第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入311數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念Word版含解析

1、3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念明目標(biāo)、知重點(diǎn)1了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過程.2 .理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.填要點(diǎn)記疑點(diǎn)1. 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù) 定義：形如 a+ bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中 a, b R, i叫做虛數(shù)單位.a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部.表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z= a+ bi.(2) 復(fù)數(shù)集 定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集. 表示：通常用大寫字母 C表示.2. 復(fù)數(shù)的分類及包含關(guān)系(實(shí)數(shù)(b= 0)(1)復(fù)數(shù)(a+ bi , a, b RH 他虛數(shù)(a=

2、 0)虛數(shù)(b*0 i*I 習(xí)非純虛數(shù)(aM0)(2)集合表示:3復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a, b, c, d都是實(shí)數(shù)，那么a+ bi = c+ di ? a= c 且 b= d.探要點(diǎn)究所然情境導(dǎo)學(xué)圍內(nèi)很多問題還不能解決，如從解方程的角度看，象那么怎樣解決方程x2=- 1在實(shí)數(shù)系中無根的問題呢？我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充,使得在新為解決方程X2 = 1,數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)；數(shù)的概念擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集后，人們發(fā)現(xiàn)在實(shí)數(shù)范 X2=- 1這個(gè)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就無解,的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？本節(jié)我們就來研究這個(gè)問題.探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念思考1為解決方程x2= 2,數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)；那么怎樣解決

3、方程X2+ 1 = 0在實(shí)數(shù)系中無根的問題呢?答 設(shè)想引入新數(shù)i，使i是方程X2+ 1 = 0的根，即i- i =一 1，方程X2+ 1= 0有解，同時(shí)得到一些新數(shù).思考2如何理解虛數(shù)單位i?答(1)i 2 = 1.(2) i與實(shí)數(shù)之間可以運(yùn)算，亦適合加、減、乘的運(yùn)算律.2 2(3) 由于i V 0與實(shí)數(shù)集中a 0( a F)矛盾，所以實(shí)數(shù)集中很多結(jié)論在復(fù)數(shù)集中不再成立.(4) 右 i = 1，那么 i = i , i = 1, i = i , i = 1.思考3什么叫復(fù)數(shù)？怎樣表示一個(gè)復(fù)數(shù)?答 形如a+ bi( a, b F)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z= a+ bi，這一表示形

4、式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中 a、b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.思考4什么叫虛數(shù)？什么叫純虛數(shù)?答 對(duì)于復(fù)數(shù)z = a+ bi( a, b R)，當(dāng)b*0時(shí)叫做虛數(shù)；當(dāng) a = 0且bK時(shí)，叫做純虛數(shù).思考5復(fù)數(shù)m+ ni的實(shí)部、虛部- ，定是 m、 n嗎？答 不一定，只有當(dāng) m R, n R,則m n才是該復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部.例1請(qǐng)說出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并判斷它們是實(shí)數(shù)，虛數(shù)還是純虛數(shù).12+ 3i ;-3+ 2i 2/2+ i : n ;-羽i ； 0.解的實(shí)部為2，虛部為3,1是虛數(shù)；的實(shí)部為一 3,虛部為2,是虛數(shù)；的實(shí)部為72,虛部為1，是虛數(shù)；的實(shí)部為n，虛部為0,是實(shí)數(shù)；的實(shí)部為

5、0，虛部為，是純虛數(shù)；的實(shí)部為0，虛部為0，是實(shí)數(shù).反思與感悟 復(fù)數(shù)a+ bi中，實(shí)數(shù)a和b分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.特別注意,b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號(hào)叫做復(fù)數(shù)的虛部.跟蹤訓(xùn)練1符合下列條件的復(fù)數(shù)一定存在嗎？若存在，請(qǐng)舉出例子；若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)實(shí)部為一虛部為-虛部為-實(shí)部為一72的虛數(shù)；72的虛數(shù)；72的純虛數(shù)；謔的純虛數(shù).存在且唯一,(1)存在且有無數(shù)個(gè)，如 V2+i等；(2)存在且不唯一，如1/i等；(3) 即一 72i ； (4)不存在，因?yàn)榧兲摂?shù)的實(shí)部為0.例2當(dāng)實(shí)數(shù)訕何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=+ （n2- 2mi為實(shí)數(shù)；虛數(shù)；（3）純虛數(shù).m 2m= 0解當(dāng)丄

