論文中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明修改后

1、 本 科 畢 業(yè) 論 文教 務(wù) 處 制云南民族大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)），是本人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行研究工作所取得的成果。除論文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文沒有抄襲、剽竊他人已經(jīng)發(fā)表的研究成果。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）作者簽名： 日期： 年 月 日關(guān)于畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）使用授權(quán)的說明本人完全了解云南民族大學(xué)有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留、送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱，學(xué)?？梢怨颊撐模ㄔO(shè)計(jì)）的全部或部分內(nèi)容，可以采用影印或其他復(fù)制手段保存論文（設(shè)計(jì)）。（保密論文在解密后應(yīng)遵守）指導(dǎo)教師簽名： 論文（設(shè)

2、計(jì)）作者簽名： 日期： 年 月 日注：此頁放在封面后，目錄前。 目 錄摘 要 4第1章 緒 論5第2章 不等式證明的常用方法62.1 比較法62.2 分析法（逆推法）62.3 放縮法72.4 數(shù)學(xué)歸納法72.5 三角代換法82.6 迭合法82.7 換元法92.8 構(gòu)造法92.9 排序法92.10 反證法102.11 判別式法102.12 分解法102.13 構(gòu)造解析幾何模型證明不等式11第3章 利用函數(shù)證明不等式123.1 函數(shù)極值法123.2 利用輔助函數(shù)的單調(diào)性證明123.3 運(yùn)用函數(shù)的奇偶性133.4 利用函數(shù)圖形的凹凸性13第4章 利用著名不等式144.1 利用均值不等式144.2 利

3、用柯西不等式15參考文獻(xiàn)15致 謝16中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明方法摘 要無論在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中,不等式都是十分重要的內(nèi)容.而不等式的證明則是不等式知識的重要組成部分.在本文中，我總結(jié)了一些數(shù)學(xué)中證明不等式的方法.在初等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較法、放縮法、函數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法、構(gòu)造圖形法、等方法.在高等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常利用中值定理、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)凹凸性以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式等等. 通過學(xué)習(xí)這些證明方法，可以幫助我們解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維的能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.關(guān)鍵詞 不等式；比較法；構(gòu)造圖形法；函數(shù)凹凸性T

4、he proof method of inequality in middle schoolAbstract：The inequality is so important no matter in elementary mathematics or in advanced mathematics.The proof method of inequality plays a significant role in the study of inequality.In this paper,I have summarized some methods about proofing inequali

5、ty.Several approaches are often used in proving inequality，including comparison approach，zooming method，the method of function，the method of structure function，tectonic graphic method and so on.Mean value theorem，monotonicity of a function，convexity of function，and some famous inequality such as mea

6、n value inequality，Cauchy inequality and so on， are used for proofing inequality in advanced mathematics.By learning these methods of proof，they can help us to solve some practical issues，dovelop the ability to prove logic theory and abstract thinking ability，and form a good habit of not only thinki

7、ng diligently but also being good at thinking.Keywords：inequality；comparison approach；tectonic graphic method；convexity of function第1章 緒 論在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，不等式證明是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有很好的體現(xiàn).同時(shí)不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，因此在歷年高考中頗為重視。由于不等式的形式各異, 所以證明沒有固定的程序可循，技巧多樣，方法靈活，因此有關(guān)不等式的證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一。在數(shù)量關(guān)系上，雖然不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存

8、在于現(xiàn)實(shí)的世界里，但是人們對于不等式的認(rèn)識要比方程要遲的多.直到17世紀(jì)以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分.在研究數(shù)學(xué)的不等式過程中，有許多的內(nèi)容都十分的有用，如：不等式的性質(zhì)、不等式的證明方法和不等式的解法. 在本文中，我們就不一一說明了，而主要的介紹一些證明不等式的常用方法、利用函數(shù)證明不等式的方法和利用一些著名不等式證明不等式的方法.希望通過這些方法的學(xué)習(xí)，我們可以很好的認(rèn)識數(shù)學(xué)的一些特點(diǎn).從而開拓一下我們的數(shù)學(xué)視野，深化一下我們對不等式證明方法的認(rèn)識，以便于可以站在更高的角度來研究數(shù)學(xué)不等式. 第2章 不等式證明的常用方法2.1比較法所謂比較法，就是通

