高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)模式及案例分析

1、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)模式及案例分析摘要： 新課程視野下，利用高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)和形成的原理，提出三種概念教學(xué)設(shè)計(jì)模式同時(shí)分析整個(gè)高中數(shù)學(xué)教材中的相關(guān)概念，悉心尋找合適的教學(xué)模式，并通過典型的案例對三種模式加以應(yīng)用和說明關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)概念；概念教學(xué)設(shè)計(jì)模式； 案例1 問題提出數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的細(xì)胞，也是思維的單元，是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中賴以思維的基礎(chǔ)只有樹立了正確的概念，才能牢固地掌握基礎(chǔ)知識，概念不清就談不上進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識隨著數(shù)學(xué)教育改革的不斷深入，對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)也提出了更高的要求，高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的課程目標(biāo)中指出：“獲得必要的數(shù)學(xué)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解

2、概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用”從課程目標(biāo)中可以看出，數(shù)學(xué)概念是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分因此，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與教學(xué)是最重要的課題之一然而，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重?cái)?shù)學(xué)概念內(nèi)涵的教學(xué)，忽視概念的外延，忽視學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，甚至灌輸孤立的數(shù)學(xué)概念于是，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)會出現(xiàn)種種問題， 這與沒有掌握好有關(guān)的數(shù)學(xué)概念有很大的關(guān)系本文在新課程理念的指導(dǎo)下，談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)2 數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)21數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)原理 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基本單元從理解的層面看，掌握數(shù)學(xué)概念不僅要簡單地用語言將數(shù)學(xué)概念表述出來，而且要真正理解概念的內(nèi)涵和外延，表

3、現(xiàn)為能對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行識別和歸類，用自己能夠接受和可以儲存的形式對概念的本質(zhì)屬性或特征進(jìn)行理解數(shù)學(xué)概念的獲得有兩種基本方式：概念形成與概念同化22數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的模式根據(jù)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)原理，提出以下幾種數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的模式(一) 概念形成模式概念形成是學(xué)習(xí)者在對客觀事物的反復(fù)感知和進(jìn)行分析、類比、抽象的基礎(chǔ)上，概括出某一類事物本質(zhì)屬性而獲得概念的方式l 操作程序 l 案例（人教a版必修1函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)）函數(shù)概念教學(xué)一直是一線教師最為頭痛的概念之一，是教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn).學(xué)生對函數(shù)的概念的不清是導(dǎo)致他們沒有學(xué)好函數(shù)的主要原因，函數(shù)概念的復(fù)雜性導(dǎo)致我們教師的教學(xué)困難.本節(jié)課題的教學(xué)我采用以下的概

4、念形成教學(xué)設(shè)計(jì)模式，供同行參考.1）教師提供概念的正例.在講授函數(shù)概念時(shí)，盡量提供豐富的函數(shù)原型，先給出兩個(gè)實(shí)例，炮彈發(fā)射時(shí)間與高度的關(guān)系，歸結(jié)為數(shù)集與 的對應(yīng)關(guān)系臭氧層空洞的面積隨時(shí)間變化情況，歸結(jié)為數(shù)集與的對應(yīng)關(guān)系說明：近年來關(guān)于概念形成的心理活動過程的研究表明，概念形成的第一階段為：辨別不同的刺激模式. 在教學(xué)環(huán)境下，這些刺激模式可以是學(xué)生自己感知過的經(jīng)驗(yàn)或事實(shí)，也可以是教師提供的有代表性的事例.因此，在函數(shù)概念教學(xué)中，舉一些饒有趣味的話題，比如臭氧空洞問題，炮彈發(fā)射問題等，同時(shí)鼓勵學(xué)生積極思考舉出類似的話題.然后可以逐步引申到函數(shù)的概念的歸納和理解.2）引導(dǎo)學(xué)生觀察思考例子的共性，回答

