根式的運(yùn)算技巧

1、根式的運(yùn)算16 / 17平方根與立方根、知識(shí)要點(diǎn)1平方根：、定義：如果 x2=a，則x叫做a的平方根，記作“ Ta ”（ a稱為被開方數(shù)）。、性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根。、算術(shù)平方根：正數(shù) a的正的平方根叫做 a的算術(shù)平方根，記作“ Ta ”。2、立方根、定義:如果x3=a，則x叫做a的立方根，記作“ Va ”（ a稱為被開方數(shù)）。、性質(zhì):正數(shù)有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0;負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根。3、開平方（開立方）：求一個(gè)數(shù)的平方根（立方根）的運(yùn)算叫開平方（開立方）。二、規(guī)律總結(jié):1、平方根是其本身的數(shù)是 0；算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是0和1；立

2、方根是其本身的數(shù)是0和 1。2、每一個(gè)正數(shù)都有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根，其中正的那個(gè)是算術(shù)平方根；任何一個(gè)數(shù)都有唯一一個(gè)立方根，這個(gè)立方根的符號(hào)與原數(shù)相同。ja本身為非負(fù)數(shù)，即 Ta 0; ja有意義的條件是a 0。4、公式：（Va）2=a （a0）;=-va （a取任何數(shù)）。5、非負(fù)數(shù)的重要性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于 0,則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為 0（此性質(zhì)應(yīng)用很廣,務(wù)必掌握）。求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根(1)21564 ；（ 2）3； （3）臨；求下列各式的值(1)781 ；( 2)-J(-25)2例3、求下列各數(shù)的立方根: 343;畔 0.729二、巧用被開方數(shù)的非負(fù)性求值大家知道，當(dāng)a 0

3、時(shí)，a的平方根是寸a，即a是非負(fù)數(shù).例4、若J2-X -Jx-2 - y =6,求y的立方根.練習(xí)：已知y =-2x + j2x-1 +2,求xy的值.三、巧用正數(shù)的兩平方根是互為相反數(shù)求值我們知道，當(dāng)a0時(shí)，a的平方根是 ja，而（+ja）+（ja） = 0.例5、已知：一個(gè)正數(shù)的平方根是2a-1與2-a，求a的平方的相反數(shù)的立方根練習(xí)：若2a+3和a-12是數(shù)m的平方根，求m的值.四、巧解方程例 6、解方程(1)( X+1) 2=36(2) 27(x+1)3=64五、巧用算術(shù)平方根的最小值求值我們已經(jīng)知道 Ji 0 ,即a=0時(shí)其值最小，換句話說 ja的最小值是零.例4、已知：y= Ja

4、-2 + J3（b +1）,當(dāng)a、b取不同的值時(shí)，y也有不同的值.當(dāng)y最小時(shí),求ba的非算術(shù)平方根.練習(xí):1、若一個(gè)數(shù)的平方根是8，則這個(gè)數(shù)的立方根是（).A.2、144的算術(shù)平方根是,716的平方根是3、若m的平方根是5a +1和a 19，則m =4、27 =-V64的立方根是5、7的平方根為6、一個(gè)數(shù)的平方是 9，則這個(gè)數(shù)是，一個(gè)數(shù)的立方根是1,則這個(gè)數(shù)是7、平方數(shù)是它本身的數(shù)是;平方數(shù)是它的相反數(shù)的數(shù)是9、當(dāng)x=時(shí),J3x-1有意義；當(dāng)x=時(shí),M5x + 2有意義;若 x4 =16，則 x=；若 3“ =81，則 n=10、若以=Vx，貝U x=；若 JX2 = X，貝y x11、12、

5、解方程：（X-1）2-324 =03(2)125(x-2) =-343(3)64(x-3)2-9=01 3(4)丄(x-1)3+8 = 02山5的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,則a=, b=13、已知 Jx-3 +|y-3 中(z + 2)2 =0，求 xyz 的值。14、若 y ,24+JyF，求 2x + y 的值.X +215、已知：X 2的平方根是 2, 2 X +y +7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根.16、若 y = J2x -1 + Jl _2x -1，求 xy 的值。二次根式、知識(shí)點(diǎn)1.二次根式： 式子va ( a 0)叫做二次根式。2.最簡二次根式： 必須同時(shí)滿足下列條

6、件:被開方數(shù)中 不含開方開的盡的因數(shù)或因式 ； 被開方數(shù)中 不含分母；分母中 不-一一 一一一 _ _*_*_*_u*_*,，_- T-r*-含根式。3.同類二次根式:二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式。4.二次根式的性質(zhì):(1)( Va) 2=a ( a 0)；(2) a = a(a 0)(a=0)；(a 0,b 0)；【例題講解】、利用二次根式的雙重非負(fù)性來解題(Ja 0 (a0)，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)非負(fù)數(shù)。)例1 : X取何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。(1)忑(2) f 1Y2x+1(3)悴Vx+4例 2:若 2OO4-a +J

