概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案第八章

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案第八章1 .設(shè)Xi ,X2,L ,Xn是從總體X中抽出的樣本，假設(shè) X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，H0 :解未知，給疋00和顯著性水平 (02檢驗統(tǒng)計量及否定域.1),試求假設(shè)可見Ho :選統(tǒng)計量Xin0 Xii 10nX2(2 n),對于給定的顯著性水平,查 分布表求出臨界值2(2n),P(%2(2 n)2，所以(P %2(2n)2 2(2n)，從而2(2 n)H。:.某種零件的尺寸方差為0的否定域為2(2 n)P 22(2n).2 1.21，對一批這類零件檢查6件得尺寸數(shù)據(jù)(毫米)：，否認(rèn)為是毫米(0.05).問題是在 2已知的條件下檢驗假設(shè) H0 :。設(shè)零件尺寸服從正

2、態(tài)分布,問這批零件的平均尺寸能32.50其中U0.025H。的否定域為|u| U /2u乙迴妬込摯01.11.96，因 |u | 6.771.96 ,所以否定 H。，2.456.77即不能認(rèn)為平均尺寸是毫米。設(shè)某產(chǎn)品的指標(biāo)服從正態(tài)分布，它的標(biāo)準(zhǔn)差為 量為26的樣本，計算平均值1580,問在顯著性水平 產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600。解問題是在 2已知的條件下檢驗假設(shè)H0：100，今抽了一個容0.05下，能否認(rèn)為這批1600Ho100U0.051.64.因為U1.02標(biāo)的期望值不低于1600.的否定域為UX 1600 辰1.64U /2，其中/2 ,1580 1600 5.11.02.100U

3、0.05，所以接受Ho，即可以認(rèn)為這批產(chǎn)品的指4 .一種元件，要求其使用壽命不低于25件，測得其壽命平均值為 950小時， 時的正態(tài)分布，問這批元件是否合格（ 設(shè)元件壽命為X ,則.Ho :因為1000小時，現(xiàn)在從這批元件中任取已知該元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為100小0.05)X N( , 1002),問題是檢驗假設(shè) U0.05，其中X 1000 幣 950 1000 LCLU V25 52.51001000. Ho的否定域為UUo.o5 1.64U 2.51.64 Uo.05H 0，即元件不合格.5 .某批礦砂的5個樣品中鎳含量經(jīng)測定為 X（%）:所以否定3.25, 3.27, 3.24, 3.2

4、6, 3.24設(shè)測定值服從正態(tài)分布，問能否認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為解問題是在 2未知的條件下檢驗假設(shè) H 0 :3.25(0.01)3.25H0的否定域為|t| t /2(4)X 3.252, S2-( Xi 5 X2)0.00017, S 0.0134 i 1to.oo5(4)4.6041t J空亦S2.240.3450.013因為所以接受|t| 0.3454.6041 城05（4）Ho，即可以認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為6 .糖廠用自動打包機(jī)打包，每包標(biāo)準(zhǔn)重量為100公斤，每天開工后要檢驗一次打包機(jī)工作是否正常，某日開工后測得9包重量（單位：公斤）如下：99.3, 98.7, 100.5,問該日打

5、包機(jī)工作是否正常(101.2, 98.3,其中因為解 X 99.98，S2冋題是檢驗假設(shè)H0的否定域為H。：|t| t0.05;1 9 8( (Xi8 i 1100/2(8).丄 X 100質(zhì)t V9St0.025(8)2.306所以接受99.7, 99.5, 102.1, 100.5已知包重服從正態(tài)分布)X)2) 1.47，S 1.21，99心0 30.051.21|t | 0.052.306H。，即該日打包機(jī)工作正常t0.025 ( 8)7 .按照規(guī)定，每100克罐頭番茄汁中，維生素 C的含量不得少于21毫克,17個，測得維生素 C的含量(單位：毫克)如現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批罐頭中抽取22,

6、21, 20, 23, 21,23, 17, 20, 29, 18,已知維生素C的含量服從正態(tài)分布，試檢驗這批罐頭的維生素含量是否合格。(0.025)解 設(shè)X為維生素C的含量，則X N( , 2),S 20.485, n 17.問題是檢驗假設(shè) ?。?1.19, 15, 13, 16,22, 16, 25.20, S2 419.625,(1)H0 :21.(2)選擇統(tǒng)計量t并計算其值：20 21 L 7170.20 20.4850.025查t分布表求出臨界值tt需S對于給定的(n)t0.025(16) 22 .(4)因為to.O25(16)2.200.20 t。所以接受H0，即認(rèn)為維生素含(1)