5、表中恩格爾系數(shù)和時(shí)間（年）的關(guān)系進(jìn)而設(shè)置思考題“分析、歸納三個(gè)例子，它們有什么共同點(diǎn)？”從而理解函數(shù)需要進(jìn)行活動和操作.通過恩格爾系數(shù)和時(shí)間（年）的關(guān)系表，理解函數(shù)需要用具體的數(shù)字構(gòu)造對應(yīng)：199153.8；199252.9；199350.1；199449.9.說明：概念形成的第二階段為分化和類比各種刺激模式的屬性. 各種具體模式的屬性不一定是共同屬性，為了找出共同屬性，就需要將從具體刺激模式中分化出來的屬性進(jìn)行比較讓學(xué)生體會并歸納所舉出的函數(shù)例子，從不同中找出共同的屬性，從不同的例子獲取相關(guān)函數(shù)概念的信息.這與學(xué)生的智慧、興趣、獲取和處理信息的能力相關(guān).3）與學(xué)生共同歸納上述幾例的共性，把上

6、述的操作活動綜合成函數(shù)過程，得到：對于數(shù)集中的每一個(gè)，按照某種對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集中都有惟一確定的和它對應(yīng)，：記為，說明：用符合習(xí)慣的數(shù)學(xué)語言和符號表示新概念，即形式化4）可以同時(shí)從運(yùn)算、解析式、圖像、變量的依賴關(guān)系、變量的對應(yīng)關(guān)系等多角度來講述一個(gè)函數(shù)實(shí)例，最后歸結(jié)到集合的對應(yīng)關(guān)系上來.進(jìn)而給出函數(shù)的定義（定義略）說明：這里的教學(xué)要求能讓學(xué)生從初中學(xué)的函數(shù)概念脫離出來，形成新的一種認(rèn)識.這種認(rèn)識不僅僅是對“認(rèn)識內(nèi)容”的認(rèn)識還有“認(rèn)識方法”的認(rèn)識.我們從數(shù)和形、依賴關(guān)系、對應(yīng)關(guān)系等多角度全方位闡述函數(shù)概念，這是一個(gè)概念化的過程，借用各種方式刺激學(xué)生的思維，造成一種思維上的定勢，從而加深了概念在學(xué)生

7、大腦里逐步成型、定型直至完善.5）強(qiáng)化概念，要求學(xué)生舉例，如，教師可以舉反例，如，下例是否為函數(shù)？ 圖1 圖2 圖31232124642從解析式、圖像、表格分別舉反例，以加深學(xué)生對概念的理解. 說明：提出和驗(yàn)證假設(shè)階段. 一般來說，事物的共同屬性不一定是本質(zhì)屬性，因此，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生首先要提出各個(gè)刺激模式的本質(zhì)屬性的假設(shè)，然后在特定的情景中檢驗(yàn)假設(shè)以確認(rèn)出概念的本質(zhì)屬性接下來的步驟就是通過各種角度來闡述函數(shù)的概念，讓學(xué)生從各種情景中辨別函數(shù)概念.6）概念應(yīng)用與形成概念域（轉(zhuǎn)入函數(shù)相關(guān)命題學(xué)習(xí)）這時(shí)可以把函數(shù)過程上升為一個(gè)獨(dú)立的對象來處理.比如，函數(shù)的加減乘除、復(fù)合運(yùn)算等.在表達(dá)式

8、中和中和均可以作為整體的對象出現(xiàn).說明：此時(shí)的函數(shù)概念已經(jīng)以一種圖式存在于腦海中.這一過程含有具體的函數(shù)實(shí)例、抽象的過程、完整的定義以及和其他概念的區(qū)別和聯(lián)系，如方程、曲線、圖像和表格等. 把新概念從以前學(xué)過的相關(guān)舊概念中分離出來. 把新概念的本質(zhì)屬性推廣到這個(gè)類目的一切例子，這個(gè)過程實(shí)際上是明確概念外延的過程，也是新概念與其他舊概念相區(qū)別的過程（二）概念的同化模式概念的同化是指：在教學(xué)中，利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，以定義的方式直接提出概念，并揭露其本質(zhì)屬性，由學(xué)生主動地與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相聯(lián)系和掌握概念的方式以概念同化的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理活動大致包括以下幾個(gè)階段： 辨認(rèn)能區(qū)分新概念

