圓讀本（數(shù)學(xué)史）

1、十 對圓的再研究在初中平面幾何中，我們曾經(jīng)用幾何推理的方法對圓作了重點研究，對圓有了一定的了解，今天，我們將換一種方法，從數(shù)的角度去認(rèn)識圓，讓我們用數(shù)的方法（解析法）再來研究圓吧！數(shù)學(xué)史話紳士、軍人和數(shù)學(xué)家 解析幾何的創(chuàng)始人笛卡爾（具體內(nèi)容見紙質(zhì)稿，摘自數(shù)學(xué)大師美埃里克坦普爾貝爾 著，徐源 譯 宋蜀碧 校，上?？萍冀逃霭嫔绯霭妫?思維導(dǎo)航解析幾何基本原理（具體內(nèi)容見紙質(zhì)稿，摘自什么是數(shù)學(xué)美R柯郎H羅賓 著，I斯圖爾特 修訂，左平 張怡慈 譯 ，復(fù)旦大學(xué)出版社出版） 圓中的對稱問題 圓的對稱問題面面觀圓對稱問題主要有中心對稱和軸對稱兩類，兩圓關(guān)于某點對稱或某直線對稱，其實質(zhì)是圓心關(guān)于某點對稱或

2、某直線對稱，兩對稱圓的半徑是一樣的，因此，圓的對稱問題可以轉(zhuǎn)化為點與點對稱或點與線的對稱來解決。一、兩圓關(guān)于某點的中心對稱1、兩圓關(guān)于原點對稱例1、圓（x2）2y25關(guān)于原點（0，0）對稱的圓的方程為（ ）A（x2）2y25Bx2（y2）25C（x2）2（y2）25Dx2（y2）25解：已知圓的圓心為（2,0），半徑為，點（2,0）關(guān)于原點的對稱點為（2,0），故關(guān)于原點對稱的圓方程為：（x2）2y25，所以選（A）。2、兩圓關(guān)于任意點對稱例2、圓（x1）2（y2）24，關(guān)于點（3,4）對稱的圓方程為解：圓（x1）2（y2）24的圓心為（1,2），半徑為2，設(shè)點（1,2）關(guān)于點（3,4）對稱的

3、點坐標(biāo)為（a，b），則有，解得：，所求圓方程為：（x7）2（y6）24二、兩圓關(guān)于某直線的軸對稱 1、關(guān)于x軸、y軸、yx、yx對稱例3、已知圓C與圓（x2）2（y1）21關(guān)于x軸對稱，則圓C的方程為解：圓（x2）2（y1）21的圓心坐標(biāo)為（2,1），半徑為1，點（2,1）關(guān)于x軸對稱的點為（2,1），所以，所求圓方程為：（x2）2（y1）21例4、（2004全國III）已知圓C與圓（x1）2y21關(guān)于直線yx對稱，則圓C的方程為（）（A）（x1）2y21（B）x2y21 （C）x2（y1）21（D）x2（y1）21解：圓（x1）2y21的圓心坐標(biāo)為（1,0），半徑為1，點（1,0）關(guān)于yx的

4、對稱點為（0，1），所以，圓C的方程為x2（y1）21，選（C）。2、關(guān)于其它直線對稱例5、圓x2y2ax2y10和圓x2y21關(guān)于直線xy10對稱，則實數(shù)a的值是（）（A）2（B）2（C）2（D）1解：方程x2y2ax2y10化圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x）2（y1）2圓心坐標(biāo)為（，1），半徑為圓x2y21的圓心坐標(biāo)為（0,0），半徑為1，因為兩圓關(guān)于直線xy10對稱，所以，兩圓心的中點坐標(biāo)在直線上，且半徑相等，即，解得：a2，選選（A）三、求圓的對稱軸例6、曲線x2+y2+2x2y0關(guān)于（ ）A.直線x=軸對稱B.直線y=x軸對稱C.點（2，）中心對稱D.點（，0）中心對稱解：原方程化為：（x+）

5、2+（y）24如右圖所示，過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸，故圓關(guān)于y=x對稱，選B。數(shù)學(xué)應(yīng)用物理中“圓”的妙用利用幾何圖形，解決物理問題，通常會收到事半功倍的效果。現(xiàn)把日常學(xué)習(xí)中的關(guān)于使用幾何“圓”的點滴體會與同學(xué)們分享。 1“矢量圓”的應(yīng)用關(guān)于共點力作用下力的合成與分解，特別是互成角度的兩個力作用下力的合成問題，當(dāng)合力不變，而其中一個力大小不變，判斷另一個力大小和方向變化時，可以把大小不變的力作為圓的半徑，通過一個“圓”來形象處理合力和分力的大小方向關(guān)系?，F(xiàn)舉例如下： 例一、 在兩個共點力合成的實驗中，如圖1所示，用A、B兩彈簧秤拉橡皮條的結(jié)點D，使其位于E處，然后保持A的讀數(shù)不變，當(dāng)角

