2020-2021學(xué)年北師大版初一數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破15 直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段

1、專(zhuān)題15 直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段【專(zhuān)題說(shuō)明】1理解直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的概念，掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系；2. 利用直線(xiàn)、線(xiàn)段的性質(zhì)解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題；3利用線(xiàn)段的和差倍分解決相關(guān)計(jì)算問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、直線(xiàn)1概念：直線(xiàn)是最簡(jiǎn)單、最基本的幾何圖形之一，是一個(gè)不作定義的原始概念，直線(xiàn)常用“一根拉得緊的細(xì)線(xiàn)”、“一張紙的折痕”等實(shí)際事物進(jìn)行形象描述2. 表示方法：（1）可以用直線(xiàn)上的表示兩個(gè)點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線(xiàn)AB(或直線(xiàn)BA) （2）也可以用一個(gè)小寫(xiě)英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線(xiàn) 3.基本性質(zhì)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線(xiàn)，并且只有一條直線(xiàn)簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)要點(diǎn)詮釋?zhuān)褐本€(xiàn)的特征

2、：（1）直線(xiàn)沒(méi)有長(zhǎng)短，向兩方無(wú)限延伸（2）直線(xiàn)沒(méi)有粗細(xì)（3）兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)（4）兩條直線(xiàn)相交有唯一一個(gè)交點(diǎn)4.點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在直線(xiàn)上，如圖3所示，點(diǎn)A在直線(xiàn)m上，也可以說(shuō)：直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2）點(diǎn)在直線(xiàn)外，如圖4，點(diǎn)B在直線(xiàn)n外，也可以說(shuō)：直線(xiàn)n不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B二、線(xiàn)段1.概念：直線(xiàn)上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線(xiàn)段2.表示方法：（1）線(xiàn)段可用表示它兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)英文字母來(lái)表示，如圖所示，記作：線(xiàn)段AB或線(xiàn)段BA（2）線(xiàn)段也可用一個(gè)小寫(xiě)英文字母來(lái)表示，如圖5所示，記作：線(xiàn)段a3. “作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線(xiàn)AC上

3、截取ABa法二：用刻度尺作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段例如：可以先量出線(xiàn)段a的長(zhǎng)度，再畫(huà)一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線(xiàn)段4.基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短簡(jiǎn)記為：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短如圖6所示，在A，B兩點(diǎn)所連的線(xiàn)中，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是最短的圖6要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）線(xiàn)段是直的，它有兩個(gè)端點(diǎn)，它的長(zhǎng)度是有限的，可以度量，可以比較長(zhǎng)短（2）連接兩點(diǎn)間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離（3）線(xiàn)段的比較：度量法：用刻度尺量出兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度，再比較長(zhǎng)短疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線(xiàn)段放在同一條直線(xiàn)上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來(lái)比較長(zhǎng)短5.線(xiàn)段的中點(diǎn)：把一條線(xiàn)段分成兩條相等線(xiàn)段的點(diǎn)

4、，叫做線(xiàn)段的中點(diǎn)如圖7所示，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則，或AB2AC2BC圖7要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝酎c(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線(xiàn)段AB上三、射線(xiàn)1.概念：直線(xiàn)上一點(diǎn)和它一側(cè)的部分叫射線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)叫射線(xiàn)的端點(diǎn)如圖8所示，直線(xiàn)l上點(diǎn)O和它一旁的部分是一條射線(xiàn)，點(diǎn)O是端點(diǎn)圖82.特征：是直的，有一個(gè)端點(diǎn)，不可以度量，不可以比較長(zhǎng)短，無(wú)限長(zhǎng)3.表示方法：（1）可以用兩個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，其中一個(gè)是射線(xiàn)的端點(diǎn)，另一個(gè)是射線(xiàn)上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，端點(diǎn)寫(xiě)在前面，如圖8所示，可記為射線(xiàn)OA （2）也可以用一個(gè)小寫(xiě)英文字母表示，如圖8所示，射線(xiàn)OA可記為射線(xiàn)l要點(diǎn)詮釋?zhuān)?(1)端點(diǎn)相同，而延伸方向不同，表示不同的射線(xiàn)

