數(shù)列求和專題

1、中高考培優(yōu)專注品牌* 教育五環(huán)教學案日期： 授課人： 學生： 科目： 數(shù)學 今日格言： 柏拉圖說： “數(shù)學是一切知識中的最高形式 ”課題數(shù)列求和專題教 學 目 標高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個問題： 1. 以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項公 式，考查學生用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題 .2. 通過分組、錯位相減等轉化為 等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉化與化歸思想的應用，屬中檔題知 識 點 及 重 難 點 梳 理1 數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉化法 有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉化為幾

2、個等差、等比數(shù) 列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并(2)錯位相減法 這是在推導等比數(shù)列的前 n 項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn 的前 n 項和，其中an ，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)倒序相加法這是在推導等差數(shù)列前 n 項和公式時所用的方法， 也就是將一個數(shù)列倒過來排列 (反序 )，當它與原數(shù)列相 加時若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項相消法 利用通項變形，將通項分裂成兩項或 n 項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和這種11 11 1方法，適用于求通項為教育的本質意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推

3、動另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂！ 的數(shù)列的前n項和，其中 an若為等差數(shù)列，則1 1a .anan1anan 1 dan an1常見的拆項公式： 1 1 1 ；n n1 n n 1 1 1(1 1 )；n n k k n nk ；中高考培優(yōu)專注品牌1 1 1 （ 2n 1 2n 1 2 2n 11）；2n1n1 nk1k( nk n)考點一 分組轉化求和法例 1 等比數(shù)列 an 中， a1， a2， a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列 .第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1) 求數(shù)列 an 的通項公式；考

4、點 訓 練(2) 若數(shù)列bn滿足： bnan(1)nln an，求數(shù)列 bn的前 n項和 Sn.在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉化思想把一般的數(shù)列求和轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構成等差數(shù)列，哪些項構成等比數(shù)列，清晰正確地求解在利用分組 求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù) n 進行討論，最后再驗證是否可以合并 為一個公式教育的本質意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂！中高考培優(yōu)專注品牌 設數(shù)列 an 滿足 a1 2，a2a48，且對任意 nN*，函數(shù) f(x)(anan1an2)xan1cos x

5、an 2sin x 滿足 f 2 0.(1) 求數(shù)列 an的通項公式；(2) 若bn2an21an，求數(shù)列bn的前 n項和 Sn.考點二 錯位相減求和法例 2 設等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 S4 4S2，a2n 2an 1.(1)求數(shù)列 an 的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足ba1ab2abn121n，nN*，求bn的前n項和 Tn.錯位相減法求數(shù)列的前 n 項和是一類重要方法在應用這種方法時，一定要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項可以看作是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘所得數(shù)列的求和問題設數(shù)列 an 滿足 a12，an1an322n 1.教育的本質意味著：一棵樹搖動另一棵樹

6、，一朵云推動另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂！中高考培優(yōu)專注品牌(1)求數(shù)列 an 的通項公式；(2)令 bnnan，求數(shù)列 bn 的前 n 項和 Sn.考點三 裂項相消求和法例 3 設各項均為正數(shù)的數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn，滿足 4Sn an2 1 4n 1，nN*, 且 a2，a5，a14 構成等比 數(shù)列(1)證明： a2 4a1 5；(2)求數(shù)列 an 的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)anan1n，有a1aa1a a a1 0)中，a13，此數(shù)列的前 n 項和為 Sn，對 教育的本質意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂！中高考培優(yōu)專注品牌 于

7、所有大于 1 的正整數(shù) n 都有 Sn f(Sn1)(1)求數(shù)列 an的第 n1 項；11(2)若 bn是， 的等比中項，且 Tn 為 bn 的前 n 項和，求 Tn.an1 an1 數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項公式，這是做好該類題型的關鍵若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接 運用公式求解，否則常用下列方法求解：S1 n 1 (1)an.Sn 教育的本質意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂！n 1 n 2 (2)遞推關系形如 an1 an f(n) ，常用累加法求通項(3) 遞推關系形如 an 1f(n)，常用累乘法求通項an(4) 遞推關系形如 “an1 pan

