冪子群與循環(huán)群的充要條件

1、冪子群與循環(huán)群的充要條件摘 要：在群的理論研究中，通過(guò)對(duì)群的冪子群與循環(huán)群的研究，來(lái)探討群的性質(zhì)是群論研究中的一條很重要的 途徑。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)冪子群和循環(huán)群的 充要條件進(jìn)一步研究，有利于對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的更深的認(rèn)識(shí)。關(guān)鍵詞：冪子群 循環(huán)群 充要條件減、代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)古老分支，有著悠久的歷史。數(shù)是大家研究數(shù)學(xué)的最基本的對(duì)象， 數(shù)的最基本的運(yùn)算是加、 乘、除。但是，數(shù)不是我們研究數(shù)學(xué)的唯一對(duì)象，而且我們 所遇到的許多運(yùn)算也不全是數(shù)的普通加、 減、乘、除。例如， 向量、多項(xiàng)式、函數(shù)、矩陣和線性變換等等，它們雖然都不 是數(shù)，但卻也可以類似于數(shù)那樣來(lái)進(jìn)行運(yùn)算。特別是，盡管 這些研究對(duì)象千

2、差萬(wàn)別，各有自己的特性，但從運(yùn)算的角度 看卻有著很多共同的性質(zhì)。它的結(jié)論與方法在數(shù)學(xué)、物理、 化學(xué)、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和編碼等理論中都有重要應(yīng)用。、冪子群與循環(huán)群概述 一）冪子群設(shè)G為群，H是它的一個(gè)子群，若存在正整數(shù) n使得H=，則稱H為G的一個(gè)幕子群，記為 H=Gn。設(shè)G為群，如果對(duì)任意g G,都有g(shù)Oe G使得gO=gOP,那么顯然有 G的冪子群 Gp 滿足 Gp=G 。由于群間的同構(gòu)關(guān)系具有反身性、 對(duì)稱性、和傳遞性，凡無(wú)限循環(huán)群均彼此同構(gòu)，凡有限同階 循環(huán)群都彼此同構(gòu)。而不同階的群，由于不能建立雙射，當(dāng) 然不能同構(gòu)。因此，我們可以說(shuō)，在同構(gòu)意義下，循環(huán)群只 有兩種，即整數(shù)加群 Z 和 n

3、次單位根群 Un 。1.當(dāng) HI， H2， H3， H4 都是正規(guī)子群時(shí)，則 G 中的所有子群都是正規(guī)子群， 因此 G 是 Dedekind 群，故 G 是冪零的；2.顯然 G 中不可能只有一個(gè)子群不是正規(guī)子群。下面我們討論 G 中只有兩個(gè)子群不是正規(guī)子群，設(shè) HI， H2 不是正 規(guī)子群， H3，H4 是正規(guī)子群， 則顯然有 Hl 與 H2 是共軛的。若 NG（ Hl ）=Hl ，則有 |G：Hl|=2 ，那么由定理知 HlG 矛盾，因此只能有 HIG （HI） G,同理H2NG(H2) G,由此G中所有的子群都是次正規(guī)子群，由定理知G 是冪零的。二）循環(huán)群設(shè) M 是群 G 的任意一個(gè)非空子

4、集，G 中包含 M 的子群是存在的。當(dāng)然， G 中可能還有別的子群也包含M 。現(xiàn)在用M 表示 G 中包含 M 的一切子群的交，則 M 仍是 GM，中包含 M 的一個(gè)子群， 而且 G 中任意一個(gè)子群只要包含 就必包含 M 。所以 M 是群 G 中包含 M 的最小子群。G= 。個(gè)群（ G， ?）稱為循環(huán)群，假如存在一個(gè)元素 a G，使G=an|n Z元素a稱為這個(gè)循環(huán)群的生成元，記為根據(jù)元素的階的性質(zhì)，可知循環(huán)群共有兩種類型：1.當(dāng)生成元 a 是無(wú)限階元素時(shí)，是一個(gè)無(wú)限階循環(huán)群：=，a-3, a-2, a-1, e, a, a2, a3, 2.當(dāng)生成元a是有限階元素時(shí)，如果a的階為n,那么這個(gè)群稱

5、為n階循環(huán)群：=e , a, a2,，an-1(G, ?)與(G,是兩個(gè)群，若存在一個(gè)G到G的雙射f滿足a, be G,有f (a?b) =f(a) f (b),就說(shuō)f是G到G的一個(gè)同構(gòu)映射或同構(gòu)，并稱G與G 同構(gòu)，記作G 是一個(gè)群，如果 G 的一個(gè)子集H對(duì)G的運(yùn)算構(gòu)成個(gè)群，則稱H是G的一個(gè)子群，如果G的子群H工G,則稱H是G的一個(gè)真子群，若 H是G的子群，記為H W G，若H 是 G 的真子群記為 HG.、冪子群的充要條件定理1:設(shè)G是周期幕零群，則對(duì)任意 pe(G)有|G：GP|v8的充要條件是 G的每一個(gè)西洛子群 GP是中心被有限 的擴(kuò)張，且滿足Z (Gp): Z (Gp)證明充分性由題

