圓錐曲線(xiàn)綜合試題(全部大題目)含答案

1、1. 平面上一點(diǎn)向二次曲線(xiàn)作切線(xiàn)得兩切點(diǎn)，連結(jié)兩切點(diǎn)的線(xiàn)段我們稱(chēng)切點(diǎn)弦.設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)2x2 2 py外一點(diǎn) P（x0,y0） 的任一直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)為 C、D，與拋物線(xiàn)切點(diǎn)弦 AB的 交點(diǎn)為 Q。1）求證：拋物線(xiàn)切點(diǎn)弦的方程為x0x p（ y y0 ） ；2）求證：1 1 2 PC |PD | |PQ|2. 已知定點(diǎn) F（1，0），動(dòng)點(diǎn) P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn) P作 PM交x軸于點(diǎn) M，并延長(zhǎng) MP到 點(diǎn) N，且 PM PF 0,| PM | |PN |.（1）動(dòng)點(diǎn) N 的軌跡方程；（2）線(xiàn) l與動(dòng)點(diǎn) N的軌跡交于 A，B兩點(diǎn)，若 OA OB4,且4 6 | AB| 4 30，求直線(xiàn) l 的

2、斜率 k 的取值范圍 .3. 如圖，橢圓 C11的左右頂點(diǎn)分別為A、B，P 為雙曲線(xiàn) C2 :1右支上（ x軸上方）一點(diǎn)，連 AP交 C1于 C，連 PB并延長(zhǎng)交 C1于 D，且 ACD與 PCD的面積 相等，求直線(xiàn) PD 的斜率及直線(xiàn) CD的傾斜角 .4. 已知點(diǎn)M（ 2,0）, N（2,0） ，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件 |PM| |PN| 2 2.記動(dòng)點(diǎn) P的軌跡為 W.）求 W 的方程；uuur uuur）若 A,B 是W上的不同兩點(diǎn)， O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求 OA OB的最小值 .225. 已知曲線(xiàn) C的方程為 :kx2+（4-k）y2=k+1,（k R）（）若曲線(xiàn) C是橢圓，求 k的取值范圍；（）若

3、曲線(xiàn) C是雙曲線(xiàn)，且有一條漸近線(xiàn)的傾斜角是60，求此雙曲線(xiàn)的方程；（）滿(mǎn)足（）的雙曲線(xiàn)上是否存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線(xiàn) l： y=x-1對(duì)稱(chēng)，若存在，求出過(guò) P，Q的直線(xiàn)方程；若不存在，說(shuō)明理由。6. 如圖（21）圖，M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn) P 滿(mǎn)足： PM PN 6.（1）求點(diǎn) P 的軌跡方程；2（2）若 PM PN ,求點(diǎn) P 的坐標(biāo) .1 cos MPN7. 已知 F 為橢圓2x2ab21(a b0）的右焦點(diǎn)，直線(xiàn) l過(guò)點(diǎn) F 且與雙曲線(xiàn)b2的兩條漸進(jìn)線(xiàn) l1,l2分別交于點(diǎn) M , N ，與橢圓交于點(diǎn) A,B.e。I）若 MON ，雙曲線(xiàn)的焦距為3uuuur

4、uuuurII）若 OM MN 0（ O為坐標(biāo)原點(diǎn)）4。求橢圓方程。uuur 1uuur， FA AN ，求橢圓的離心率328. 設(shè)曲線(xiàn) C1 : x2 y2 1（ a 為正常數(shù)）與 C2 : y2 2（x m） 在 x軸上方只有一個(gè)公共點(diǎn) P 。 a（）求實(shí)數(shù) m的取值范圍（用 a 表示）；1（） O 為原點(diǎn)，若 C1與 x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) A，當(dāng) 0 a 2 時(shí)，試求 OAP 的面積的最 大值（用 a 表示）。1. （ 1）略（2）為簡(jiǎn)化運(yùn)算，設(shè)拋物線(xiàn)方程為2（x x0）2 2p（y y0），點(diǎn) Q，C，D的坐標(biāo)分別為(x3，y3)，(x1，y1)，(x2，y2)，點(diǎn) P(0,0) ，直線(xiàn)