9、過兩個(gè)實(shí)數(shù)與的差或商的符號（范圍）確定與大小關(guān)系的方法，即通過“，；或，”來確定，大小關(guān)系的方法，前者為作差法，后者為作商法。例1 已知：，求證：分析：兩個(gè)多項(xiàng)式的大小比較可用作差法證明： ，故得 例2 設(shè)，求證：分析：對于含有冪指數(shù)類的用作商法證明： 因?yàn)?，所以 ，而 ，故 2.2分析法從求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立，這種方法叫做分析法。例3：求證證明：為了證明原不等式成立，只需證明即 ，只需證明成立原不等式成立運(yùn)用分析法時(shí)，需積累一些解題經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)一些常

10、規(guī)思路，這樣可以克服無目的的亂碰，從而加強(qiáng)針對性，較快地探明解題途。2.3 放縮法在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅?，或把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福?，從而達(dá)到證明的目的.值得注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭.常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法.例4 求證： 證明： 令則所以 2.4 數(shù)學(xué)歸納法對于含有的不等式，當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對取第一個(gè)值以

11、后的自然數(shù)都能成立.例5 已知：，求證：證明：（1）當(dāng)時(shí)，不等式成立；（2）若時(shí)，成立，則=，即成立.根據(jù)（1）、（2），對于大于1的自然數(shù)都成立.2.5三角代換法借助三角變換，在證題中可使某些問題變易.例6 已知：，求證：證明： 設(shè)，則；設(shè)，則所以 2.6迭合法把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證. 例7 已知：，求證: 證明： 因?yàn)?，所?，由柯西不等式所以原不等式獲證2.7換元法在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡化.例8 已知：，求證：證明： 設(shè)，則， 所以 .2.8構(gòu)造法在證

12、明不等式時(shí)，有時(shí)通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、復(fù)數(shù)等，可以達(dá)到簡捷、明快、以巧取勝的目的.例9 已知：，求證：證明： 依題設(shè)，構(gòu)造復(fù)數(shù)，則，所以 故 .2.9排序法利用排序不等式來證明某些不等式.排序不等式：設(shè)，則有其中是的一個(gè)排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號.簡記作：反序和亂序和同序和.2.10反證法先假設(shè)要證明的結(jié)論不對，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾，從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性，達(dá)到證題的目的.例 10 已知，是大于1的整數(shù)，求證：證明： 假設(shè) ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以2.11判別式法通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變元的二次三項(xiàng)式有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來證明所要證明的

13、不等式.例11 設(shè)，且，求證：證明： 設(shè)，則代入中得 ，即 因?yàn)椋裕?即 ，解得 ，故2.12分解法按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的.例12 ，且，求證：證明：因?yàn)?所以 2.13構(gòu)造解析幾何模型證明不等式 如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯(lián)系，則可根據(jù)已知式的結(jié)構(gòu)挖掘出它的幾何背景，通過構(gòu)造解析幾何模型，化數(shù)為形，利用數(shù)學(xué)模型的直觀性，將不等式表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決 例13 設(shè)a0，b0，ab = 1，求證：2yxxy = 02ABDCO證明：所證不等式變形為：2這可認(rèn)

14、為是點(diǎn)A()到直線 xy = 0的距離但因()()= 4，故點(diǎn)A在圓xy= 4 (x0，y0)上如圖所示，ADBC，半徑AOAD，即有：2，所以2總之證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn). 第3章 利用函數(shù)證明不等式3.1函數(shù)極值法通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)的極值，達(dá)到證明不等式的目的.例14 設(shè)，求證：證明： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故 3.2 利用輔助函數(shù)的單調(diào)性證明 輔助函數(shù)方法比較常用，其主要思想是將不等式通過等價(jià)變形，找到一個(gè)輔助函數(shù)，通過求導(dǎo)確定函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，即可證明出結(jié)論。常用的