7、80量合格.8 .某種合金弦的抗拉強(qiáng)度 XN( , 2)，由過去的經(jīng)驗知10560 (公斤/厘米2),今用新工藝生產(chǎn)了一批弦線， 隨機(jī)取10根作抗拉試驗，測得數(shù)據(jù)如 下：10707， 10557， 10581， 10666， 10670.問這批弦線的抗拉強(qiáng)度是否提高了（0.05）X 10631.4，S26558.89，S 80.99，n 10 .問題是檢驗假設(shè)Ho :10560(1)H0 :10560選統(tǒng)計量并計算其值.t X 10560 yn 10631.4 10560 10S n 80.99(4)2.772對于 0.05，查t分布表，得臨界值t （9） t0.05（9）1.833.因t0.

8、05 （9） 1.833 2.772 t，故否定H。即認(rèn)為抗拉強(qiáng)度提高了。9 .從一批軸料中取15件測量其橢圓度，計算得 S 0.025，問該批軸料橢 圓度的總體方差與規(guī)定的20.0004有無顯著差別（0.05，橢圓度服從(1)202并計算其值(n 1)S214 0.00065 22 7500.0004.0.05，查2分布表得臨界值2.025(14) 26.1 19,12 /2(14)5.62922.7520.025(4)0.0004無顯著差異。20.00065, n 15，問題是檢驗假設(shè)H。：0.00040.0004 .正態(tài)分布）。2S 0.025, SH0： 2選統(tǒng)計量對于給定的2/2（1

9、4）因為2.975體方差與規(guī)定的220.975(14)5.629.26.119所以接受H。，即總結(jié)果為10 .從一批保險絲中抽取10根試驗其熔化時間，42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55.問是否可以認(rèn)為這批保險絲熔化時間的方差不大于80 （0.05，熔化時間服從正態(tài)分布）. 2 2X 62.4 , S2 121.82, n 10,問題是檢驗假設(shè) Hq：80 .H0：2800;選統(tǒng)計量2并計算其值2 us!13.70580。(4)對于給定的2(n 1)2因 13.705 16.91920.05，查 分布表得臨界值20.05（9）16.919.20.05，故

10、接受Ho，即可以認(rèn)為方差不大于對兩種羊毛織品進(jìn)行強(qiáng)度試驗，所得結(jié)果如下第一種 138，127，134，125；第二種 134，137，135，140，130，134.問是否一種羊毛較另一種好設(shè)兩種羊毛織品的強(qiáng)度都服從方差相同的正態(tài)分布。（0.05）解設(shè)第一、-2）131,135,H0：11二種織品的強(qiáng)度分別為X 和 丫，則 X N (1, 2),丫 N（ 2二 XY問題是檢驗假設(shè)s2S；(1)Ho :36.667, n1435.2, n26選統(tǒng)計量T并計算其值.X 丫訂1 1)S2 (n2 1)M131 135n1n2Vn1n2J3 36.6675 35.21.295（3）對于給定的0.05，

11、查t分布表得臨界值t /2（n1n22)0.025 (8)2.3069 .(4)因為 |t| 1.2952.3069t0.025（8），所以接受假設(shè)，即不能說一種羊毛較另一種好。12 .在20塊條件相同的土地上, 其產(chǎn)量（公斤）分別為舊品種，同時試種新舊兩個品種的作物各十塊土地,新品種，,設(shè)這兩個樣本相互獨(dú)立，并都來自正態(tài)總體（方差相等） 高于舊品種（0.01），問新品種的產(chǎn)量是否解 設(shè)X為新品種產(chǎn)量，2Y N( 2,)，問題是檢驗假設(shè)H 0 : 1 2X 79.43, S22.2246 ,Y 76.23, S；3.3245 ,選統(tǒng)計量nin2T并計算其值：X Y對給定的因為TY為舊品種產(chǎn)量；

12、XN（10101, 2),jn1n2(n1 n 2)Vn1 n2/1800,4.29567(2.2246 3.3245)200.01，查 t 分布表得臨界值 t (18) t0.01(18) 2.5524.4.29562.5524to.o1(18)故接受H。，即新品種高于舊品種.如 1)S2 52 1)M79.43 76.23(0.05)6,9選統(tǒng)計量F并計算其值S20.345S20.9664對給定的0.3570.05查 F 分布表得臨界值F /2(5,8)Fo.o25 (5,8) 4.65,13 .兩臺機(jī)床加工同一種零件，分別取6個和9個零件，量其長度得S2 0.345, S； 0.357，