6、a由圖示位置逐漸減小時，欲使點似在E處，可采用的方法是：A.增大的讀數(shù)，減小角 B.減小的讀數(shù)，減小角C.減小的讀數(shù)，增大角 D.增大的讀數(shù)，增大角本題可以通過余弦定理等數(shù)學(xué)公式加以求解的讀數(shù)變化，但關(guān)于角變化，則不容易判斷。如果根據(jù)力的合成規(guī)律，由于A的讀數(shù)，即力的大小不變，把它作為圓的半徑，以合力F合為直徑畫一個圓，則本題的答案就會一目了然。畫法如下：由圖2可以形象地看出當(dāng)+90時，隨著的減小減小;而當(dāng)+90時隨著的減小，力F減小，但角先增大再減小。因此本題答案應(yīng)選B選項。 跟蹤練習(xí)1如圖3所示，桿BC的B端鉸接于豎直墻上，另一端C為一滑輪。重物G上系一繩經(jīng)過滑輪固定于墻上A點處，恰好平衡

7、。若將繩的A端沿墻向下移，再使之平衡（BC桿，滑輪、繩的壓力及摩擦均不計）。則A.繩的拉力增大，BC桿受到的壓力增大B.繩的拉力不變，BC桿受到的壓力減小C.繩的拉力不變，BC桿受到的壓力增大D.繩的拉力不變，BC桿受到的壓力不變解：由于繩的拉力大小不變，則可以取AC受到的拉力大小為半徑作圓。由矢量圖4可以看出，隨著的減小，F(xiàn)拉與G的合力BC桿的壓力是平衡力，所以BC桿受到的壓力將增大。09答案應(yīng)選C。2.“等時圓”的應(yīng)用（1）“等時圓”的特征如圖5所示，O、A、B、C、D在同一個圓周上，OA、OB、OC、OD是四條光滑的弦，則物體由靜止在O點開始沿各弦下滑到A、B、C、D所用的時間，因此該圓

8、稱之為“等時圓”。 在應(yīng)用“等時圓”解題時，值得注意的是：在重力場中，該圓上的各條光滑弦進行比較，以便直觀地得出結(jié)論。（2）“等時圓”的應(yīng)用例題：在圖6中AB是一傾角為的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在P與AB輸送帶間建立一管道（假設(shè)光滑），使原料從P處以最短的時間到達輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？解析： 過OP點向傳送帶AB作光滑斜面PC1、PC2、PC3.或P，C1、 P，C2 、P，C3，為了比較沿不同軌道運動的時間，我們作出與斜面對應(yīng)的一簇等時間圓，如圖7所示，圖中的等時間O1、O2、O3的直徑滿足d1 d2 d3,故運動時間t1t2t3,可見，要使運動時間盡可

9、能短，則要求等時間圓的直徑盡可能小，臨界情況是等時間圓與AB相切，如圖8所示。 由幾何關(guān)系可得：DOC=、=DPC=/2,即從P點沿與豎直方向成=/2夾角的軌道PC原料到達輸送帶的時間最短。本題如果用牛頓第二定律和結(jié)合運動學(xué)公式，再用數(shù)學(xué)知識求極值，較為繁瑣，此處不再贅述。拓展延伸圓系方程及其應(yīng)用在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常見的圓系方程有如下幾種：1、以為圓心的同心圓系方程：；與圓同心的圓系方程為：.2、過直線與圓交點的圓系方程為：（）（）.3、過兩圓:0，:交點的圓系方程為：（）0（-，此圓系不含:）.特別地，當(dāng)時，上述方程為

10、根軸方程兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程注：為了避免利用上述圓系方程時討論圓，可等價轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:.圓系方程在解題中的應(yīng)用：1. 利用圓系方程求圓的方程例、求經(jīng)過兩圓32和2交點和坐標(biāo)原點的圓的方程解：由題可設(shè)所求圓的方程為：（32）（2）原點（0，0）在所求的圓上，2從而.故所求的圓的方程為： .即7.2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。分析：本題若先聯(lián)立方程求交點，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。而選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公

