誤差理論與數(shù)據(jù)處理第5版

1、第一章緒論1 1測(cè)得某三角塊的三個(gè)角度之和為18000 02” ,試求測(cè)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差解：絕對(duì)誤差等于:相對(duì)誤差等于:18000 02 -180 =2218022180 60 60 _ 648000=0.00000308641 ： 0.000031%1-4在測(cè)量某一長(zhǎng)度時(shí)，讀數(shù)值為2.31m，其最大絕對(duì)誤差為20m，試求其最大相對(duì)誤差相對(duì)誤差max二絕對(duì)誤差max測(cè)得值100%20 1062.31100%= 8.66 10-4%1 6檢定2.5級(jí)（即引用誤差為 2.5%）的全量程為I00V的電壓表，發(fā)現(xiàn) 50V刻度點(diǎn)的 示值誤差2V為最大誤差，問(wèn)該電表是否合格？解：依題意，該電壓表的示

2、值誤差為2V由此求出該電表的引用相對(duì)誤差為2/100 = 2%因?yàn)?% 2.5%所以，該電表合格。1-6檢定2.5級(jí)（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點(diǎn)的示值誤差2V為最大誤差，問(wèn)該電壓表是否合格?最大引用誤差某量程最大示值誤差測(cè)量范圍上限100%2100100% =2% : 2.5%該電壓表合格1- 8用兩種方法分別測(cè)量 L1=50mm，L2=80mm。測(cè)得值各為50.004mm,80.006mm。試評(píng)定兩種方法測(cè)量精度的高低。相對(duì)誤差L1:50mm,50.004 -50 cc/ c “cc/11100% - 0.008%50L2：80mm80.006 -80

3、丨2100% = 0.0075%80I1 1 2所以L2=80mm方法測(cè)量精度咼。1 9多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為 10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過(guò)0.1km ,優(yōu)秀射手能在距離50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為 2cm的靶心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高？解：多級(jí)火箭的相對(duì)誤差為:10000 “00001 “001%射手的相對(duì)誤差為:1cm 0.01m50m50m= 0.0002 = 0.002%多級(jí)火箭的射擊精度高。1-10若用兩種測(cè)量方法測(cè)量某零件的長(zhǎng)度 L1=110mm,其測(cè)量誤差分別為-1Vlm和丄9 m ;而用第三種測(cè)量方法測(cè)量另一零件的長(zhǎng)度L2=150mm其測(cè)量誤差為-12m，試比較三種測(cè)量

4、方法精度的高低。相對(duì)誤差1111m0.01%110mm9 Am0.00 8 2 %1 1 mm12 m= 0.008%150mmI2 ：I1第三種方法的測(cè)量精度最高第二章誤差的基本性質(zhì)與處理2 4 測(cè)量某電路電流共 5 次,測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mA）為168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差。解：、Ti= 168.49(mA) (li -丨)=i =45-1= 0.082 (|j)2351O。8054()4”5【,108062 5在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mm為20.0015,定測(cè)量結(jié)果。解

5、：求算術(shù)平均值20.0016 , 20.0018 , 20.0015 , 20.0011。若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確n7 lix = - = 20.0015mmn求單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差n Vi2n126 10、2.55 10，mm4求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差CJ2.55 10*x 5= 1.14 10*mm確定測(cè)量的極限誤差因n = 5較小，算術(shù)平均值的極限誤差應(yīng)按t分布處理。現(xiàn)自由度為：v = n 1 = 4;a = 1 0.99 = 0.01 ,查t 分布表有：ta = 4.60極限誤差為寫出最后測(cè)量結(jié)果、iimx =： t：匚x 4.60 1.14 105.24 10，mmL 二