13、假定零件長度服從正態(tài)分布， 問可否認(rèn)為兩臺機(jī)床加 工的零件長度的方差無顯著差異解S10.345, rnn2S；O.357,問題是檢驗假設(shè)Ho：12Fo.975 (5,8)0.1479.16.76因 Fo.975 (5,8) O.14790.9664 F 4.65 F0.025(5,8)故接受 H。，即無顯著差異.13 .甲、乙兩臺機(jī)床加工同樣產(chǎn)品，從它們加工的產(chǎn)品中各抽取若干，測得直徑（單位：mm為甲：,;O.O5，產(chǎn)品直徑服從正態(tài)分乙：,.問甲、乙兩臺機(jī)床加工的精度有無顯著差異（布。）解設(shè)甲加工的直徑為N(),YN(2,；).X 19.925 , S20.2164 , ni丫 20 ,S；0

14、.3967 , n215 .從一批滾珠中隨機(jī)抽取50個，測得它們的直徑（單位：mm為冋題是檢驗假設(shè)Ho :選統(tǒng)計量F并計算其值對于給定的f豈S20.05,0.2164 c 0.5455. 0.3967查F分布表得臨界值F /2(7,6)Fo.o25(7,6)5.70 ,F0.975 (7,6)0.19535.12因 FO.975(7,6)0.1953 0.5455 FF O.O25(7,6)5.70 ,故接受Ho，即精度無顯著差異.14 .一顆骰子擲了 120次，得下列結(jié)果:問骰子是否勻稱（0.05)點數(shù)123456出現(xiàn)次數(shù)2326212015152, 3,4, 5, 6。問Ho : P P(

15、X i)16,i 1,2,L,6.這里pi 016, n12O,解用X表示擲一次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，其可能值為 題是檢驗假設(shè)nPio 20, A i故(nin Pio)2npio(ni 2O)22O96 4.8202查分布表,得臨界值故接受Ho，即骰子勻稱。2(k1)2.O5(5)11.071因為24.8 1.07120.05是否可以認(rèn)為這批鋼珠的直徑服從正態(tài)分布（解 數(shù)據(jù)中最小的為，最大者為，設(shè)a成七個（相等的）區(qū)間，則區(qū)間長度（組距）為0.05)14.05, b 16.15，欲把a(bǔ),b分16.15 14.05 0.3得分點y114.35, y 14.65, y 14.95, y 15.25,7

16、y 15.55, y 15.85.它們把實數(shù)軸分成七個不相交的區(qū)間，樣本值分成了七組:yi 1 yi14.3514.3514.6514.6514.951014.9515.251615.2515.5515.5515.8515.85Ho設(shè)鋼珠的直徑為 X，其分布函數(shù)為F （x），我們的問題是檢驗假設(shè):F(x)x(-）.其中2未知.在H。1 nn i 1成立之下， 和(Xi X)20.1849 ,2的極大似然估計為卩X 15.1 ,卩 0.43.在上面的表中第1組和第7組的頻數(shù)過小，把它們并入相鄰的組內(nèi)，即分成5 組，分點為 t114.65 , t2 14.95 , t? 15.25 , t4 15

17、.55 .ipinpinnpi(nin pi)2(nin pi)2/ n pi182103164858501500i 1n|Pi的值計算如下表:2即0.05查2分布表得臨界值 2 (2)0205 (2) 5.991.20.05 (2)，故接受H。，即認(rèn)為鋼珠直徑服從正P1F(ti)(14.65 15.1P2F(t2)F(ti)fp4統(tǒng)計量F(t3)F(t2)F(t4)F(t3)1 F(t4)1(1.04) 0.14920.4314.95 15.1、CC()0.14920.43I (0.35)0.14920.214(15.25 15.1)0.43(0.35)0.3632(15.55 15.1)0

18、43(1.04)0.6368(15.55 15.10.430.36320.27360.218)0.1452(n n pi )22 (2)1.24997，對于21.249975.991態(tài)分布16N(15.1, 0.1849)./i 1 i、.(丁 2),i今對X進(jìn)行100次獨(dú)立觀察，發(fā)現(xiàn)其值落入 A (i 1,2,3, 4)的設(shè)A上是均勻分布的,1,2,3, A(-3, 2)，假設(shè)隨機(jī)變量X在(0, 2)20 , 36, 14,問均勻分布的假設(shè)，在顯著性水平為下是否可信。頻數(shù)分別為30，解檢驗假設(shè)：H0:XU0, 2檢驗計算表如下:iPinPininpi(ni np)2nPi1301425512