7、a-2OO5=a，貝U a-2OO42 =若 y = Jx -3 +孑3 -X +4，貝y X + y =【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、下列各式中一定是二次根式的是()。B、4x ；C、Jx2 +1 ； D、2、若Jx(X -1) =，則x的取值范圍是3、若|x+3空，則X的取值范圍是Y X +1Jx +14、若(函m是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是 5、設(shè)m、n滿足n=心二Kdd土，則扁=m3a、6、若三角形的三邊 a、b、c滿足a2-4a +4+J=3=o，則第三邊c的取值范圍是7、若 14x -81 + Jx - y -m = O，且 y O 時(shí)，則()A、 OcmclB、m2C、 mc2 D m2

8、二、利用二次根式的性質(zhì)Ja2 =|a|=O(aO)(即一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)卜a(a CO)數(shù)的絕對(duì)值)來解題【例題講解】例 1 :已知 Jx3 +3x2 = XJ亍3，則（）A. xw 0B.xw 3D. 3 w x 0例2 :化簡（x亠的結(jié)果為（ ）（xA、J2-X ;B、Jx-2 ; C -Jx-2 D、- J2-X【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1已知ab,化簡二次根式 Ta3b的正確結(jié)果是（ajabxw 4A . - aJ ab B . - a Jab C . a Jab D.2、若化簡I 1-x I- Jx2 -8x+16的結(jié)果為2x-5貝)A、x 為任意實(shí)數(shù)B、iw xw4 C、xA 1

9、D、 3、已知 a, b, c 為三角形的三邊，則 J(a+b-c)2+(bc-a)2+J(b+c-a)2I 24、化簡 I X y I Ux(X c y c 0)的結(jié)果是()A. y -2x B . y C .2x - y D . - y5、已知：a+J1-2a+ a2=1,則a的取值范圍是（）。A、a = 0 ；B、a =1 ；C、a =0或 1； D a 蘭1三、二次根式的化簡與計(jì)算（主要依據(jù)是二次根式的性質(zhì)：（寸a ） 2=a（ a a 0），即J a2 =| a |以及混合運(yùn)算法則）【例題講解】（一）化簡與求值例1:把下列各式化成最簡二次根式:(1) 133(2) aA. ab：c

10、B.acb c. cba六、實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解:9x2 5y24x4 4X2 + 1/+ 6練習(xí):1、若 x =爲(wèi)- Jb, y = Ja + Jb，貝y xy 的值為(A. 2需c. a +bD. a -b2、若 a-2 +Jb3 =0，貝y a2 -b3、計(jì)算:(2+ 4) + 32(3)刀+前妙-&) +締.4、先將鑒亠岳?化簡，然后自選一個(gè)合適的x值，代入化簡后的式子求值。5、如圖，實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置,化簡: TO-x/b2-J（a-b）2c- d 1 7、如圖，數(shù)軸上人B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1和點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，則點(diǎn)c所表示的數(shù)是8、已知:9、已知:10、已知B.少 C

11、. 2-3a +1 =1 +710ax,y為實(shí)數(shù)，且Jx -3y + x? -9（x+3）2D. 73-2求a2 +丄的值。ay Y Jx -1 + J1 - X + 3，化簡:11、先閱讀下列的解答過程，然后作答:有這樣一類題目：將 Ja 27b化簡，若你能找到兩個(gè)數(shù) m和n，使m2 + n2 = a且則a 2jb可變?yōu)閙2 + n2 2mn，即變成(m n)2開方，從而使得Ja 土 2莊化簡。例如：5276=3+2+276=（73）2 +（血）2+ 2龐 73 =（73+ 龐）2，J 2麗=J(巧+冋=也+屁（2）J4+ 23請(qǐng)仿照上例解下列問題:（1） J5-276 ；次根式運(yùn)算的技巧二

12、次根式的運(yùn)算通常是根據(jù)其運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算的，但在計(jì)算過程中若能巧妙地運(yùn)用些數(shù)學(xué)思想方法，可使問題化繁為簡，易于計(jì)算。下面舉例說明二次根式的運(yùn)算技巧：巧移因式法例 1、 計(jì)算(3J2 + J48)( J18 -4J3)分析：將3j24j3根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，然后用平方差公式計(jì)算比較簡便，或先把J48、18化簡，然后利用平方差公式計(jì)算解：原式=(J3W2 + J48)(J18 - J4咳3)=（J18 +748）（718 -J48）=18-48=-30巧提公因數(shù)法例 2、計(jì)算（5 +w）（5j2 -2J3）分析：2= (丁2)2 5丿2 -2蟲 中有公因數(shù) J2，提出公因數(shù) J2后，可用平方差