6、x 、|imx = 20.0015 -5.24 10, mm2-4測(cè)量某電路電流共5次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為 mA）為168.41, 168.54,168.59, 168.40, 168.50。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤-168.41168.54 168.59168.40 168.50x =5= 168.488( mA)J W2二；一 0.082(mA)a 0.082或然誤差：R 二 0.6745；匕二 0.6745 0.037 二 0.025( mA)平均誤差：T = 0.7979=0.7979 0.037 = 0.030(mA)2- 5在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重量測(cè)量 5

7、次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位 為 mm 為 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若測(cè)量值服 從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確定測(cè)量結(jié)果。20.0015 20.0016 20.0018 20.001520.0011x =5二 20.0015（ mm）止態(tài)分布p=99%寸，t =2.58lim xx二 0.000252.580.。0025V5=0.0003(mm)測(cè)量結(jié)果：X =x J佔(zhàn)=(20.0015 _0.0003)mm2-7用某儀器測(cè)量工件尺寸，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，其標(biāo)準(zhǔn)差0.004mm,若要求測(cè)量結(jié)果的置信限為一 0.005mm,當(dāng)置信概率為99%

8、 時(shí)，試求必要的測(cè)量次數(shù)。正態(tài)分布 p=99%時(shí)，t=2.582.58 0.004 cc、n2.0640.005n =4.26取 n =52-8用某儀器測(cè)量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差 誤差為土 0.0015mm,而置信概率 解：根據(jù)極限誤差的意義，有(T = 0.001mm,若要求測(cè)量的允許極限 P為0.95時(shí)，應(yīng)測(cè)量多少次？一垸乂 二一t 二：0.0015、n根據(jù)題目給定得已知條件，有t 0.0015,1.5 .n 0.001查教材附錄表3有若 n = 5, v= 4, a = 0.05 ,有 t = 2.78 ,278空8 242.236若 n = 4, v= 3, a = 0.05 ,

9、有 t = 3.18 ,t =3.18- n 4壬592即要達(dá)題意要求，必須至少測(cè)量5次。2-10某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù)(單位為 Pa)為 102523.85, 102391.30,102257.97, 102124.65, 101991.33,101858.01, 101724.69, 101591.36,其權(quán)各為1, 3, 5, 7, 8, 6, 4, 2,試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。8_ Z PiK殳=14102028.34(Pa) Pii 4、PiVxi2cx:-86.95(Pa)(8-1廣 Pi2- 11測(cè)量某角度共兩次，測(cè)得值為- 24 13 36 , 2 =24 1324，

10、其標(biāo)準(zhǔn)差分別為G =3.1 2 =13.8 ,試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。P1： P2 匸= 19044: 9611X =24 132019044 16 961 419044 961=24 1335-3.119044.19044 961:3.02-12甲、乙兩測(cè)量者用正弦尺對(duì)一錐體的錐角得值如下：:-各重復(fù)測(cè)量5次，測(cè):甲 :7 220 ,7 3 0 ,7 2 35 ,7 2 20 ,7 2 15 ;:乙 :7 225 ,7 2 25 ,7 2 20 ,7 2 50 ,7 2 45 ;試求其測(cè)量結(jié)果甲: X甲=7 2 20 60 35 20 15,230= 18.4”-甲5 二18.4=8.

11、2311 :2 :CJ -rax甲1 : 18.232 6.042二 3648: 67733648 30 6773 333648 + 677372 7232CF-xP甲P甲 P乙、3648=4.87.3648 6773乙：x乙 =7 2 25 25 20 50 45“233X =x_3=7 232_15 2-14重力加速度的20次測(cè)量具有平均值為9.811m/s2、標(biāo)準(zhǔn)差為 0.014m/s2。另夕卜30次測(cè)量具有平均值為9.802m/s2，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.022m/s2。假設(shè)這兩組測(cè)量屬于同一正態(tài)總體。試求此 50次測(cè)量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。1 1 1 1p1 : p2 二 TT : TT 二2

