的通解為 y (sinx cosx) cex ，1 1 x 又因 x 0， y 0，則 c ，即 y (sinx cosx ex)； 227)1 2x先求對應(yīng)齊次方程 y 2 y 0 的通解，x2dy因 dy 21 12 dxxx，故 ln | y| ln x2 1 c ，x1 y x2cex 。12y x2c(x)ex 為原方程的解，112y 2xc(x)ex x2c (x)exx2c(x)12 ex ，xy，y 代入原方程，化簡為c(x) 12e x，故c(x) e x c， x即原方程的通解為1y x2(1 cex)

17、，8)當(dāng) x 1 ， y 0，先求對應(yīng)齊次方程則 ce 1，即 y x2(1 ex 1) ；y ycotx 0 的通解，因 dy cot xdx ， y設(shè)原方程的通解為則 ln | y | ln |sinx| ln c ， y csin x 。y c( x)sin x ， 則 y c ( x)sin x c( x)cos x ，1 將y，y 代入原方程，化簡為 c(x)12 ，sin x則 c(x) cot x c ，故原方程的通解為 y (c cot x)sin x ，又因 x ， y 0，得 c 1，即 y sin x cosx ； 49)先求對應(yīng)齊次方程 y y 0 的通解，x因dy d

18、x，則 y c， y x x設(shè)原方程的通解為 y c(x)， y c(x)x c(x) x將y，y 代入原方程化簡為 c(x) sin x，故c(x)cosx c，1即原方程的通解為 y (c cosx) ，又因 x ， y 1，得 c1 ，x1即 y ( 1 cosx) 。x13因 y 2x y ，先求對應(yīng)齊次方程y y 0 的通解，又因 dy dx ，則 ln | y| x c ， yxy ce 。設(shè)原方程的通解為 y c(x)ex，則 y c (x)ex c( x)ex ，將y及y代入原方程，化簡為 c(x) 2xe x，故 c(x) 2(x 1)e x c ，即原方程的通解為 ycex

19、 2(x 1) ，又因 x 0， y 0，得 c 2 ，即所求曲線方程為y 2(ex x 1) 。d11 dy 1 y 1 14( 1)因 2 cosx sinx ，則y dx ydxcosx sin x ，令 1 u， yy則 du u sin x cosx dxdu先求對應(yīng)齊次方程 du u 0 的通解，又因dxdu dx，則 ln|u| x c ，u cex ， u設(shè)u c(x)ex為(*)式的解 u c (x)ex c(x)ex，將 u ， u 代入( * )式，化簡為 c(x) e x (sin x cosx) ， 故 c(x) c e x sin x， u cex sin x ，1

20、即原方程的通解為 1 cex sin x ；y112)因2 ddyx2 yx22x，令 y2 u，則 du u 1dx 2x*)先求齊次方程du udx2x0的通解， dudx，則 ln|u|1ln|x| lnc，u2x2得u x ，3)c(x) 設(shè) u c(xx)為(*)式的解 u將 u ， u 代入( * )即( * )式通解為即原方程的通解為d 1y 1dx1c(x) x c(x)21x式，化簡得 c(x) 1 ，得 c(x) x c ，xcx，xcx；113x x ，令 u ，yy則 ddxu 3xu x*)32x2先求對應(yīng)齊次方程 du 3xu 0 的通解，dxce ，du 3 2因

21、 3xdx，則ln |u|x2 c ，u232x232x23 x2設(shè) u c(x)e 2 為( * )式的解， u c(x)e 2 c(x)e 2 ( 3x) ，3 x21將 u ， u 代入( * )式，化簡得 c(x) xe 2 ，得 c(x)e2c ，332x21* )式的通解為 uce332x211即原方程的通解為 1 1 cey332x2；4)1dy31131(12x)，令 13u，3 dx3y33 y3則 ddxu u 2x 1*)先求齊次方程 ddux u 0 的通解，顯然為xce ，c(x)ex，設(shè)u c(x)ex為(*)式的解， u c (x)將u，u 代入( *)式，化簡得

22、 c(x) (2x 1)ex，故 c( x) (1 2x)e x c ，( * )式通解為 u (1 2x) cex ，1即原方程的通解為 13(1 2 x) cex 。y31 3 x 1 215( 1) yx3sinxc1xc2；(2) y(x3)exc1x2c2xc3；6 1 2 2 1 2 3( 3)提示，設(shè) y p ， y dp ，則 dp p x(* )dx dx先求對應(yīng)齊次方程 dp p 的通解，顯然有 p cex，設(shè) p c(x)ex為( * )式的解， dx則原方程的通解為 y 1 (x 1)2 c1ex c2 ；(4)設(shè) y p，則 y dp，dp 1 p2 0，故 dpdx

23、 ，arcsin px c1，dx ，dx ，故 1 p21，p s i n1c( x，得) y sin( c1 x) ，即 y cos(c1 x) c2 ；5)設(shè) y p， y pdp ，則 yp dp p2 p 0，即 p(y dp p 1) 0；dy dy dy得 dp dy ，或 p 0 ， p 1 c1 y ，或 y c ，方程 p 1 c1 y ， p 1 y即 dy c1y 1， dy dx，得 1 ln |c1y 1| x c2， dxc1 y 1c1即 y c2ec1x 1 ，或 y c ； c16)設(shè) y p，y pdy，則 pdy p p，即 p dy p 1 0，即 dp 2 dy 或 p 0， arctan p y c1(* )1 p 2或 y c，( * )式即 p tan(y c1) ，則 dy dx ，