5、如圖9中射線(xiàn)OA，射線(xiàn)OB是不同的射線(xiàn)圖9(2)端點(diǎn)相同且延伸方向也相同的射線(xiàn)，表示同一條射線(xiàn)如圖10中射線(xiàn)OA、射線(xiàn)OB、射線(xiàn)OC都表示同一條射線(xiàn)圖10四、直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的區(qū)別與聯(lián)系1.直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段之間的聯(lián)系（1）射線(xiàn)和線(xiàn)段都是直線(xiàn)上的一部分，即整體與部分的關(guān)系在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，則可將直線(xiàn)分成兩條射線(xiàn)；在直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，則可將直線(xiàn)分為一條線(xiàn)段和四條射線(xiàn)（2）將射線(xiàn)反向延伸就可得到直線(xiàn)；將線(xiàn)段一方延伸就得到射線(xiàn)；將線(xiàn)段向兩方延伸就得到直線(xiàn)2三者的區(qū)別如下表要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?） 聯(lián)系與區(qū)別可表示如下：（2）在表示直線(xiàn)、射線(xiàn)與線(xiàn)段時(shí)，勿忘在字母的前面寫(xiě)上“直線(xiàn)”“射線(xiàn)”“線(xiàn)段”字樣【精典例題】一、

6、相關(guān)概念1、下列說(shuō)法中，正確的是( ) A射線(xiàn)OA與射線(xiàn)AO是同一條射線(xiàn) B線(xiàn)段AB與線(xiàn)段BA是同一條線(xiàn)段 C過(guò)一點(diǎn)只能畫(huà)一條直線(xiàn) D三條直線(xiàn)兩兩相交，必有三個(gè)交點(diǎn)【答案】B【解析】射線(xiàn)OA的端點(diǎn)是O，射線(xiàn)AO的端點(diǎn)是A，所以射線(xiàn)OA與射線(xiàn)AO不是同一條射線(xiàn)，故A錯(cuò)誤；過(guò)一點(diǎn)能畫(huà)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，所以C錯(cuò)誤；三條直線(xiàn)兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)(三條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)時(shí))，所以D錯(cuò)誤；線(xiàn)段AB與線(xiàn)段BA是同一條線(xiàn)段，所以B正確【總結(jié)升華】直線(xiàn)和線(xiàn)段用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示時(shí)，與字母的前后順序無(wú)關(guān)，但射線(xiàn)必須是表示端點(diǎn)的字母寫(xiě)在前面，不能互換2、如圖所示，指出圖中的直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段【思路點(diǎn)撥】從圖上看，A、D

7、、F分別是線(xiàn)段CB、BC、BE的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，也就是說(shuō)，A、D、F三點(diǎn)的位置并不是完全確定的此時(shí)，我們也就能分清楚圖中的直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段了【答案與解析】解：直線(xiàn)有一條：直線(xiàn)AD； 射線(xiàn)有六條：射線(xiàn)BA、射線(xiàn)BD、射線(xiàn)CA、射線(xiàn)CD、射線(xiàn)BF、射線(xiàn)EF；線(xiàn)段有三條：線(xiàn)段BC、線(xiàn)段BE、線(xiàn)段CE【總結(jié)升華】在表示線(xiàn)段和直線(xiàn)時(shí)，兩個(gè)大寫(xiě)字母的順序可以顛倒然而，在敘述線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)的時(shí)候，表示線(xiàn)段的兩個(gè)大寫(xiě)字母的順序就不能顛倒了，因?yàn)榫€(xiàn)段向一方延伸后就形成了射線(xiàn)(延長(zhǎng)部分已不再是線(xiàn)段本身了)，而表示射線(xiàn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母的順序是不能顛倒的，只能用第一個(gè)字母表示射線(xiàn)的端點(diǎn)，第二個(gè)字母表示射線(xiàn)方向上的任一點(diǎn)二、

