放縮法證明數(shù)列不等式問題的方法

1、放縮法證明“數(shù)列+不等式”問題的兩條途徑數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中, 題常常用到放縮法。用放縮法解決“數(shù)列 和，二是先求和再放縮。1、先放縮再求和是歷年命題的熱點，解決這類問+不等式”問題通常有兩條途徑：一是先放縮再求例1（ 05年湖北理）已知不等式2|og2n，其中n為不大于2的整數(shù)，log 2 n表示不超過log 2 n的最大整數(shù)。列an的各項為正且滿足a1b(b0),annan 1(nn an(n1分析:由條件annan 1-得：n an1111(nanan 1n111a n1an2 n1111a2a12以上各式兩邊分別相加得：111 11ana1n n1211111

2、anbn n121 bjog2 n2blog 2n2ba2bn2blog2 n12)(n(nan2,3,4），證明：an1 1 an 1 n3)3)本題由題設(shè)條件直接進行放縮，然后求和，命題即得以證明。例2 （ 04全國三）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn2b2 blog 2 n3,4,52an ( 1)n，(1 )寫出數(shù)列an的前三項ai,a2 ,a3 ；(2)求數(shù)列an的通項公式;(3)證明：對任意的整數(shù) m有丄丄a4 a5am分析：由遞推公式易求:ai=1, a2=0, a3=2；由已知得:anSnSn 12an(1)n2an 1(1)n1 (n1)化簡得:an2an1 2(1)n1

3、anan 1nranan J n 12(1)故數(shù)列ann?-是以3a123為首項，公比為2的等比數(shù)列.an1(3)( 2)1)n二數(shù)列an的通項公式為:an觀察要證的不等式,左邊很復(fù)雜,|2n2 ( 1)n.先要設(shè)法對左邊的項進行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能1 1夠求和。而左邊 =-a4a513111Lam 2產(chǎn) 2 L 2m2 (1)m，如果我們把上式中的分母中的1去掉,容易想到將式中兩項兩項地合并起來一起進行放縮，嘗試知:就可利用等比數(shù)列的前n項公式求和，由于-1與1交錯出現(xiàn),11 1 122 1 23 1 221 123 1 24 1可將-保留,1再將后面的項兩兩組合后放縮,即可求和。這里需要對m

4、進行分類討論,(1)m為偶數(shù)(m 4)時,a4a5am a41(a51)a61(am 11)am1212123(丄2(2332381(178124六)(2)當(dāng)m是奇數(shù)（m 4）時，m 1為偶數(shù),a4a5ama4 a5a6amam 1所以對任意整數(shù)4，有a4a5am本題的關(guān)鍵是并項后進行適當(dāng)?shù)姆趴s。2、先求和再放縮例3 （武漢市模擬）定義數(shù)列如下:a12,an2anan1,n N證明：（1）對于n N恒有an 1an成立。，有an1 a n ana2a11成立。11_20062a1a2a2006分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。由an2anan 1 得:an 1an (an 1)anan 1 (an 11)a2 1a1 (a11)以上各式兩邊分別相乘得:an 11 anan 18281( a11），又 a12a n 1 anan 1a2a1（3）要證不等式112006a1a2a20061可先設(shè)法求和：-再進行適當(dāng)?shù)姆趴s。a1a2a2006an 11an ( an1)an 11an1anananan 11a1a2a20061(a1 1321)1(a2 11331)( 13200611 )320071a1a2007a1