6、，即m=2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù);m 2m 0, 當(dāng)ho即m存0且m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù);im+ m 6-=0當(dāng)i mIn2 2m0即m= 3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).反思與感悟 利用復(fù)數(shù)的概念對(duì)復(fù)數(shù)分類時(shí)，主要依據(jù)實(shí)部、虛部滿足的條件，可列方程或 不等式求參數(shù).跟蹤訓(xùn)練2實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù) z =晉+（m+ 2m- 3）i 是（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純 虛數(shù).解要使z是實(shí)數(shù)，m需滿足n2+ 2仆3=0,且豊2有意義即m-1工0,解得n=-3. 要使z是虛數(shù)，m需滿足 m+ 2m-3工0,且 豊j2有意義即 m- 1工0,解得 ml且m 3.（3）要使z是純虛數(shù)，m需滿足mm+12 = 0, m-1

7、工0,且 m+ 2n 3工0,解得m= 0或m= 2.探究點(diǎn)二兩個(gè)復(fù)數(shù)相等 思考1兩個(gè)復(fù)數(shù)能否比較大小?答 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)，那么它們不能比較大小.思考2兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么?答 復(fù)數(shù)a+ bi與c + di相等的充要條件是a= c且b= d（a, b, c, d R）.例3 已知x, y均是實(shí)數(shù)，且滿足(2x 1) + i = y (3 y)i ,求x與y.解由復(fù)數(shù)相等的充要條件得fX1 = y,|1 = y 3.3x=二, 解得i2y= 4.反思與感悟兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，首先要分清兩復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，然后利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得到兩個(gè)方程，從而可以確定兩個(gè)獨(dú)立參數(shù).x2 x

8、6跟蹤訓(xùn)練3 已知 一 =(x2 2x 3)i( x F)，求x的值. x十I解由復(fù)數(shù)相等的定義得2 X 6X + 1= 0.lx2 2x 3= 0.解得：x= 3,所以x = 3為所求.當(dāng)堂測(cè)查疑缺1已知復(fù)數(shù)z = a2 （2 b）i的實(shí)部和虛部分別是2和3，則實(shí)數(shù)a, b的值分別是（）a 1C. 邊，5答案 C解析令F = 2，得a=謔,b= 5.2 + b= 3y22下列復(fù)數(shù)中，滿足方程X+2=0的是（）A. 1B.iC.血D. 2i答案 C3. 如果 z = nmm+1) + (m 1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) m的值為（）A. 1B. 0C.D. 1 或 1答案解析imfm+ 1 = 0由

9、題意知1-0 m= 0.4.下列幾個(gè)命題:兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的一個(gè)必要條件是它們的實(shí)部相等;兩個(gè)復(fù)數(shù)不相等的一個(gè)充分條件是它們的虛部不相等; 1 ai（ a R）是一個(gè)復(fù)數(shù); 虛數(shù)的平方不小于 0； 一1的平方根只有一個(gè)，即為一i; i是方程X4 1 = 0的一個(gè)根；寸2i是一個(gè)無理數(shù).其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）答案 B解析 命題正確，錯(cuò)誤.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1對(duì)于復(fù)數(shù)z = a+ bi（ a, b R），可以限制a, b的值得到復(fù)數(shù) z的不同情況;2. 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，要先確定兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行判斷.40分鐘課時(shí)作業(yè)、基礎(chǔ)過關(guān)是純虛數(shù)”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充

10、分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 B解析因?yàn)閍, b R. “ a= 0”時(shí)“復(fù)數(shù)a+ bi不一定是純虛數(shù)”.“復(fù)數(shù)a+ bi是純虛數(shù)”則“ a= 0” 一定成立.所以a, b R “a= 0”是“復(fù)數(shù)a+ bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件.下列命題正確的是（）A.若a R,則（a+ 1）i是純虛數(shù)B.C.若 a, b R且 ab,則 a+ i b+ i2 2若(X 1) + (X+3X+ 2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) x=lD.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小1.設(shè) a, b R. “a= 0” 是“復(fù)數(shù) a+ bi答案 D解析對(duì)于復(fù)數(shù)a+ bi( a, b R),當(dāng)a= 0且bM0時(shí)為純虛