8、q(p、q 是常數(shù)，且 p1，q0)” 的數(shù)列求通項，此類通項問題，常用待定 系數(shù)法可設 an1p(an)，經(jīng)過比較，求得 ，則數(shù)列 an 是一個等比數(shù)列(5) 遞推關系形如 “an1panqn(q，p 為常數(shù)，且 p 1， q 0)”的數(shù)列求通項，此類型可以將關系式兩 邊同除以 qn 轉化為類型 (4) ，或同除以 pn1 轉為用迭加法求解2 數(shù)列求和中應用轉化與化歸思想的常見類型： (1)錯位相減法求和時將問題轉化為等比數(shù)列的求和問題求解 (2)并項求和時，將問題轉化為等差數(shù)列求和(3) 分組求和時， 將問題轉化為能用公式法或錯位相減法或裂項相消法或并項法求和的幾個數(shù)列的和求解 提醒：運用

9、錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的n1 項中的前 n 項，哪些項構成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時注意要討論代數(shù)式是否為零3 數(shù)列應用題主要考查應用所學知識分析和解析問題的能力其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心， 在試題中主要有：一是，構造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應的通項公式與求和公式求解；二是， 通過歸納得到結論，再用數(shù)列知識求解 .中高考培優(yōu)專注品牌1 在一個數(shù)列中，如果 ? n N* ，都有 anan1an2k(k 為常數(shù) )，那么稱這個數(shù)列為等積數(shù)列，稱 k為這個數(shù) 列的公積已知數(shù)列 an 是等積數(shù)列，且 a1 1， a22，公積為 8，則 a1a2a3 a12 .2

10、秋末冬初，流感盛行，特別是甲型 H1N1 流感某醫(yī)院近 30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構成數(shù)列an，已知 a11，a22，且 an2 an 1 (1) n(n N *)，則該醫(yī)院 30 天入院治療甲流的人數(shù)為 3 已知公差大于零的等差數(shù)列 an的前 n 項和 Sn，且滿足： a2a465，a1a518. (1)若 1i21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項，求i 的值；(2) 設 bnn2n 1 Sn是否存在一個最小的常數(shù)m 使得 b1 b2 bn0， S160，則在 S ，S ， S 中最大的是 a1 a2a15* 1 1 1 16 數(shù)列 an 滿足 a1 1，且對任意的 m，n

11、N*都有 amnamanmn，則 .a1 a2 a3a2 012n2 n為奇數(shù) ，7 已知函數(shù) f(n) 2且 anf(n)f(n1)，則 a1a2a3 a2 012 . n2 n為偶數(shù) ，8 數(shù)列 an 中，已知對任意 nN *，a1a2a3 an3n1，則 a12 a22 a32 a2n .1思 維 拓 展9 已知數(shù)列 an滿足 3an1an4(n1)且 a1 9，其前 n 項之和為 Sn，則滿足不等式 |Snn6|0)，求數(shù)列 bn的前 n 項和 Sn.教育的本質意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂！中高考培優(yōu)專注品牌1 1 111將函數(shù) f(x)sin 4xsin 4(x2)s2i(nx 3在)區(qū)間 (0， )內的全部極值點按從小到大的順序排成數(shù)列 an(nN*)(1)求數(shù)列 an 的通項公式；(2)設 bn2nan，數(shù)列 bn的前 n 項和為 Tn，求 Tn的表達式3*12.已知首項為 2的等比數(shù)列 an的前 n項和為 Sn(nN*)，且 2S2，S3，4S4成等差數(shù)列 .(1)求數(shù)列 an 的通項公式；1 13(2)證明 SnS1 163(nN*).學生對于本次課的評價： 特別滿意 滿意 需要優(yōu)化