19、201425-513361425114141425-1110011000統(tǒng)計量2所以不接受H 0，即不能相信X U 0,2.對于i0.05，查得JP! 11.68,1npi0.05 (3)7.8152 2(4 1)因為11.687.8150.05 (3)習(xí)題九n1門2門3 門4 門54, n 20查附表5得1 .一批由同樣原料織成的布，用五種不同的染整工藝處理，然后進(jìn)行縮水 試驗，設(shè)每種工藝處理 4塊布樣，測得縮水率的結(jié)果如下表布樣號縮 水 率AA2A3aA51234問不同的工藝對布的縮水率是否有顯著的影響（0.01）解 m 5,F0.0i(m 1,n m)Fo”，15) 4.89.序號A1a

20、aaA5mi 11234niXij j 12niXijj 121 nXi. ni j1 jnXi2j 11 220 (147.9)1093.721149.251170.92SeSa21.6755.5377.2方差分析表平方和自由度均方F值萬差來源工藝誤差415*0.01)試驗號壽命AAAA116001850146015102161016401550152031650164016001530416801700162015705170017501640160061720一1660168071800一1740一8一一1820一因為9.6095 4.89，所以工藝對縮水率有顯著影響.2 .燈泡廠用4種

21、不同配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，今從中分別抽樣進(jìn)行使用壽命的試驗，得到下表的結(jié)果（單位：小時），問這幾種配料方案對使用壽命有無顯著影響（m 4, ni7, n2 5, n38, n46, n 26，查附表 5 得F0.01(m h n m) Fo.oi(3, 22)4.82為簡化計算從上表的試驗結(jié)果中都減去1600再除以10得下表壽命序號A1AA3A44i 11025-14-9214-5-83540-748102-351015406126872014822山Xj 1Xij565829-191242niXij j 1 ij3136336484136121niXijni j 1448(124

22、)2591.385, Q261286.092 , R 2937SeR Q 1650.908 , SeSaQ P 694.707 , SA1Se16.5091001Sa 6.947100nX2八Ij7349829572642937j 11,2,L ,m),求I的點估計和區(qū)間估計. 解因為XI N( 由定I J理知Se/ 2ni2)，所以I的點估計為“2(n m), 再?|由X| ,定理1,2丄,m.知X|與s2立,從而Se(X|j X| )2相互獨(dú)立，又由X|j獨(dú)立, 1m(niI 1Xi與$2,&丄，sm獨(dú)(Xi1)S2與X|獨(dú)立，又也N(0, 1)方差分析表方差來源平方和自由度均方F值配料誤

23、差322總和25因為 F 3.18 4.82F0.01 (3, 22)，故不顯著.3 .在單因素試驗方差分析模型式()中，I是未知參數(shù)(i由t分布的定義知(Xi冷眉一、音t( n m)JSe其中Se Se /(n m)對于給定的 ，查t分布表求出臨界值t /2(n m),t /2(n m) 1在上式括號內(nèi)將i暴露出來得 i在置信度1下的置信區(qū)間i 1XiXi t /2(n m)/2(n 喋-4 .在單因素試驗方差分析模型式()中,2是未知參數(shù)，試證Se2 2是的無偏估計，且的1下的置信區(qū)間為Se_Sl_12 /2(nE(Se/ m) 22/2 (n m)證：因為Se /- (n m)，所以ES

24、em)2)n m，即于是故 Se一是 2的無偏估計;n m因為Se /2使得所以對于給定的(n m)，查(n丄ESen m2分布表求出臨界值2/2(n m)和/2(n m)P(/2(nm)2/2(nm)2式中將 暴露出來得SeSe故2的置信度為12/2(n m)下的置信區(qū)間為Se2/2(n m)/2( n m)Se/2(n m)證畢5 .驗證式()的解a, $能使Q(a,b)n(y ai 1)2達(dá)到最小值.證：$, $是函數(shù)Q(a, b)n(yi abXi )2的駐點.而A Q 2n,a2qa bn2 Xii 12Qnb22i1XAC B2Xi2Xi0，而A0,0所以($, $)是Q(a,b)

25、的極小點,由柯西不等式知而Q(a,b)存在最小值，故a, $能使Q(a,b)達(dá)到最小值.6.利用定理證明，在假設(shè) Hoib 0成立的條件下，統(tǒng)計量1$ Jt jLxxt(n 2)并利用它檢驗中例1所得的回歸方程的顯著性 (0.01)$ b 所以巳上JL：n(o, 1)2證：因為$ N(b,)Lxx在Ho：b 0成立的條件下i7LXX N(o, 1)(M 2(n 2)由t分布的定義知今利用對于給定的因為t$ /t -VL：I 2t(n 2).S jy/(n 2)t統(tǒng)計量檢驗回歸方程的顯著性.t =7LXX Q156 J6.056 6.133 S*717340.01查t分布表得臨界值to.o1(1