9、與原有概念，對概念有正確的理解同化建立新概念與原有概念實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，把新概念納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使新概念被賦予一定的意義強(qiáng)化通過辨認(rèn)概念的肯定和否定例子，使新概念和原有概念精確化 l 操作程序 l 案例（人教a版選修2-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)）拋物線概念是學(xué)生較為熟悉的一種圓錐曲線，初中就已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋物線方程，而且在現(xiàn)實(shí)生活中有很多拋物線的例子，比如拋擲鉛球、鐵餅、標(biāo)槍等，它們飛行的路線就是拋物線.另外學(xué)生對橢圓和雙曲線已經(jīng)較為理解和掌握，學(xué)習(xí)拋物線的軌跡，相對說就輕松了.案例設(shè)計(jì)如下：1）呈現(xiàn)現(xiàn)行組織者.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行改裝，當(dāng)e=1時(shí)，動點(diǎn)的軌跡是拋物線.同時(shí)通過課件和學(xué)

10、生實(shí)驗(yàn)雙管齊下進(jìn)行驗(yàn)證，學(xué)生借用拉鏈作圖，本人則通過幾何畫板演示得出軌跡是雙曲線.通過這樣的實(shí)驗(yàn)演示，可以把靜態(tài)的軌跡動態(tài)化，而且直觀、富有趣味，同時(shí)能加深學(xué)生對拋物線軌跡的認(rèn)識.2）給出定義.有橢圓和雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)的求法，類比出拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，學(xué)生接受起來容易多了.繼而借助多媒體演示當(dāng)e發(fā)生變化時(shí)動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，可以讓學(xué)生很清晰地認(rèn)識到三種圓錐曲線的區(qū)別和聯(lián)系.放手讓學(xué)生根據(jù)自己的想法建立相應(yīng)的坐標(biāo)系求解軌跡方程，通過對所求方程的比較，讓學(xué)生明白坐標(biāo)系選擇的重要性.3）概念的辨認(rèn)、剖析與同化.區(qū)別拋物線與橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系，辨清概念里的直線l不經(jīng)過點(diǎn)f的條件

11、.例1：在直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l，動點(diǎn)m滿足：|fm|等于點(diǎn)m到直線l的距離，則m的軌跡一定是 ？（很多學(xué)生立刻回答是拋物線.）例2：動點(diǎn)p到直線的距離減去它到m（2，0）的距離的差等于2，則點(diǎn)p的軌跡是什么 ？例3：動點(diǎn)p到軸的距離比它到m（2，0）的距離的少2，則點(diǎn)p的軌跡是什么 ？問：兩個(gè)例子一樣嗎？有何區(qū)別？為什么？4）強(qiáng)化概念.進(jìn)一步區(qū)分三種圓錐曲線，能從數(shù)上做比較，也能從形上區(qū)別.例4：一動圓與圓 ：外切，和圓：內(nèi)切，求動圓的圓心軌跡.變式（1）把圓的半徑改為3，動圓改為與兩圓都外切，求動圓圓心的軌跡；變式（2）把圓改為軸，把圓的半徑改為3，動圓與和軸和圓都外切

12、，求動圓的圓心軌跡. 圖4 圖5 圖65）應(yīng)用概念.拋物線較其他兩種圓錐曲線的不同之處是拋物線上的任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，以此就可以派生出很多巧妙的解題方法. 例5：已知點(diǎn)a、b在拋物線上，直線l是線段ab的垂直平分線若l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，求線段ab的中點(diǎn)的橫坐標(biāo). 分析：按照常規(guī)的解題方法，看到此類的題目立刻想到中點(diǎn)弦的有關(guān)問題，把設(shè)l的方程設(shè)出來，然后與拋物線聯(lián)立方程組，再利用韋達(dá)定理求解，其次還需討論直線l斜率存在的情況，但利用拋物線的定義，這個(gè)問題可以輕而易舉地得到解決.ablfomn因?yàn)榻裹c(diǎn)f在l上，l又是線段ab的中垂線，則|af| =|bf|，則利用拋物線定義點(diǎn)a、