6、設(shè)，對(duì)G的任意西洛子群 GP有Z (Gp):8Z (Gp)。由引理有Z (Gp) =DP X FP, DP是可除子群，F(xiàn)P是有限子群，顯然 DPGP,又GP/Z (Gp)是有限P-群，易 得GP/DP有限P-群，而DP (GP) P顯然成立。故|GP: ( GP)p|v8。由題設(shè)知： G=GP1 X GP2X-X GPnX，故對(duì)任意 pi n (G)有Gpi= (GP1) pi x( GP2) pi x-x( GPn) pi x=GP1X GP2xx( GPi) pi x x GPnx ;因此, |GP：Gpi|=|GPi ：( GP) pi|vs。必要性。對(duì) G的任意西洛p-子群GP,易得|

7、GP: (GP)p| s,由定理知，H是可除阿貝爾子群，H w,因此有 Gp：Z (Gp )w Gp:H s(Gp) P,故 Z (Gp): Z (Gp)Hs三、循環(huán)群的充要條件定理2:若G是阿貝爾p群，則|G: GP|vs的充要條件是G=D X F,其中D 是可除子群, F 是有限群。證明：顯然我們只需證明必要性。由于 |G: GP|=|D X F: DP X FP|=|F: FP|vs，因此不妨設(shè)|F: FP|=pn,又因?yàn)镕中沒(méi)有可除子群，則由定理可得F=F1 x,其中是有限循環(huán)子群,若 F 是無(wú)限的,則 F1 是無(wú)限的,即有F1=F2x, F2=F3x,可以無(wú)限下去，因此一定存在正整數(shù)

8、n+1，使得FP=Fn+1 P XXX,由此有|F: FPIpn+1，矛盾，因此F為有限p-群。則顯然有F=Fn+1 XXX。設(shè)H是G的一個(gè)子群。若 H= (1),明顯H是循環(huán)群?，F(xiàn)令H工(1),由于H不空，有ae H，且存在一個(gè)不為 0的n e Z,使得a n e H。又因a-n= (an) -1 e H，從而H含有a的某些正整數(shù)幕?，F(xiàn)令s是使得ase H的最小正整數(shù)，那00, ti 0,不妨設(shè) r1 t2, r3 t3,rs ts,則的階為 P2r2P3r3Psrs, aP2r2P3r3Psrs 的階為 P 1t1，由于 P2r2P3r3Psrs與 P 1t1互質(zhì),因此，(b)x( ap)

9、 = (C)為G的ap階循環(huán)群，注意ap大于m和g，如果G=（ C），則定理得證。如果 G工（c）同上討論,這樣繼續(xù)下去,所求的元素階數(shù)逐漸增大, 由于 n 為有限數(shù) 所以 G 必有 n 階元 定理得證。四、結(jié)論 近世代數(shù)中最重要、最基本的分支是群、環(huán)和域。我們這里主要了解關(guān)于循環(huán)群的一些知識(shí)。循環(huán)群是一種很重要 的群,也是一種已經(jīng)被完全解決了的一類群。就是說(shuō),這種 群的元素表達(dá)方式和運(yùn)算規(guī)則,以及在同構(gòu)意義下這種群有 多少個(gè)和它們子群的狀況等等,都完全研究明了。另外,我 們知道有限群 G 都可分解為一些西洛子群的直積, 而每個(gè)西 洛子群,它只要不是循環(huán)群,就可以把它分解成不可再分解 的循環(huán)子

10、群的直積， 因此 G 的結(jié)構(gòu)完全由這些循環(huán)子群唯 確定，而循環(huán)群是群類中最簡(jiǎn)單的一種群，所以循環(huán)群的研 究為初學(xué)者所易接受，從而培養(yǎng)了其學(xué)習(xí)群論的興趣，進(jìn)而 也增強(qiáng)了其學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的積極性，因而具有很重要的實(shí)際 意義。參考文獻(xiàn)：1 李曉毅，黃鳳畢.循環(huán)群中剩余類加群的討論 J.沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)， 2003.2 左孝凌，李為鑒，劉永才 .離散數(shù)學(xué) M. 上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社， 1987.3 張禾瑞 .近世代基礎(chǔ) M. 北京：人民教育出版社， 1987.4 楊子肯 .近世代數(shù)（第一版） M. 北京：高等教育出版社， 2006.中國(guó)地質(zhì)5 蔡之華，薛思清，吳杰編著 .離散數(shù)學(xué) M.大學(xué)出版社， 2008.6 孫晶編著 .離散數(shù)學(xué)教程 M. 東北大學(xué)出版社， 2009.7吳曉平，