11、共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為過直線與圓的交點的圓系方程為，即.依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則.代回圓系方程，得所求圓方程.例3; 求經(jīng)過直線：24與圓：241的交點且面積最小的圓的方程解：設(shè)圓的方程為：241（24）即（14）則，當(dāng)時，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：261237練習(xí)：1求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+7=0的兩個交點且過原點的圓的方程。（常數(shù)項為零）2求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x

12、-y+5=0的兩個交點且圓心在x軸上的圓的方程。（圓心的縱坐標(biāo)為零）3求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點且面積最小的圓方程。（半徑最小或圓心在直線上）4求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點且與x軸相切的圓的方程；并求出切點坐標(biāo)。（圓心到x軸的距離等于半徑）3、利用圓系方程求參數(shù)的值：例3：已知圓與直線相交于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，若，求實數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程，最后驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出O在以PQ為直徑的圓上。而P，Q剛

13、好為直線與圓的交點，選取過直線與圓交點的圓系方程，可極大地簡化運算過程。解：過直線與圓的交點的圓系方程為：，即 .依題意，O在以PQ 為直徑的圓上，則圓心顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程，則，故。4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系：例4 圓系2（410）1020（，-）中，任意兩個圓的位置關(guān)系如何？解：圓系方程可化為：1020（2410）與無關(guān)即易知圓心（，-）到直線25的距離恰等于圓的半徑故直線25與圓相切，即上述方程組有且只有一個解，從而圓系方程所表示的任意兩個圓有且只有一個公共點，故它們的關(guān)系是外切或內(nèi)切總結(jié)：在求解過直線與圓，圓與圓交點的圓有關(guān)問題時，若能巧妙使用圓系方程，往往

14、能優(yōu)化解題過程，減少運算量，收到事半功倍的效果。1、利用圓系方程求圓的方程：例. （1）求經(jīng)過兩圓32和2交點和坐標(biāo)原點的圓的方程（2）求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點,并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.解：（1）由題可設(shè)所求圓的方程為：（32）（2）原點（0，0）在所求的圓上，有2從而故所求的圓的方程為： 即7。（2）構(gòu)造方程 x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0即 (1+)x2+(1+)y2+6x+6y-(4+28)=0此方程的曲線是過已知兩圓交點的圓,且圓心為當(dāng)該圓心在直線x-y-4=0上時,即 所求圓方程為 x2+y2-x+7

15、y-32=0（3） 2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2（1）求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。（2）求經(jīng)過直線：24與圓：241的交點且面積最小的圓的方程分析：本題若先聯(lián)立方程求交點，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。解：（1）圓和的公共弦方程為，過直線與圓的交點的圓系方程為，即.依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程

16、（2）解：設(shè)圓的方程為：241（24）即（14）則，當(dāng)時，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：261237練習(xí)：1求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+7=0的兩個交點且過原點的圓的方程。（常數(shù)項為零）2求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點且圓心在x軸上的圓的方程。（圓心的縱坐標(biāo)為零）3求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點且面積最小的圓方程。（半徑最小或圓心在直線上）4求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點且與x軸相切的圓的方程；并求出切點坐標(biāo)。（圓心到x軸的距離等于半徑）

17、3、利用圓系方程求參數(shù)的值：例3：已知圓與直線相交于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，若，求實數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程，最后驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出O在以PQ為直徑的圓上。而P，Q剛好為直線與圓的交點，選取過直線與圓交點的圓系方程，可極大地簡化運算過程。解：過直線與圓的交點的圓系方程為：，即 .依題意，O在以PQ 為直徑的圓上，則圓心顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程，則，故。4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系：例4 圓系2（410）1020（，-）中，任意兩個圓的位置關(guān)系如何？解：圓系方程可化為

18、：1020（2410）與無關(guān)即易知圓心（，-）到直線25的距離恰等于圓的半徑故直線25與圓相切，即上述方程組有且只有一個解，從而圓系方程所表示的任意兩個圓有且只有一個公共點，故它們的關(guān)系是外切或內(nèi)切總結(jié)：在求解過直線與圓，圓與圓交點的圓有關(guān)問題時，若能巧妙使用圓系方程，往往能優(yōu)化解題過程，減少運算量，收到事半功倍的效果。5.巧用過兩圓交點的曲線系方程求直線方程例5.已知圓O：和圓外一點A（3，4），過點A作圓O的切線，切點分別為C、D，求過切點C、D的直線方程.分析：本題是求過切點的直線方程，由切線性質(zhì)知，切點在以線段AO為直徑的圓上，故直線CD是以線段AO為直徑的圓與圓O的公共弦所在的直線方程，故可用過兩圓交點的曲線系方程求此直線方