11、數(shù).在A中，若a= 1,則（a+ 1）i不是純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤;在B中，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故 B錯(cuò)誤;在C中，若x= 1,不成立，故C錯(cuò)誤；D正確.3. 以一/5+ 2i的虛部為實(shí)部，以 很 + 2i2的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是()A. 2 2i B . +西C. 2 + i D. / +萌答案 A解析 設(shè)所求新復(fù)數(shù)z = a+ bi( a, b R),由題意知：復(fù)數(shù)一5+ 2i的虛部為2;復(fù)數(shù)寸5i + 2i2=J5i + 2X ( 1) = 2+寸5i的實(shí)部為 2,則所求的z= 2 2i.故選A.4. 若(X + y)i = X 1(X, yE R)，則 2X+y 的值為()答案解析由復(fù)數(shù)相

12、等的充要條件知,x + y= 0,X 1 = 0,5.若復(fù)數(shù)X = 1解得 X + y = 0. /.2Xy = 20= 1.y= 1,z = (X2 1) + (X 1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) X的值為()C. 1答案解析由復(fù)數(shù)z = (x2 1) + (X 1)i 為純虛數(shù)得 F- 1 = 0，解得 X= 1.X 1 工 0,6設(shè)mE R, m2+ m 2 + (m 1)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則 n=答案解析fnn + n 2 = 0m1M0? n=-2.7.已知(2x-y+ 1) + (y 2)i = 0,求實(shí)數(shù) x, y 的值.解/ (2x y +1) + (y 2)i = 0,f

13、ex-y+ 1 = 0,Ix= 1,1解得i 2.y 2 = 0.I c?ly=2.1所以實(shí)數(shù)X, y的值分別為2, 2.二、能力提升&若(X2 1) +(X2 + 3X+ 2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) X的值是()A. 1 B . 1 C . 1 D . 1 或一2答案 A解析由題意，得2 J0x 3x 2工 0.解得x= 1.2 29.Z1 = - 3 4i ,Z2= (n 3 m- 1) + (n m- 6)i ,且 z = Z2,則實(shí)數(shù) m=,n=答案 223= n2 3m- 1fm= 2解析由Z1= Z2得彳2，解得.4= n m 6n=210.已知集合M= 1,2,(a2 3a 1) +

14、 (a25a 6)i,N= 1,3,若MPN= 3，則實(shí)數(shù)a答案解析由 MP N= 3 知, 3 M 即有(a2 3a- 1) + 5a- 6)i = 3,所以 f 彳一 1 = 3,ja 5a 6= 0,解得a=- 1.+ (m 3m- 18)i 是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純211.實(shí)數(shù) m分別為何值時(shí)，復(fù)數(shù) Z = 一n+ 3虛數(shù).解(1)要使所給復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，必使復(fù)數(shù)的虛部為0.而3m- 18= 0故若使Z為實(shí)數(shù)，則爲(wèi).0 解得m= 6.所以當(dāng)m= 6時(shí)，z為實(shí)數(shù).0.(2)要使所給復(fù)數(shù)為虛數(shù)，必使復(fù)數(shù)的虛部不為 故若使Z為虛數(shù)，則 m-3m- 18工0,且n+ 3工0,所以當(dāng)m6且m- 3時(shí)，z為虛數(shù).(3)要使所給復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，必使復(fù)數(shù)的實(shí)部為0,虛部不為0.2口+ m 3 = 0故若使Z為純虛數(shù)，則in+ 3工0m 3 m- 18工0 當(dāng)乙 R時(shí)，mlu m 2= 0, mu 1 或 m= 2.解得當(dāng) z2 R時(shí)，mi 5mU4= 0, m= 1 或 m= 4,當(dāng) m= 1 時(shí)，zi = 2, Z2= 6，滿足 ziZ2. Zi 1，如何求自然數(shù) m n的值?2解 因?yàn)?log1 (mu n) ( m2 3n)i 1，所以 log 1 ( mu n)