13、點(diǎn)b到準(zhǔn)線的距離也相等，即|am| =|bn|,所以線段ab平行于軸，即線段ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.這個(gè)例子通過教師適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和引導(dǎo)，大部分學(xué)生都能利用拋物線的概念來解題，同時(shí)又加深了對拋物線概念的意義建構(gòu).l 案例（人教a版必修2直線與平面垂直概念教學(xué)設(shè)計(jì)） 呈現(xiàn)學(xué)生已經(jīng)習(xí)得的生活中的例子（呈現(xiàn)先行組織者），如旗桿與地面的位置關(guān)系、大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系等等1) 給出直線與平面垂直的定義2) 辨認(rèn)、剖析概念區(qū)別“任意一條”與“無數(shù)條”的關(guān)系，把直線與平面平行與垂直作一比較，從而完善直線與平面位置關(guān)系的認(rèn)知體系3) 強(qiáng)化概念除定義外，如何判斷一條直線與平面平行？進(jìn)一步研究直線與平面垂直4)

14、直線與平面垂直概念的應(yīng)用5) 形成概念系立體幾何中很多概念均可以采用上述的概念同化模式，還有平面向量、空間向量的相關(guān)概念以及三角函數(shù)等概念均可以采用上述的概念同化模式.結(jié)合數(shù)學(xué)概念向?qū)W生傳授必要的數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)習(xí)的意識.事先必須清晰地了解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容、性質(zhì)、特點(diǎn)，把握和領(lǐng)悟應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)；分析數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)、難度、主次，合理分配教學(xué)時(shí)間；達(dá)到數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)目標(biāo)的有效策略的選擇、優(yōu)化、運(yùn)用，適時(shí)進(jìn)行調(diào)節(jié)；注意學(xué)生自身數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的習(xí)慣、困難、情緒，調(diào)動自我激勵機(jī)制.（三）問題引申模式l 程序l 案例（人教a版必修1二分法概念教學(xué)設(shè)計(jì)）1) 創(chuàng)設(shè)問題情境如電話線路的維修問題，“幸運(yùn)52”的猜商品

15、價(jià)格的問題等2) 引導(dǎo)學(xué)生思考解決上述問題的方案：采用逼近思想如上述的電話線路的維修問題，可以從中間一根電話桿開始檢測，若正常，則故障在后面；若不正常，則故障在前面，一直有這樣的方法逼近故障點(diǎn)，最后把問題解決3) 引出函數(shù)的零點(diǎn)問題，給下定義4) 用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)如怎樣求方程的近似解并歸納二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟5) 概念強(qiáng)化與應(yīng)用借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法解決求方程近似解問題 新課程中算法、導(dǎo)數(shù)概念、概率相關(guān)概念、數(shù)列、隨機(jī)抽樣等概念均可以采用這種問題引申模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).這種設(shè)計(jì)通過活動讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系；并進(jìn)行積極的思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、概括過程，學(xué)生在頭腦中

16、對活動進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)；通過前面的抽象，認(rèn)識到了概念的本質(zhì)，對其進(jìn)行“壓縮”并賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)思維中的具體對象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對象去進(jìn)行新的活動；不斷地形成并完善“圖式”，反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學(xué)習(xí)，建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系. 總之，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)地位尤為突出，這一點(diǎn)一定要引起我們的重視令人欣喜的是，人教a版數(shù)學(xué)新教材數(shù)學(xué)的概念大都是按照概念形成，概念同化與問題引申的模式編寫的，因此，我們一定要在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)原理的指導(dǎo)下，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)新的數(shù)學(xué)課程理念、新的數(shù)學(xué)教材、新的數(shù)學(xué)課程評價(jià)觀，更加強(qiáng)烈地要求數(shù)學(xué)教師改變多年來確立一種嶄新的教育觀念，在概念教學(xué)過程中有新的突破和創(chuàng)新.參考文獻(xiàn)1劉紹學(xué)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修1,