12、:2 = 2 4 21 4 7x210.014 ； 10.022 ；2:9.808(m/s )-242 9.811 147 9.802x =242 +1470.01424220242 147:0.002(m/s2)2-15對(duì)某量進(jìn)行10次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為14.7, 15.0, 15.2, 14.8, 15.5,14.6, 14.9, 14.8, 15.1, 15.0，試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。X =14.96按貝塞爾公式 G二0.263310Z Vi按別捷爾斯法 匕二1.25 i -0.2642J1O(1O_1)由=1 u 得 u 二-1 =0.0034.1 . 12u = =0.67

13、所以測(cè)量列中無(wú)系差存在。2-16對(duì)一線圈電感測(cè)量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后6次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下(單位為mH：50.82, 50.83, 50.87, 50.89;50.78, 50.78, 50.75, 50.85, 50.82, 50.81。試判斷前4次與后6次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差。使用秩和檢驗(yàn)法：排序：序號(hào)12345第一組第二組50.7550.7850.7850.8150.82序號(hào)678910第一組50.8250.8350.8750.89第二組50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表T= 14 T = 30T T-所以兩組間存在系差2

14、- 19對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下:Xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95ni (nn21)=(-2) =203 ；212=474求出:T -aCJ=-0.1試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：按照秩和檢驗(yàn)法要求，將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表：T12345678910Xi0.620.861.131.131.161.181.20yi0.991.121.21T111213141516171

15、81920Xi1.211.221.301.341.391.41yi1.251.311.311.38T2122232425262728Xi1.57yi1.411.481.591.601.601.841.95現(xiàn)nx= 14, ny = 14，取x的數(shù)據(jù)計(jì)算T,得T= 154。由現(xiàn)取概率2建)=0.95 ,即(t) =0.475 ,查教材附表1有r =1.96。由于t t.因此,可以認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)間沒(méi)有系統(tǒng)誤差。第三章誤差的合成與分配3- 1相對(duì)測(cè)量時(shí)需用54.255mm的量塊組做標(biāo)準(zhǔn)件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們 的基本尺寸為h =40mm , l2 =12mm , l 1.25mm ,I4 =

16、1.005mm。經(jīng)測(cè)量，它們的尺寸偏差及其測(cè)量極限誤差分別為計(jì)1 二0.7m, J 二 05b ,仏=0.3m,也= 0.1m, rmh = 0.35miiml2 = 0.25m,、伽丨3 = 0.20m,nml-0.20Jm。試求量塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正值及給相對(duì)測(cè)量帶來(lái)的測(cè)量誤差。修正值=（./ .仏* .仏.訂4）=-(-0.70.5 -0.30.1) =0.4 (m)測(cè)量誤差:2lim hlim I2lim I32lim I4=_ . (0.35)2(0.25)2(0.20)2(0.20)2 =二 0.51( Jm)3- 2 為求長(zhǎng)方體體積V ,直接測(cè)量其各邊長(zhǎng)為 161.6mm

17、,b =44.5mm,c =11.2mm,已知測(cè)量的系統(tǒng)誤差為：a = 1.2mm，厶b - -0.8mm ,c = 0.5mm，測(cè)量的極限誤差為=0.8mm，： 0.5mm，： 0.5mm，試求立方體的體積及其體積的極限誤差V 二 abc V = f (a, b, c)V0 二 abc=161.6 44.5 11.23=80541.44( mm )體積V系統(tǒng)誤差V為：=V =bc=a ac=b ab=c33=2745.744(mm ) ： 2745.74(mm )立方體體積實(shí)際大小為：V =V V =77795.70(mm3)益丄：打2宀2 行2r2f 22 limV 二 ()( )-b (