15、方法是，直接將不等號右端項(xiàng)移到不等號左端，另不等號右端為零，左端即為所求輔助函數(shù)。 例15 試證：當(dāng)x0時(shí)，(x2-1)lnx(x-1)2證明：設(shè)f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0 又f(x)=2xlnx-x+2-1x，f(1)=0, f(x)=2lnx+1+1x2,f(1)=20 f(x)=2(x2-1)x3可見，當(dāng)00，因此有當(dāng)00。又由f(1)=0及f(x)是單調(diào)增加的函數(shù)推知，當(dāng)00，因此進(jìn)一步有f(x)f(1)=0(00時(shí)，(x2-1)lnx(x-1)2.例16 設(shè)bae， 證明abba分析：要證abba，只需證blnaalnb或lnaalnbb . 證明：

16、令f(x)=xlna-alnx(xa),因?yàn)閒(x)=lna-ax1-ax0(xa)所以f(x)在xa時(shí)單調(diào)增加。因此當(dāng)ba時(shí)，有f(b)f(a)=0，即有blnaalnb，也即abba 。3.3運(yùn)用函數(shù)的奇偶性根據(jù)函數(shù)的奇偶性來證明不等式，利用偶函數(shù)的軸對稱性和奇函數(shù)的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復(fù)雜的討論。 例17 證明不等式：0時(shí)，1-2x0 ，故f(x)0 當(dāng)x0時(shí)，根據(jù)圖象的對稱性知f(x)0， 故當(dāng) x0時(shí),恒有f(x)0 即：0 函數(shù)為凹的,則 f(a)+f(b)2f(a+b2)； f(x)0 函數(shù)為凸的,則 f(a)+f(b)(x+y)lnx+y2,(x0,y0,xy)

17、令 f(t)=tlnt(t0), f(t)=lnt+1, f(t)=1t0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x0,y0是凹的，于是 12f(x)+f(y)f(x+y2) 即 12f(x)+f(y)x+y2ln x+y2即 xlnx+ylny(x+y)lnx+y2由上述幾種情況可以看出，能否順利地構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)來證明不等式，最重要的是要有扎實(shí)的基本功和多種思維品質(zhì)，敢于打破常規(guī)，有創(chuàng)造性思維，才能獨(dú)辟蹊徑，使問題巧妙解決. 第4章 利用著名不等式4.1利用均值不等式 均值不等式公式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）。均值不等式是高考中一個(gè)重要知識點(diǎn)，其變形多，約

18、束條件“苛刻“（一正、二定，三相等）。例19 已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 分析：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a，b，c的3次多項(xiàng)式，左側(cè)6項(xiàng)，右側(cè)6項(xiàng)，左和右積，具備均值不等式的特征。 證明: b2+c22bc, a0, a(b2+c2)2abc 同理，b(c2+a2)2bac, c(a2+b2)2cab, 又 因?yàn)閍，b，c不全相等， 所以上述三個(gè)不等式中等號不能同時(shí)成立，因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc。例20若，求證：證明：因?yàn)樗?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立4.2 利用柯西不等式設(shè)

19、均為實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.例21 若，求證：此題在前面用均值不等式解的，也可以用柯西不等式解答。證明： 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立小結(jié)：當(dāng)題目中出現(xiàn)滿足著名不等式條件時(shí)，應(yīng)注意利用著名不等式來證明不等式.參考文獻(xiàn)1李長明,周煥山.初等數(shù)學(xué)研究M.北京:高等教育出版社,1995,253-263.2葉慧萍.反思性教學(xué)設(shè)計(jì)-不等式證明綜合法J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2005,10(3):89-91.3胡炳生,吳俊.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)M.北京:高等教育出版社,1998,45-50.4宋慶.一個(gè)分式不等式的再推廣J.中等數(shù)學(xué),2006,45(5):29-31.5蔣昌林.也談一類分式不等式的統(tǒng)一證明J.數(shù)學(xué)通報(bào),2005,15(2):75-79. 6匡繼昌.常用不等