13、公式計(jì)算解：原式=（5 +J6）5JO-（72）2 73（5 + 76）V2（5 -76）72(5+J6)(5-屈)近(25-6)=1942公式法例 3、計(jì)算(J2 + J3 -46)(42-43 - J6)分析：巧分組，出奇制勝，整式的乘法公式對(duì)二次根式的乘法也適用，本題用平方差公式 來計(jì)算很簡便 解：原式=（72-j6）+J3（72-任）-J3（72-佝2 -（73）2 2-242466-35-4(3四、因式分解法例 4、計(jì)算(X + 2 jxy + y) + (jx + J?)分析：本題若直接按乘除法則計(jì)算，顯然很麻煩，若適當(dāng)分解因式約去公因式，則運(yùn)算 很簡便解：原式= (Jx)2 +2

14、Jxy +(Vy)2L(Jx + Jy)(Tx+jy)2+7y)五、拆項(xiàng)法例5、化簡器益嘉） 分析：本題若直接計(jì)算顯然很麻煩，若仔細(xì)觀察將分子拆項(xiàng)，則計(jì)算會(huì)很簡便 解：原式=牟聖辱D（76+73）（73+72）1 +73+72 恵十罷八、配方法例 6、計(jì)算 J3-2J2 + J5-2J6 -Jl9+8J3分析：此題是雙二次根式的加減，必須把復(fù)合二次根式化為一般二次根式，可將根號(hào)里的 式子化成完全平方式，使問題便于計(jì)算解：原式=J（i - J2）2 +J（J3 - J2）2 - J（4 +J3）2（72-1）+（73-42-（4 + 73）=-5七、整體代入，別開生面例5.已異詁呵尸扌W 一冋，

15、求下列各式的值。1+Z（1）J-xy+h （2）y Xx+y=C，x-y =石，xy = 分析：根據(jù)x、y值的特點(diǎn)，可以求得2 ,如果能將所求的值的式子變形為關(guān)于%+% X-y或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值簡單得多。X =解：因?yàn)?27=2x+y =萬，xy =所以2 J - xy+=(x + y) - 3紗=(7T-3x-=5-X xy上+工=J+_儀+ yr -2梵y _ (切 2 込二2 y一(2)2（也可以將-繆+y，變?yōu)椋▍^(qū)-y） + xy來求）八、巧換元，干凈利索n + 2 + Jn? -4 n + 2 JJ - 4 $ 小、f+jP 2) 例 6.計(jì)算 口 + 2Ji?

16、4I!+ 2 +Ji?4分析：此算式中的兩個(gè)公式互為倒數(shù)，若設(shè)ii + 2 + J-4二X , n + 2-Jr? -4 = y_ X y *+y2 _ h 十 y) - 2xy _ x + y/+ = Z則原式 V盟而衣+y = 2(ii + 2) 2xy = (n + 2- Jr? - 4)=+4n+ 4- n + 4 = 4n + 8二世也+ A 原式 41! +8解：設(shè) X二ti + 2 +Ji? 4, y = n + 2-Jt?-4則x+y = 2n+4, xy = 4n + 8K y 3?+y2 (x + y) - 2xy=+ =所以原式y(tǒng) X_ 仗+ 界 2-(2口 + 4_2-

17、 4g + 2)： 2 4n + 84(n + 2)例7.計(jì)算罷+朽+ 2-忑分析：有兩種方法，一種換元，一種配方。解法 1：設(shè)2+71 +(2-7!二X兩邊平方2 +朽+ 2 - Q + 2加刖匚咼二因?yàn)镴2+爲(wèi) 0,2 -爲(wèi) 0所以x = a/6j4 + 2 朽 +J4-27J解法2:原式占4t療+1)(7 一 1)Vs +1 + 一 1達(dá)到事半功倍效所以遇到二次根式運(yùn)算一定認(rèn)真審題、仔細(xì)琢磨，能否找到運(yùn)算技巧,二次根式的運(yùn)算測試題姓名班級(jí)學(xué)號(hào)一.選擇題（本題30分，每小題3分）：2.計(jì)算2282/3+羽）X羽+V84的結(jié)果是B. 15/3C. 21243 .計(jì)算（3逼+ 50） X （3邁5品的結(jié)果是A. 57B. 57C . 53534.計(jì)算D. 4/a5 .慣X匣-腑+ U6的值是 6.化簡：73x（邁一也）一（241/6 3|= 7.計(jì)算（倔一/8） -2的結(jié)果是 8、計(jì)算：逅薩 9、有下列計(jì)算：(m2)3= m6；74a2 4a+ 1 = 2a 1; m6- m2= m3；27X #50十76= 15；2122(3+ 3(48= 143.其中正確的運(yùn)算有 10、計(jì)算：（邁+ 1）（邁1）=二、計(jì)算題（本題30