18、 )-c、O比cc= (be)2 叮 (ac)2、b2 (ab)2、c2=：3729.11(mm3)測(cè)量體積最后結(jié)果表示為：V 二Vo - ：V 、iimv =(77795.70 _3729.11)mm33 3長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)分別為 a 1, a 2, a 3測(cè)量時(shí)：標(biāo)準(zhǔn)差均為(T ；標(biāo)準(zhǔn)差各為(T 1、(T 2、 (T 3。試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。解：長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式為：V = a1 a2 a3體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為:V 2 2V 2()w+()2 (N、2 C )-*3ca2；:VeV-a1 a3 ；-=a1a 2:a2&3-V2 2-3eV現(xiàn)可求出：a2 a3 ；cai若:則有：二V丁 ,(a2a3

19、)2(da?)2(ca?)2右：；r =匚2 =匚3i1222222則有：-V = . 2&3)1 1&3)2 舊2)-33-4 測(cè)量某電路的電流I = 22.5mA，電壓U =12.6V，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為G = 0.5mA , % =0.1V ,求所耗功率P=UI及其標(biāo)準(zhǔn)差二PP =UI -12.6 22.5 =283.5(mw)P二f (U,l)； U、I成線性關(guān)系 5胡%U2 +(什)22 +2(f )(專)56cIcU cIfU.:UI =l；u U；| = 22.5 0.1 12.6 0.5J= 8.55( mw)3 9 按公式V=n r2h求圓柱體體積，若已知 r約為2cm, h

20、約為20cm,要使體積的相對(duì) 誤差等于1%,試問(wèn)r和h測(cè)量時(shí)誤差應(yīng)為多少？解：若不考慮測(cè)量誤差，圓柱體積為V =感 r2 h =3.14 2220 = 251.2cm3根據(jù)題意，體積測(cè)量的相對(duì)誤差為1%,即測(cè)定體積的相對(duì)誤差為：c1%V即：；二V 1% =251.2 1% =2.51現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出 測(cè)定r的誤差應(yīng)為：CT 1Cr2 :V / ；：r測(cè)定h的誤差應(yīng)為： 1h2 :V / ;h1.412.512-hr二 0.007 cm打=0.142cm1.41 二 r3-11對(duì)某一質(zhì)量進(jìn)行4次重復(fù)測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位g）為428.6, 429.2, 426.5, 430.8。已

21、知測(cè)量的已定系統(tǒng)誤差= - -2.6g,測(cè)量的各極限誤差分量 及其相應(yīng)的傳遞系數(shù)如下表所示。若各誤差均服從正態(tài)分布，試求該質(zhì)量 的最可信賴值及其極限誤差。序號(hào)極限誤差/g誤差傳遞系數(shù)隨機(jī)誤差未定系統(tǒng)誤差12.1一12一1.513一1.014一0.5154.5一16一2.21.471.0一2.28一1.81-428.6429.2426.5430.8x =4=428.775(g)428.8(g)最可信賴值 x = X - 厶=428.8 - 2.6 = 431.4(g)4(S5(f)n i -Xj4 i m4 1 某圓球的半徑為r，若重復(fù)10次測(cè)量得r d r =(3.132 0.005)cm，試

22、求該圓球 最大截面的圓周和面積及圓球體積的測(cè)量不確定度，置信概率P=99%。解：求圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D =2二丁:-4.9(g)測(cè)量結(jié)果表示為：x = X廣；訂x =(431.4 _4.9)g第四章測(cè)量不確定度=0.0314cm確定包含因子。查t 分布表 10.01 (9)= 3.25，及 K= 3.25其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為:故圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度為：u= Ku= 3.25 X 0.0314 = 0.102求圓球的體積的測(cè)量不確定度43圓球體積為：Vr3其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：u = J 幷2 =J(4 燈 r2 2r： =U16x3.141