5、 y2(x x0)2p(kx y0)22x 2(x0 pk)x x0 2py0 0kx ，一方面。要證112PC|PD|PQ|化斜為直后只須證：112x1x2x3由于11x1 x22(x02pk)x1x2x1x2x02pk另一方面，由于 P（0,0） 所以切點(diǎn)弦方程為： x0 （x x0） p（y 2y0）所以x32x02 2pk1 x0 pk x3 x02 2pkx0pk112從而x1x2 x3即112PC|PD| PQ |2. (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn) N 的坐標(biāo)為( x,y)，則 M( x,0), P(0, y)(x 0),PM ( x, y),2分2PF (1, y ),由PM PF 0得 x y

6、 240 ，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為y2 4x(x 0). 4(2)設(shè) l 與拋物線(xiàn)交于點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2)，當(dāng) l 與 x 軸垂直時(shí)， 則由 OA OB 4,得y1 2 2,y2 2 2,| AB| 4 2 4 6 ， 不合題意，故與 l與 x軸不垂直，可設(shè)直線(xiàn) l 的方程為 y=kx+b(k0),則由 OA OB 4,得x1 x2 y1y2 4 6分由點(diǎn) A，B 在拋物線(xiàn) y2 4x(x 0)上,有y12 4x1, y22 4x2,故y1y2 8. 又 y2=4x, y=kx+b 得 ky2 4y+4b=0,所以 4bk2 2 1 k 28,b 2k. 16(1 2k 2)

7、,|AB |22k28分32) 10 分1 k 2| AB| 4 30,所以 96 1 2k k32) 480. 解 得直線(xiàn) l 的斜 率的 取值 范圍是 1, 1212,1.12 分3. 由題意得 C為 AP中點(diǎn)，設(shè) C(x0 ,y0),A( 2,0)，P(2x0 2,2y0),把 C 點(diǎn)代入橢圓方程、 P 點(diǎn)代入雙曲線(xiàn)方程可得23x024y021223(2x0 2) 4y0 12x0解之得： 0y0133,故C(1, 3),P(4,3),又 B(2,0)22故直線(xiàn) PD 的斜率為30423 ，直線(xiàn) PD 的方程為2332(x 2),聯(lián)立2x43y (x22y232)解得D (1,13 ，故

8、直線(xiàn) CD 的傾斜角為 902)4. 解法一：)由 |PM|PN|= 2 2 知?jiǎng)狱c(diǎn) P 的軌跡是以 M,N 為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，實(shí)半軸長(zhǎng) a 2又半焦距 c=2，故虛半軸長(zhǎng) bc2 a2222所以 W 的方程為 x y 1,x222()設(shè) A，B 的坐標(biāo)分別為 (x1,y1), (x2,y2)uuur uuur 2 2 當(dāng) ABx 軸時(shí) ,x1 x2,從而 y1y2, 從而 OA OB x1x2 y1y2 x12 y12 2.當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時(shí) ,設(shè)直線(xiàn) AB 的方程為 y kx m,與 W 的方程聯(lián)立 ,消去 y 得(1 k2)x22kmx m220.故 x1 x22kmm2

9、22 ,x1x21kk2 1所以u(píng)uur uuur OA OBx1x2 y1y2x1x2(kx1m)(kx222(1 k2)(m2 2) 2k22 mm22k22k211k2k21又因?yàn)?x1x220,所以 k210,從而uuur OAuuur OBuuur uuur綜上,當(dāng) AB x軸時(shí), OA OB取得最小值 2.22m) (1 k )x1x2 km(x1 x2) m24k2 12.解法二 :()同解法(x2, y2),則2xiyi2 (xiyi )(xiyi)2(i 1,2).則 siti2,且 si0,ti0(i1,2) 所以u(píng)uur uuur OA OB x1x2y1y21(s1t1