26、O)2.7638 .6.1332.738證畢7 .利用定理證明回歸系數(shù)to.oi(1O)，所以回歸方程顯著.b的置信區(qū)間為$ t /2(nS $S$ t /2(n 2)廠 V LxxV Lxx并利用這個公式求中例 1的回歸系數(shù)b的置信區(qū)間(置信度為)解由定理知$ bt 仁 t（n 2）對于給定的，查t分布表求出臨界值t /2（n 2），使$ b ji i sjLxx t /2（n 2）1S在上式的大括號內(nèi)，將 b暴露出來得P$ t，SP t /2(n 2)故b的置信度為1/2（n 2）= by Lxx下的置信區(qū)間為$ t /2(n2)匸1V Lxxt /2 (n 2),yLxx在例 1 中 $

27、 27.156 n 12, S$ t /2(n2)兀證畢10.897,Lxx 6.056t0.025（10）2.228.所以b的置信度為下的置信區(qū)間為（17.291, 37.021）8 .在鋼線碳含量x（%）對于電阻y（20 C時，微歐）效應(yīng)的研究中，得到以下的數(shù)據(jù)26y 15181921(1)設(shè)對于給定的x, y為正態(tài)變量，且方差與 x無關(guān). 求線性回歸方程$ $x;檢驗回歸方程的顯著性；求b的置信區(qū)間（置信度為）；求y在x 0.50處的置信度為的預(yù)測區(qū)間. 我們用下表進(jìn)行計算序號1234y22xy1522518324193612144126676xy平均20.77yX 0.543,7Lxx

28、7X22.595 2.0640.531,LyyLxy(1) $2Yi7y23104.2X Vi 7Xy85.613019.7584.45,78.9476.663,i 1土 12.55,Lxxy $X 13.95，所以回歸方程為13.95 12.55X.方差來源平方和自由度均方F值回歸U 83.621U 83.62U 503.61Q剩余Q 0.8315Q 0.166總和Lyy 84.456Q n 2 . 16.62$(2 )我們用方差分析表來檢驗回歸方程的顯著性方差分析表其中 U$Lxy, Q Lyy U, Qyy查F分布表求出臨界值 F0.01(1,5)因為 F 503.6116.62Fo.o

29、1(1,5),S2Xo所以回歸方程高度顯著.(3)由第7題知，b的置信度為$ t /2(n$12.55,(Lyy $Lxy)/(n2)2)沽n 7,0.166.所以b的置信度為下的置信區(qū)間為( (4) n 7, X 0.53, Lxx0.50.下的置信區(qū)間為$ t /2(n 2)=Y Lxx0.05, t0.025 (5)2.5706,)0.531, s 0.407, t0.025(5) 2.5706(X0)t /2(n 1)sj11 (X0 x)2nLxx2.5706 0.407宀詳1.12$013.95 12.55 0.520.225故y在x 0.50處的置信度為的置信區(qū)間為($0(0.5

30、), $0(0.5)9.在硝酸鈉(NaNO3)的溶解度試驗中，(19.105, 21.345)對不同的溫度toC測得溶解于100ml水中的硝酸鈉質(zhì)量 丫的觀測值如下：ti0410152129365168從理論知(1)(2)Y與t滿足線性回歸模型式()求丫對t的回歸方程；檢驗回歸方程的顯著性(0.01)；(3)解求丫在t 25 C時的預(yù)測區(qū)間(置信度為)計算表如下序號6789tiyiti22 yiti yi00041628410100763152251209214412984136129651260168462423410144i 126, y 90.29Ltttj29?210144 60844

31、060,9Ltyti yii 199fy24646.621106.83539.8,Lyy2Vi9y276317.8273224.363093.46S2i 1Ltt(Lyyi$Lty)/70.87187,1.0307,$ 67.5313,S 1.0152(3)$067.53130.87187 25 89.3281(25) t /2(n2) S fl2(t。t)Ltt2.3646 1.0152 1.052.53(1)Y對t的回歸方程為$ 67.5313 0.87187t ；方差分析表如下方差來源平方和自由度均方F值回歸13086.25剩余71.03總和8=查F分布表求出臨界值 Fo.o1（1, 7）12.2512.25F0.01（1, 7），故方程高度顯著.因 F 2996.36丫在t 25 C時的置信度為下的預(yù)測區(qū)間為($0(25), $0(25)