23、592 X3.1324 X 0.0052 = 0.616確定包含因子。查 t分布表to.oi ( 9)= 3.25，及K= 3.25最后確定的圓球的體積的測(cè)量不確定度為U= Ku= 3.25 X 0.616 = 2.0024- 4某校準(zhǔn)證書(shū)說(shuō)明，標(biāo)稱值 10門的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻 R在20 C時(shí)為10.0007420 129嗆(P=99%),求該電阻器的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，并說(shuō)明屬于哪一類評(píng)定的不確定度。T由校準(zhǔn)證書(shū)說(shuō)明給定-屬于B類評(píng)定的不確定度vR在10.000742門-129丄,10.000742門+129山范圍內(nèi)概率為99% 不為100%-不屬于均勻分布，屬于正態(tài)分布a =129當(dāng) p=99%

24、時(shí)，Kp =2.58Kp1292.58=50（山）4- 5在光學(xué)計(jì)上用52.5mm的量塊組作為標(biāo)準(zhǔn)件測(cè)量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而成，其尺寸分別是：h = 40mm， l2 =10mm，l3 = 2.5mm，量塊按“級(jí)”使用，經(jīng)查手冊(cè)得其研合誤差分別不超過(guò)_0.45m、 -0.30m、_0.25m(取置信概率P=99.73%的正態(tài)分布)，求該量塊組引起的測(cè)量不確定度L = 52.5mm h=40mm l2=10mml3 = 2.5mmL =li I2 I3p =99.73%心=3iia 0.45kP = 0.15(m)U|2a 0.30kP =0.10(m)U |3 = = 0.08(

25、 .Lm)kp 3U L =，:u 廠U 廠 h Jo.lX 0.102 0.082= 0.20( Jm)4 6某數(shù)字電壓表的說(shuō)明書(shū)指出，該表在校準(zhǔn)后的兩年內(nèi)，其2V量程的測(cè)量誤差不超過(guò)土 （14 X 10-6讀數(shù)+1 X 10-6 X量程）V，相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為20 %，若按均勻分布，求1V測(cè)量時(shí)電壓表的標(biāo)準(zhǔn)不確定度； 設(shè)在該表校準(zhǔn)一年后， 對(duì)標(biāo)稱值為1V的電壓進(jìn)行16次重復(fù)測(cè)量， 得觀測(cè)值的平均值為 0.92857V，并由此算得單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.000036V，若以平均值作為測(cè)量的估計(jì)值，試分析影響測(cè)量結(jié)果不確定度的主要來(lái)源，分別求出不確定度分量， 說(shuō)明評(píng)定方法的類別，求測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不

26、確定度及其自由度。622202220101412064822336113x y =2.95- 1測(cè)量方程為x -2y =0.9試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。誤差2x -3y =1.9V1 =2.9 -(3x y) 方程為 v2 =0.9 -(x-2y)v3 =1.9 (2x 3y)nnai1ai1x吃ai1ai2yai =!i =innai2ai1 x+zai2ai2yai2i ir nz列正規(guī)方程心n.i彳代入數(shù)據(jù)得0.962y =0.015MX513.4 解得-5x 14y - -4.6W =2.9 -(3 0.9620.015-0.001將 X、y 代入誤差方程式v2 =0.9

27、 -(0.962 -2 0.015) =-0.032v3=1.9 -(2 0.962 -3 0.015)=0.021測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為二 0.038求解不定乘數(shù)d:14dn - 5d12 = 1d12_5dn 14d12 = 0d2214d21 _5d22 =0-5d2i 14d22 =1解得 = d 22 = 0.082x、y 的精度分別為二x -；d11 =0.01 二 yd22 =0.01x -3y = -5.6, P1 = 15-5不等精度測(cè)量的方程組如下：4x= 8.1, p2 22x - y 二 0.5, P3 = 3試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。V1 二-5.6 -(x -3y), P1 =1歹U誤差方程 v2 =8.1 -(4xy), p2 =2V3 二 0.5 _(2xy), P3 =33正規(guī)方程為 ：二33卩匚玄也低亠二Piai1ai2y= 苗征i =1i=l33Piai2a1x 亠一 Piai2ai2 P