8、有關(guān)作圖1、如圖所示，線(xiàn)段a，b，且ab用圓規(guī)和直尺畫(huà)線(xiàn)段：(1)a+b；(2)ab【答案與解析】解：(1) 畫(huà)法如圖(1)，畫(huà)直線(xiàn)AF，在直線(xiàn)AF上畫(huà)線(xiàn)段ABa，再在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上畫(huà)線(xiàn)段BCb，線(xiàn)段AC就是a與b的和，記作ACa+b(2) 畫(huà)法如圖(2)，畫(huà)直線(xiàn)AF，在直線(xiàn)AF上畫(huà)線(xiàn)段ABa，再在線(xiàn)段AB上畫(huà)線(xiàn)段BDb，線(xiàn)段AD就是a與b的差，記作ADab【總結(jié)升華】在畫(huà)線(xiàn)段時(shí)，為使結(jié)果更準(zhǔn)確，一般用直尺畫(huà)直線(xiàn)，用圓規(guī)量取線(xiàn)段的長(zhǎng)度2、如圖(1)所示，已知線(xiàn)段a，b(ab)，畫(huà)一條線(xiàn)段，使它等于2a2b【答案與解析】解：如圖(2)所示：(1)作射線(xiàn)AF；(2)在射線(xiàn)AF上順次截取ABBCa；

9、(3)在線(xiàn)段AC上順次截取ADDEb，則線(xiàn)段EC就是所要求作的線(xiàn)段【總結(jié)升華】用尺規(guī)作圖時(shí)，要熟悉常用的畫(huà)圖語(yǔ)言，注意保留作圖痕跡三、有關(guān)條數(shù)及長(zhǎng)度的計(jì)算1、如圖，A、B、C、D為平面內(nèi)任意三點(diǎn)都不在同一條直線(xiàn)上的四點(diǎn)，那么過(guò)其中兩點(diǎn)，可畫(huà)出 條直線(xiàn).【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)即可計(jì)算出直線(xiàn)的條數(shù)【答案】6條直線(xiàn)【解析】由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)知，點(diǎn)A與B,C,D三點(diǎn)各確定一條直線(xiàn)，同理點(diǎn)B與C、D各確定一條直線(xiàn)，C與D確定一條直線(xiàn)，綜上：共有直線(xiàn)：3+2+1=6（條）.【總結(jié)升華】平面上有個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上，則最多確定的直線(xiàn)條數(shù)為：2、如圖所示，AB40，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D

10、為CB上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，且EB5，求CD的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】顯然CDCBBD，要求CD的長(zhǎng)，應(yīng)先確定CB和BD的長(zhǎng)【答案與解析】解：因?yàn)锳B40，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)， 所以 因?yàn)辄c(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，EB5，所以BD2EB10所以CDCBBD201010【總結(jié)升華】求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，注意圍繞線(xiàn)段的和、差、倍、分展開(kāi)，若每一條線(xiàn)段長(zhǎng)度均已確定，所求問(wèn)題便可迎刃而解3、已知線(xiàn)段AB14cm，在直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)C，且BC4cm，M是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，求線(xiàn)段AM的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】題目中只說(shuō)明了A、B、C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，無(wú)法判定點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，還是在線(xiàn)段AB外(也就是在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上)所以要分兩種情況求線(xiàn)段AM的長(zhǎng)【答案與解析】解：當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖所示 因?yàn)镸是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)， 所以 又因?yàn)锳CABBC，AB14cm，BC4cm， 所以當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖所示 因?yàn)镸是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)， 所以 又因?yàn)锳CAB+BC，AB14cm，BC4cm， 所以9(cm) 所以線(xiàn)段AM的長(zhǎng)為5cm或9cm【總結(jié)升華】在解答沒(méi)有給出圖形的問(wèn)題時(shí)，一定要審題，要全面考慮所有可能的情況，即當(dāng)我們面臨的教學(xué)問(wèn)題無(wú)法確定是哪種情形時(shí)，就要分類(lèi)討論四、最短問(wèn)題1、如圖所示，在一條筆直公路a的兩側(cè)，分別有A、B兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在公路a上建一個(gè)汽車(chē)站