10、)(s2 t2)的坐標(biāo)分別為，則 (x1, y1) ,)設(shè) A， B令 si xi yi,ti xi yi,14(s1 t1)(s2 t2)12s1s212t1t2s1s2t1t22,當(dāng)且僅當(dāng)x1s1s2 t1t2 ,即y1x2, 時(shí)”y2”成立.uuur 所以 OAuuurOB 的最小值是 2.5. (1)當(dāng)k=0或 k=-1或k=4時(shí)，C表示直線(xiàn)； 2xk1k2y1 , 為橢圓的充要條件是k14k當(dāng) k 0且 k -1且k 4時(shí)方程為: k 1:k0且 k 14kk 1 k 10,kk 1 4k k1即是 0k2或 2k0，存在滿(mǎn)足條件的 P、 Q，直線(xiàn) PQ的方程為 y x26. (1)

11、由橢圓的定義，點(diǎn) P的軌跡是以 M、N 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng) 因此半焦距 c=2，長(zhǎng)半軸 a=3，從而短半軸b= a c 5 ，22所以橢圓的方程為 x y 1.952a=6 的橢圓 .(2)由 PM gPN2cosMPN,得PM gPN cosMPN PM gPN 2. 因?yàn)?cosMPN 1,P不為橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故 P、M、N 構(gòu)成三角形 .在 PMN中，MN 4,由余弦定理有2 2 2MN 2 PM 2 PN 2 2 PM gPN cosMPN. 將代入，得2242 PM 2 PN 2 2( PM gPN 2).2故點(diǎn) P 在以 M、N 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 2 3 的雙曲線(xiàn) xy2 1上 .3由

12、(1)知，點(diǎn) P 的坐標(biāo)又滿(mǎn)足x2951，所以5x2由方程組2x9y2 45,3y2 3.x解得3325.2.即 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(3 3(22，332，或（3 3 5 ，- 2 ).7. 解：（ I）MON3 ， M,N 是直線(xiàn) l 與雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)，3tan63，3即 a 3b2分雙曲線(xiàn)的焦距為 4，b2 44分22 解得， a 2 3,b2 12x橢圓方程為35分II）解：設(shè)橢圓的焦距為2c，則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(c,0)OM ON 0 ，l1直線(xiàn) l1 的斜率為直線(xiàn) l 的方程為a直線(xiàn) l 的斜率為 ，bab(xc)7分ay (x a) 由by解得設(shè) A(x, y),由 FA1AN3

13、1 x c ( 即 3 c1 ab y( 3cx)y)點(diǎn) A 在橢圓上，(3c2a2216a c2)2a2cabc,y2 即點(diǎn) N(a cacb)ca213(cab x, cy)3c24cab4c2a16c23c2A(3c 4ca2 ,ab)4c10 分。12 分(3c2 a2 )2 a4 16a 2c2(3e21)2 1 16e24 2 29e4 10e2 2 0 e2e57橢圓的離心率是 e57。8. （）由2 x2 ay2 1 2 x 2(x m)22a2x (2m21)a2 0 ，設(shè) f (x) x22a2x(2m 1)a2 ，則問(wèn)題（）轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間 （a, a）上有唯一解：若 0m2a21，此時(shí) xP2a2 ，當(dāng)且僅當(dāng) aa2 a ，即 0a 1 適合；若 f(a)f (a)0，則ama；若 f ( a)0ma ，此時(shí) xPa 2a2 ，當(dāng)且僅當(dāng) a2a 2a a ，即 0 a 1 時(shí)適合；若 f (a) 0ma，此時(shí) xPa 2a2 ，但 a 2a2a ，從而 ma。綜上所述，當(dāng)0a1 時(shí)， m a21或 a m a；當(dāng)a1 時(shí)， am a 。2 y2211） OAP的面積是 SayP 。因?yàn)?0 a ，所以有兩種情形：2 P 2當(dāng) a m a 時(shí)， 0 a2 a a22m 1 a ，由唯一性得 xP